Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-017

Ортоцентр і колінеарність відбиттів

Нехай ABCABC — трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай PP — довільна точка відрізка BCBC. Доведіть, що HH лежить на прямій, що проходить через відображення точки PP відносно прямих ABAB і ACAC, тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC прямокутний.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-020

Конкурентність прямих означає рівнобедреність трикутника

Коло з центром OO проходить через вершини BB і CC трикутника ABCABC і вдруге перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках C1C_1 і B1B_1 відповідно. Прямі AOAO, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці. Доведіть, що трикутник ABCABC рівнобедрений.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-009

Хорда вписаного кола і кути описаного кола

Нехай II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCA B C. Нехай вписане коло дотикається до сторін BCB C, CAC A і ABA B у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай пряма EFE F перетинає описане коло трикутника в точках PP і QQ, причому FF лежить між EE і PP. Доведіть, що ∠DPA+∠AQD=∠QIP\angle D P A + \angle A Q D = \angle Q I P.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-022

Точки перетину ліній решітки

Нехай MM — підмножина площини, яка задовольняє такі властивості: 1) Не існує жодної прямої kk, такої, що M⊂kM \subset k. 2) Для будь-якого паралелограма ABCDABCD, якщо A,B,C∈MA, B, C \in M, то D∈MD \in M. 3) Якщо A,B∈MA, B \in M, то ∣AB∣>1|AB| > 1. Доведіть, що існують дві сім’ї паралельних прямих такі, що MM — це множина, яка складається з усіх точок перетину прямих першої сім’ї з прямими другої сім’ї.
10–11 класиПаралельний перенос
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-013

Найбільша площа чотирикутника з прямим кутом

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має прямий кут при AA і для нього BC+CD=1BC + CD = 1. Знайдіть його найбільшу можливу площу.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-018

Дотичні до вписаного кола описаного чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD описано навколо кола ω\omega. EE — точка перетину кола ω\omega і діагоналі ACAC, найближча до AA. Точка FF діаметрально протилежна точці EE в колі ω\omega. Пряма, дотична до кола ω\omega в точці FF, перетинає прямі ABAB і BCBC в точках A1A_1 і C1C_1, а прямі ADAD і CDCD — в точках A2A_2 і C2C_2 відповідно. Доведіть, що A1C1=A2C2A_1C_1 = A_2C_2.
10–11 класиЗовнівписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-019

Два кола зі спільною точкою і середина відрізка

Нехай ω1\omega_1 і ω2\omega_2 — два кола з центрами O1O_1 і O2O_2 відповідно, причому O2O_2 лежить на колі ω1\omega_1. Нехай AA — спільна точка кіл ω1\omega_1 і ω2\omega_2. Пряма через AA перетинає ω1\omega_1 в точці B≠AB \neq A і ω2\omega_2 в точці C≠AC \neq A так, що AA лежить між BB і CC. Промінь O2O1O_2O_1 перетинає ω2\omega_2 в точці DD і містить точку EE таку, що ∠EAD=∠DCO2\angle EAD = \angle DCO_2 і DD лежить між O2O_2 і EE. Доведіть, що пряма BO2BO_2 ділить CECE навпіл.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-001

Рівнобедрений трикутник з кутом 120° та точки на колі

У трикутнику ABCABC відомо, що CA=CBCA = CB і ∠ACB=120∘\angle ACB = 120^\circ. Позначимо точку MM — середину сторони ABAB. Нехай PP — деяка точка описаного кола трикутника ABCABC, а QQ — точка на відрізку CPCP, що задовольняє умову QP=2QCQP = 2QC. Пряма, що перпендикулярна до сторони ABAB та проходить через точку PP, перетинає пряму MQMQ в єдиній точці NN. Доведіть, що існує таке коло, що точка NN належить цьому колу за всіх можливих розташувань точки PP.
10–11 класиПаралельний перенос
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-005

Коло, дотичне до АВ, бісектриса і рівність кутів

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Деяке коло Ω\Omega дотикається до відрізка ABAB і до кола Γ\Gamma у точці, що лежить по один бік з точкою CC відносно прямої ABAB. Бісектриса кута BCABCA перетинає коло Ω\Omega у двох різних точках PP і QQ. Доведіть, що ∠ABP=∠QBC\angle ABP = \angle QBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-003

Висота трикутника, центроїди і спільна точка прямих

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC, і нехай ADAD — його висота. Точки RR, QQ — центроїди трикутників ABDABD та ACDACD відповідно. Точку PP на відрізку BCBC вибрано так, що P≠DP \ne D і точки PP, QQ, RR та DD лежать на одному колі. Доведіть, що прямі APAP, BQBQ і CRCR перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-006

Дотичні з точок кола і описане коло трикутника

Зафіксуємо коло Γ\Gamma, пряму ll, що дотикається до кола Γ\Gamma, і ще одне коло Ω\Omega, яке не має спільних точок із прямою ll, причому кола Γ\Gamma і Ω\Omega лежать по різні боки від ll. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені зі змінної точки XX, що лежить на колі Ω\Omega, перетинають пряму ll у точках YY та ZZ. Доведіть, що коли точка XX пробігає коло Ω\Omega, то описане коло трикутника XYZXYZ дотикається до двох фіксованих кіл.
10–11 класиІнверсія
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-007

Послідовні вершини вкладених правильних многокутників

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. На площині дано два правильні nn-кутники A\mathcal{A} і B\mathcal{B}. Доведіть, що вершини многокутника A\mathcal{A}, які лежать усередині многокутника B\mathcal{B} або на його межі, є послідовними. (Тобто доведіть, що існує пряма, яка відокремлює ті вершини многокутника A\mathcal{A}, що лежать усередині многокутника B\mathcal{B} або на його межі, від інших вершин многокутника A\mathcal{A}.)
10–11 класиОпуклі множини
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-008

Дотичні та інцентри в описаному чотирикутнику

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Нехай IaI_{a}, IbI_{b}, IcI_{c} і IdI_{d} — інцентри трикутників DABDAB, ABCABC, BCDBCD і CDACDA відповідно. Припустимо, що спільні зовнішні дотичні до кіл AIbIdA I_{b} I_{d} і CIbIdC I_{b} I_{d} перетинаються в точці XX, а спільні зовнішні дотичні до кіл BIaIcB I_{a} I_{c} і DIaIcD I_{a} I_{c} перетинаються в точці YY. Доведіть, що ∠XIY=90∘\angle X I Y = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2017-003

Вписання правильного многокутника в правильний

Знайдіть усі цілі числа nn і mm, n>m>2n > m > 2, такі, що правильний nn-кутник можна вписати в правильний mm-кутник так, щоб усі вершини nn-кутника лежали на сторонах mm-кутника.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-014

Чотирикутник з рівними кутами 30°

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Нехай PP — точка така, що ∠APC=∠BPD=30∘\angle APC = \angle BPD = 30^\circ. Доведіть, що 2(AB+AC+AD+BC+BD+CD)≥PA+PB+PC+PD.2(AB + AC + AD + BC + BD + CD) \geq PA + PB + PC + PD.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-016

Бісектриса з умовою середини

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — точка така, що APAP — бісектриса кута ∠BAC\angle BAC, а відрізок BCBC ділить навпіл відрізок APAP. Доведіть, що периметр трикутника ABCABC більший або дорівнює периметру трикутника PBCPBC.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-004

Точка перетину прямих на дотичному колі

Два кола однакових радіусів w1w_1 та w2w_2 перетинаються в різних точках X1X_1 та X2X_2. Розглянемо коло ww, що дотикається зовнішнім чином до кола w1w_1 у точці T1T_1 та дотикається внутрішнім чином до кола w2w_2 у точці T2T_2. Доведіть, що точка перетину прямих X1T1X_1T_1 та X2T2X_2T_2 належить колу ww.
10–11 класиІнверсія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-001

Прямокутний трикутник і перетин прямих BD, FX, ME

Задано прямокутний трикутник BFCBFC із прямим кутом BB. Нехай AA — точка на прямій FCFC така, що FA=FBFA = FB, а точка FF лежить між точками AA і CC. Точку DD вибрано так, що DA=DCDA = DC і ACAC — бісектриса кута DABDAB. Точку EE вибрано так, що EA=EDEA = ED і ADAD — бісектриса кута EACEAC. Нехай точка MM — середина FCFC, а точка XX така, що AMXEAMXE — паралелограм (у якому AM∥XEAM \parallel XE та AE∥MXAE \parallel MX). Доведіть, що прямі BDBD, FXFX і MEME перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-003

Конкурентність прямих у рівнобедреній п'ятикутній конструкції

В опуклому п'ятикутнику ABCDEA B C D E нехай FF — точка на діагоналі ACA C така, що ∠FBC=90∘\angle F B C = 90^{\circ}. Припустимо, що трикутники ABFA B F, ACDA C D і ADEA D E — подібні рівнобедрені трикутники, причому ∠FAB=∠FBA=∠DAC=∠DCA=∠EAD=∠EDA.\angle F A B = \angle F B A = \angle D A C = \angle D C A = \angle E A D = \angle E D A. Нехай MM — середина відрізка CFC F. Точку XX вибрано так, що AMXEA M X E — паралелограм. Доведіть, що прямі BDB D, EME M і FXF X перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-004

Перетин на описаному колі через перпендикуляри

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma та інцентром II. Нехай MM — середина сторони BCBC. Позначимо через DD основу перпендикуляра з II на сторону BCBC. Пряма через II, перпендикулярна до прямої AIAI, перетинає сторони ABAB і ACAC у точках FF та EE відповідно. Припустімо, що описане коло трикутника AEFAEF перетинає Γ\Gamma у точці XX, відмінній від AA. Доведіть, що прямі XDXD і AMAM перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-005

Центр описаного кола рівновіддалений від основи висоти і середини

Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на пряму Ейлера (пряму, що проходить через центр описаного кола та ортоцентр) гострокутного різностороннього трикутника ABCA B C. Коло ω\omega з центром SS проходить через AA і DD, і воно перетинає сторони ABA B і ACA C у точках XX і YY відповідно. Нехай PP — основа висоти з AA на сторону BCB C, а MM — середина сторони BCB C. Доведіть, що центр описаного кола трикутника XSYX S Y рівновіддалений від PP і MM.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-006

Відбиття центрів зовнівписаних кіл та пряма центрів трикутника

Нехай II — інцентр нерівностороннього трикутника ABCABC, IAI_{A} — центр зовнівписаного кола, що відповідає AA, IA′I_{A}' — образ точки IAI_{A} при симетрії відносно BCBC, а lAl_{A} — образ прямої AIA′A I_{A}' при симетрії відносно AIA I. Точки IB,IB′I_{B}, I_{B}' і пряму lBl_{B} означимо аналогічно. Нехай PP — точка перетину прямих lAl_{A} і lBl_{B}. a. Доведіть, що PP лежить на прямій OIOI, де OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. б. Нехай одна з дотичних, проведених з PP до вписаного кола трикутника ABCABC, перетинає описане коло в точках XX і YY. Покажіть, що ∠XIY=120∘\angle X I Y = 120^{\circ}.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-007

Нерівність з ортоцентром бісектрисного трикутника

Нехай A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} — точки на сторонах BCBC, CACA і ABAB гострокутного трикутника ABCABC відповідно, такі, що AA1AA_{1}, BB1BB_{1} і CC1CC_{1} — внутрішні бісектриси трикутника ABCABC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а HH — ортоцентр трикутника A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1}. Доведіть, що AH+BH+CH⩾AI+BI+CI.AH + BH + CH \geqslant AI + BI + CI.
10–11 класиПоворот
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-001

Точка на стороні трикутника та прямі AD, BP, CQ

На стороні BCBC трикутника ABCABC вибрано точку DD, відмінну від вершин. Описане коло трикутника ABDABD перетинає вдруге сторону ACAC у точці EE, описане коло трикутника ACDACD перетинає вдруге сторону ABAB у точці FF. Позначимо через A′A' точку, що симетрична точці AA відносно сторони BCBC. Нехай A′C∩DE=PA'C \cap DE = P, A′B∩DF=QA'B \cap DF = Q. Доведіть, що прямі ADAD, BPBP та CQCQ перетинаються в одній точці або паралельні.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-006

Умова рівності відрізків HG і GP' у трикутнику

Нехай HH — ортоцентр, а GG — центроїд гострокутного трикутника ABCABC (AB≠AC)(AB \ne AC). Пряма AGAG перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках AA та PP. Нехай точка P′P' симетрична точці PP відносно прямої BCBC. Доведіть, що ∠CAB=60∘\angle CAB = 60^\circ тоді і лише тоді, коли HG=GP′HG = GP'.
10–11 класиСиметрія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.