Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

592 задачі
КомбінаторикаГрафи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-041

Граф із заданим розподілом відстаней

Країна складається з 2018n+12018 n+1 міст, де nn — ненульове натуральне число. Деякі пари міст сполучені прямими залізничними лініями так, що між двома містами є не більше однієї лінії; кожна лінія працює в обох напрямках. Відстань між двома містами AA і BB — це мінімальна кількість ліній, які треба проїхати, щоб дістатися з AA до BB. Знайти множину цілих чисел nn, для яких можна побудувати залізничну мережу, що задовольняє такий критерій: Для будь-якого міста CC і для будь-якого i∈{1,2,…,2018}i \in \{1,2, \ldots, 2018\} є рівно nn міст на відстані ii від CC.
9–11 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-030

Запити про зв'язність невідомого графа

У країні є 64 міста. Деякі пари міст з'єднані дорогами, але Боб не знає, які саме (дороги не перетинаються, але можуть проходити одна над одною; крім того, дорогами можна рухатися в обох напрямках). Аліса ж досконало знає мережу. Боб може вибрати довільну пару міст і запитати в Аліси, чи з'єднані вони безпосередньо дорогою. Мета Боба — визначити, чи можна дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого (можливо, скориставшись кількома послідовними дорогами). Покажіть, що не існує жодного алгоритму (тобто жодної стратегії залежно від послідовних відповідей Аліси), який дозволив би йому дізнатися це напевно менш ніж за 2016 запитань.
9–11 класиЗв’язність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-005

Ациклічні орієнтації та непарні цикли

Нехай GG — неорієнтований простий граф. Нехай f(G)f(G) — кількість способів орієнтувати всі ребра графа GG в одному з двох можливих напрямів так, щоб утворений орієнтований граф не містив орієнтованих циклів. Доведіть, що f(G)f(G) кратне 33 тоді й лише тоді, коли GG має цикл непарної довжини.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-016

Замкнені шляхи ребрами куба з обмеженням на грані

Жук сидить у вершині куба. Здоровим шляхом для жука називається шлях уздовж ребер куба, який починається і закінчується там, де перебуває жук, не використовує жодного ребра більше одного разу і використовує не більше двох ребер, прилеглих до будь-якої окремої грані. Знайдіть кількість здорових шляхів.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-097

Видалення ребер зі збереженням половини степенів

Еван має простий граф з vv вершинами та ee ребрами. Доведіть, що він може видалити принаймні e−v+12\frac{e-v+1}{2} ребер так, щоб кожна вершина й надалі мала принаймні половину свого початкового степеня.
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-126

Очікувана кількість областей, обмежених відрізками, у випадковому циклі

По вибирає 100 точок P1,P2,…,P100P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{100} на колі незалежно і рівномірно навмання. Потім він проводить відрізки P1P2,P2P3,…,P100P1P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{100} P_{1}. Коли всі відрізки проведено, круг поділяється на певну кількість областей. Знайдіть математичне сподівання кількості областей, у яких усі сторони обмежені прямими лініями.
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-109

Пари бакару на тороподібній дошці

Мільйон баксів (тобто мільйон самців оленя) перебувають у різних клітинках дошки 1000×10001000 \times 1000. Лівий і правий краї дошки потім склеюють між собою, а верхній і нижній краї дошки склеюють між собою, так що дошка утворює тор у формі бублика. Крім того, деякі з баксів — чесні бакси, які завжди кажуть правду, а решта баксів — нечесні бакси, які ніколи не кажуть правди. Кожен із мільйона баксів стверджує, що «щонайбільше один із моїх сусідніх баксів є чесним баксом». Пара сусідніх баксів називається бакару, якщо рівно один з них є чесним баксом. Яка найменша можлива кількість пар бакару на дошці? Зауваження: два бакси вважаються сусідніми, якщо їхні клітинки (x1,y1)\left(x_{1}, y_{1}\right) і (x2,y2)\left(x_{2}, y_{2}\right) задовольняють одну з умов: x1=x2x_{1}=x_{2} і y1−y2≡±1( mod 1000)y_{1}-y_{2} \equiv \pm 1(\bmod 1000), або x1−x2≡±1( mod 1000)x_{1}-x_{2} \equiv \pm 1(\bmod 1000) і y1=y2y_{1}=y_{2}.
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-098

Кількість стратегій відгадування числа за п'ять спроб

Девід і Еван грають у гру. Еван загадує натуральне число NN від 1 до 59 включно, а Девід намагається його відгадати. Щоразу, коли Девід називає число, Еван повідомляє йому, чи це число більше, дорівнює чи менше за NN. Девід хоче розробити стратегію, яка гарантуватиме, що він знатиме NN за п'ять спроб. У стратегії Девіда кожна спроба визначатиметься лише відповідями Евана на всі попередні спроби (перша спроба завжди однакова), і Девід називатиме лише число, яке узгоджується з кожною з відповідей Евана. Скільки існує таких стратегій? Зауваження: Девід не зобов'язаний назвати NN протягом своїх п'яти спроб; йому достатньо знати, чому дорівнює NN, після п'яти спроб.
10–11 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-137

Розфарбування вирізаної дошки без шахових квадратів

У Лілі є дошка 300×300300 \times 300 з клітинок. Вона вирізає по 100×100100 \times 100 клітинок з кожного з чотирьох кутів і фарбує кожну з решти 50000 клітинок у чорний або білий колір. Відомо, що жоден квадрат 2×22 \times 2 не пофарбовано в шаховому порядку. Знайдіть найбільшу можливу кількість (невпорядкованих) пар клітинок таких, що одна чорна, друга біла, а клітинки мають спільну сторону.
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-048

Графи без трикутників із 23 ребрами

Скільки існує графів на 1010 вершинах з мітками 1,2,…,101,2, \ldots, 10, які мають рівно 2323 ребра і не містять трикутників?
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-073

Кількість прохідних лабіринтів 5×5

Лабіринт n×mn \times m — це сітка n×mn \times m, у якій кожна клітинка є або стіною, або порожньою. Лабіринт називається прохідним, якщо існує послідовність сусідніх порожніх клітинок від верхньої лівої клітинки до нижньої правої клітинки, яка не проходить крізь стіни. (Зокрема, верхня ліва та нижня права клітинки мають бути порожніми.) Нехай NN — кількість прохідних лабіринтів 5×55 \times 5. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(NE,EN)2⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{2}\right\rfloor балів.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2018-001

Гамільтонів шлях равлика на дошці з фішкою

Дано дошку з 2m2 m рядками та 2n2 n стовпцями, причому mm і nn — натуральні числа. Дозволено поставити одну фішку на клітинку цієї дошки, але не на клітинку ліворуч унизу чи на клітинку праворуч угорі. Потім равлик починає мандрувати дошкою. Равлик починає в клітинці ліворуч унизу і може рухатися горизонтально та вертикально. Равлик не заходить на клітинку з фішкою, але хоче відвідати кожну іншу клітинку рівно один раз, причому клітинка праворуч угорі є його кінцевою точкою. На які клітинки можна поставити фішку, щоб равлик міг досягти своєї мети?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-031

Орієнтований 2-регулярний граф і його 1-регулярні підграфи

У країні Однобамії деякі пари міст сполучені дорогами з одностороннім рухом. Кожна дорога сполучає рівно два міста (дорогам дозволено перетинатися, наприклад, через мости), а між кожною парою міст є не більше однієї дороги. Ба більше, з кожного міста виходять рівно дві дороги і в кожне місто входять рівно дві дороги. Ми хочемо закрити половину доріг Однобамії так, щоб з кожного міста виходила рівно одна дорога і в кожне місто входила рівно одна дорога. Доведіть, що кількість способів зробити це є степенем двійки, більшим за 1 (тобто має вигляд 2n2^n для деякого цілого числа n≥1n \ge 1).
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові тести на IMOTST-2018-019

Розбиття графа знайомств на кліку та незалежну множину

У класі, де є принаймні чотири людини, виконується таке: якщо будь-які четверо з них сідають за круглий стіл, то завжди знайдеться хтось, хто знає обох своїх сусідів або не знає жодного з них. Доведіть, що людей можна розподілити на дві групи (одна з яких може бути порожньою) так, щоб в одній групі кожен знав кожного, а в іншій, навпаки, ніхто нікого не знав. (Якщо особа AA знає особу BB, то BB також знає AA.)
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-009

Круговий турнір та його майстер

a) У чемпіонаті буде 7 учасників. Кожен з них зіграє рівно одну гру проти кожного іншого. Яка загальна кількість ігор чемпіонату? b) У чемпіонаті буде nn учасників і кожен з них зіграє рівно одну гру проти кожного іншого. Доведіть, що загальна кількість ігор дорівнює n⋅(n−1)2\frac{n \cdot (n-1)}{2}. c) Учасник AA називається майстром чемпіонату, якщо кожен інший гравець або програв AA, або програв комусь, хто програв AA. Доведіть, що будь-який чемпіонат, у якому кожен гравець грає рівно один раз проти кожного іншого і не існує нічиїх, завжди має майстра. d) Жуан і Марія були на турнірі, в якому кожен спортсмен мав зіграти проти кожного іншого рівно один раз. Однак Марія через проблеми зі здоров'ям покинула турнір після 10 зіграних ігор, а Жуану довелося піти після своєї першої гри. Наприкінці дня було нараховано загалом 55 ігор. Чи була гра, яку зіграв Жуан, проти Марії?
8–9 класиКомбінації
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-006

Суми вздовж шляхів у таблиці множення

Розглянемо наведену нижче «таблицю множення» розміром 4×44 \times 4. Числа з першого стовпця, помножені на числа з першого рядка, дають решту чисел таблиці. Наприклад, 33 з першого стовпця, помножене на 44 з першого рядка, дає 12 (=3⋅4)12\ (=3 \cdot 4) у клітинці, розташованій у 33-му рядку та 44-му стовпці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Побудуємо шлях з верхньої лівої клітинки до нижньої правої, щоразу рухаючись на одну клітинку вправо або вниз. Наприклад, нижче наведено один із таких можливих шляхів, причому всі числа вздовж шляху обведені колом: | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Якщо додати обведені числа в прикладі вище (включно з початковою та кінцевою клітинками), отримаємо 4848. Розгляньмо всі такі можливі шляхи: а. Яку найменшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна. б. Яку найбільшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
6–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-014

Обнулення дошки суміжними операціями

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Розміщено n2n^{2} цілих чисел 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} у n2n^{2} клітинках дошки n×nn \times n так: перший рядок містить числа 1,2,…,n1,2, \ldots, n (зліва направо), другий рядок містить числа n+1,n+2,…,2nn+1, n+2, \ldots, 2 n і так далі. На кожному кроці можна вибрати дві клітинки зі спільною стороною та додати до обох чисел у цих двох клітинках одне й те саме ціле число або відняти його від них. Знайдіть усі значення nn, для яких можна отримати конфігурацію, в якій лише нулі, а в цьому випадку знайдіть мінімальну кількість кроків, необхідних для її отримання.
8–10 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-002

Нільпотентна матриця і заборонені обходи

Нехай S={1,2,…,n}S=\{1,2, \ldots, n\} для деякого натурального числа nn, а AA — матриця розміру nn на nn, яка складається лише з нулів та одиниць. Назвемо нескінченну послідовність {xi}i≥0\{x_{i}\}_{i \geq 0} дивною, якщо: - xi∈Sx_{i} \in S для всіх ii, - axkxk+1=1a_{x_{k} x_{k+1}}=1 для всіх kk, де aija_{ij} позначає елемент у iйi^{\text{й}} рядку та jйj^{\text{й}} стовпці матриці AA. Доведіть, що множина дивних послідовностей порожня тоді й лише тоді, коли AA нільпотентна, тобто Am=0A^{m}=0 для деякого цілого числа mm.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-034

Грані з однаковою кількістю ребер у багатограннику

Багатогранник має 7n7n граней. Доведіть, що знайдеться n+1n+1 граней цього багатогранника, усі з яких мають однакову кількість ребер.
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-004

Підграф мінімальних за вагою досконалих парувань

Нехай GG — зважений дводольний граф A∪BA \cup B, з ∣A∣=∣B∣=n|A|=|B|=n. Іншими словами, кожному ребру графа присвоєно натуральне число, яке називається його вагою. Також вагою досконалого парування в GG назвемо суму ваг ребер, що входять у це парування. Нехай G′G' — граф з множиною вершин A∪BA \cup B, який містить ребро ee тоді й лише тоді, коли ee входить до деякого досконалого парування мінімальної ваги в GG. Доведіть, що всі досконалі парування в G′G' мають однакову вагу.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-037

Цикли в графах без коротких циклів

Нехай rr — натуральне число. Доведіть, що якщо граф GG не має циклів довжини не більше ніж 2r2r, то він має не більше ніж ∣V∣2016|V|^{2016} циклів довжини рівно 2016r2016r, де ∣V∣|V| позначає кількість вершин графа GG.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-043

Ітераційне зрізання вершин куба

У Рейму є дерев'яний куб. На кожному кроці вона утворює новий многогранник із попереднього, зрізуючи з кожної вершини многогранника піраміду площиною через точки на кожному прилеглому ребрі, які ділять його на три рівні частини і розташовані ближче до цієї вершини. Наприклад, многогранник після першого кроку має шість восьмикутних граней і вісім рівносторонніх трикутних граней. Скільки граней має многогранник після п'ятого кроку?
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-066

Парування у двочастковому графі зі степенем 2

У кімнаті є 2017 жаб і 2017 ропух. Кожна жаба дружить рівно з 2 різними ропухами. Нехай NN — кількість способів розподілити всіх жаб у пари з дружніми їм ропухами так, щоб жодна ропуха не була в парі більш ніж з однією жабою. Нехай DD — кількість різних можливих значень NN, а SS — сума всіх можливих значень NN. Знайдіть впорядковану пару (D,S)(D, S).
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-046

Циклічне домінування у випадковому турнірі

П'ятеро однаково сильних тенісистів на ім'я Аллен, Боб, Кетрін, Девід та Еван грають круговий турнір, у якому кожна пара гравців грає рівно один раз і нічиїх немає. У кожній з десяти ігор обидва гравці мають 50%50\% шанс на перемогу, а результати ігор незалежні. Обчисліть ймовірність того, що існують чотири різні гравці P1,P2,P3,P4P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} такі, що PiP_{i} перемагає Pi+1P_{i+1} при i=1,2,3,4i=1,2,3,4. (Позначаємо P5=P1P_{5}=P_{1}).
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-013

Розподіл ролей із заданими кількостями

У грі «Пента» грають командами по п'ять гравців, існує п'ять ролей, які можуть обирати гравці. Кожен із п'яти гравців обирає дві з п'яти ролей, які він хотів би грати. Якщо кожен гравець обирає свої ролі випадково, то яка ймовірність того, що кожну роль гратимуть рівно два гравці?
10–11 класиСтепені вершин

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.