Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-054

Сума чисел, взаємно простих з m, і степені n

Для будь-якого натурального числа m>1m > 1 визначимо f(m)f(m) як суму усіх натуральних чисел, що менші за mm та взаємнопрості з mm. Знайти усі натуральні nn, для яких існують такі натуральні числа kk і ll, що f(nk)=nlf\left(n^k\right) = n^l.
8–9 класиФункція Ейлера φ(n)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-065

Гра з картками з натуральними числами по колу

Аліночка та Лерочка грають у наступну гру з парною кількістю карт. На кожній з них написано деяке натуральне число. Карти тасуються та розкладаються по колу так, що дівчата бачать числа, що написані на них. Першою починає Лерочка і бере собі довільну карту. Потім вони по черзі забирають собі карти, причому можна брати лише карту, що лежала ліворуч чи праворуч від взятої на попередньому кроці карти. Перемагає той, у кого сума чисел на картах більша. Довести, що Лерочка може забезпечити собі непрограш.
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-162

Мотопробіг з лідерами та інтервалами між змінами

У мотопробігу беруть участь n∈Nn \in \mathbb{N} мотоциклістів. Кожен мотоцикліст починає пробіг у довільний момент часу та у довільній точці траси, їде з довільною постійною швидкістю в напрямку від початку траси, та закінчує їхати у довільний момент часу. Лідером у даний момент часу вважається мотоцикліст, який їде по трасі найдалі від її початку. (Мотоциклісти, які не їдуть або які почали чи закінчили їхати у даний момент, не можуть бути лідерами). Відомо, що ніякі два мотоциклісти не будуть одночасно лідерами протягом деякого ненульового проміжку часу. Послідовно відмічають інтервали між моментами зміни лідерами. Довести, що таких інтервалів менше 2n1,52n^{1{,}5}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-089

Кількість кроків стирання рівних чисел на дошці

Натуральні числа від 11 до 5050 виписані на дошку по п'ятдесят разів кожне. На кожному кроці Дмитрик стирає два рівних числа і записує на дошці їх суму. Скільки кроків необхідно Дмитрику, щоб отримати на дошці всі числа різними?
8–9 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-164

Школярі трьох країн та мова спілкування

У трьох країнах є декілька школярів, які товаришують між собою. Будь-які два школяра з різних країн спілкуються між собою мовою однієї з тих країн, в яких вони живуть. Також відомо, що серед будь-яких трьох школярів з трьох різних країн знайдеться той, хто спілкується з іншими двома мовою своєї країни. Довести, що знайдеться школяр xx та країна MM, відмінна від тої, в якій живе xx, що спілкується з усіма своїми товаришами з MM мовою своєї країни.
10–11 класиСтепені вершин
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-090

Найменше n для виграшу з прогресією довжини 4

Олексій та Дмитро грають у наступну гру. В множині {1,2,...,n}\{1, 2, ..., n\} вони по черзі відмічають числа, при умові, що кожне число відмічається не більше одного разу і спочатку всі числа не відмічені. Першим ходить Олексій. Гра закінчується, як тільки серед відмічених чисел знайдеться арифметична прогресія довжини 44, переможцем при цьому вважається гравець, після ходу якого вона з'явилася. Знайти найменше nn, при якому Олексій має виграшну стратегію (незалежно від гри Дмитра)
8–9 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-031

Гра з коефіцієнтами многочлена і кратність на 30

На дошці записали вираз ∗x2008+∗x2007+∗x2006+…+∗x+∗.*x^{2008} + *x^{2007} + *x^{2006} + \ldots + *x + *. Двоє по черзі записують замість знаків ∗* цілі числа. Гра буде закінчена, коли замість кожного знаку ∗* буде записане число. Перший гравець вважається переможцем, якщо при будь-яких цілих значеннях xx, значення отриманого многочлену буде кратне 3030, інакше переможцем вважається другий гравець. Чи може перший гравець, незалежно від гри другого гравця, забезпечити собі виграш?
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Київська математична карусельKMC-07-08-033

Найближча знизу до половини сума трьох різних обернених

Знайти три попарно різні натуральні числа k,l,mk, l, m, такі сума 1k+1l+1m\frac{1}{k} + \frac{1}{l} + \frac{1}{m} була менша за 12\frac{1}{2}, але якомога ближчою до 12\frac{1}{2}.
8–9 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-029

Найбільша сума чисел ПІФАГОР і КОШІ

Яке найбільше значення приймає вираз ПІФАГОР‾+КОШІ‾?\overline{\text{ПІФАГОР}} + \overline{\text{КОШІ}}? (однаковим буквам відповідають однакові цифри, різним – різні). Скількома способами можна замінити букви цифрами, щоб одержати це максимальне значення? Дати відповідь на обидва питання.
8–9 класиЖадібний алгоритм
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-044

Гра з відмічанням комірок і сумами, кратними 2008

Числа від 11 до 20072007 записані в комірки стрічки 1×20071 \times 2007. Двоє гравців по черзі відмічають комірки даної стрічки. Програє той, після ходу якого існують такі два натуральні числа m<nm < n, що сума чисел у всіх відмічених комірках з номерами від mm до nn ділиться на 20082008. Довести, що існує принаймні тисяча початкових розташувань чисел у комірках, таких що для будь-яких натуральних ii та jj таких, що 1≤i<j≤20071 \le i < j \le 2007, сума чисел у комірках з номерами i,i+1,...,ji, i + 1, ..., j не ділиться на 20082008, при яких перший гравець має виграшну стратегію.
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-122

Ітерації функції x мінус 1/x та прообрази довільного порядку

Нехай множина X=Q∖{−1,0,1}X = \mathbb{Q}\setminus\{-1,0,1\}. Функція f:X→Xf : X \to X визначена таким чином: f(x)=x−1x, f(1)(x)=f(x), f(n)(x)=f(f(n−1)(x)), n∈N.f(x) = x - \frac{1}{x},\ f^{(1)}(x) = f(x),\ f^{(n)}(x) = f\left(f^{(n-1)}(x)\right),\ n \in N. Чи існує x∈Xx \in X таке, що для довільного n∈Nn \in N існує y∈Xy \in X таке, що f(n)(y)=xf^{(n)}(y) = x?
10–11 класиНСД та НСК
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-058

Вісім команд і пари охочих грати

В математичному бої приймало участь 88 команд. Відомо, що у кожної команди існує не більше трьох команд, з якими вона не хоче грати. Довести, що команди можна розбити на пари таким чином, щоб у кожні з цих пар команди хотіли грати між собою. (Якщо команда «А» хоче грати проти команди «Б», то й навпаки, команда «Б» хоче грати проти команди «А»).
8–9 класиНапівінваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-076

Гра королів з кутів a1 і h8

Олексій (за білих) та Дмитро (за чорних) грають у таку гру. В кутах шахової дошки стоять два королі – білий на «a1», чорний – на «h8». Гравці ходять по черзі, починають білі. Гравець може ставити свого короля на будь-яке сусіднє поле, якщо воно вільне, при цьому відстань між полями, на яких будуть розташовані королі (кількість ходів короля за шаховими правилами між цими двома полями), не повинна збільшуватись. Олексій прагне першим поставити свого короля на вертикаль «h» або на восьму горизонталь, а Дмитро – на вертикаль «a» або на першу горизонталь. Хто перемагає при правильній грі?
8–9 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-006

Перестановка пташок у n-кутнику і вид трикутника

У кожній вершині правильного nn-кутника сидить по пташці, і в деякий момент вони одночасно перелітають з одних вершин в інші таким чином, що знову в кожній вершині по одній пташці. Для яких nn ми завжди зможемо знайти таких трьох пташок, що трикутник, який вони утворювали при перельоті, залишився таким самим -кутним (тобто гострокутним, прямокутним чи тупокутним)?
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-013

Перемикання трьох сусідніх перемикачів у четвертий стан

Гомеру Сімпсону, персонажу відомого мультсеріалу «Сімпсони», доручили керувати роботою головного підрозділу атомної електростанції, на якій він працює. Перед ним пульт, на якому в ряд розташовано kk перемикачів, кожен з яких може перебувати в одному з чотирьох станів: «вгору», «вниз», «вліво» та «вправо». Гомер точно не запам'ятав, що саме він має робити з цими перемикачами, проте придумав собі таку розвагу. Він знаходить три послідовні перемикачі, що перемкнуто у три попарно різні позиції та усі три перемикає у четверту позицію. Він повторює таку операцію доки це можливо. Доведіть, що рано чи пізно Гомер не зможе в черговий раз повторити придуману ним розвагу і йому доведеться вигадувати для себе щось новеньке.
8–9 класиНапівінваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-019

Пересування фішки по дошці 2007×2007 двома гравцями

У центральній клітині дошки розміром 2007×20072007\times2007 стоїть фішка. Двоє гравців по черзі пересувають її на одну з сусідніх клітинок (клітинки, що мають спільну сторону). При цьому перший гравець або зберігає напрямок руху фішки, або повертає ліворуч, а другий гравець або зберігає напрямок руху, або повертає праворуч. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців має виграшну стратегію?
8–9 класиНапівінваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-048

Переможець гри з монетами на таблиці n × n

Два гравці AA і BB використовують для гри квадратну таблицю n×nn \times n. Спочатку всі клітини таблиці порожні. За хід гравець має право покласти монету у будь-яку комірку, де ще немає монети, і яка не межує з клітинами, де монета вже є. Гравці ходять по черзі, перший хід належить гравцеві AA. Гравець, який робить останній хід, виграє. Чи може хтось із гравців забезпечити собі виграш? Якщо так, то хто саме? (Дві клітинки таблиці межують, якщо в них є спільна сторона.)
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-061

Розрізи з середин сторін правильного n-кутника

Святковий торт має форму правильного nn-кутника, вписаного у коло радіуса 11. Із середини кожної сторони всередину торта (у довільному напрямку) проводиться розріз завдовжки 11. Чи обов'язково при цьому від торта буде відрізано хоча б один шматок?
8–9 класиНапівінваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-012

Найбільше число з різними цифрами і добутком 360

Знайдіть найбільше натуральне число з попарно різними цифрами, добуток цифр якого дорівнює 360360.
Жадібний алгоритм
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-24-25-019

Склеювання пазла по два і по три шматочки

Петрик склеїв пазл рівно за 22 години, при цьому за 11 хв він склеював разом 22 шматочки — окремих чи вже раніше склеєних. За який час цей пазл склеїла б Даринка, якщо вона може за хвилину склеювати 33 шматочки?
4 класІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-24-25-021

Максимальна кількість карток без суми 2000

У Петрика є картки, на яких написані числа 11, 44, 77, 1010, …, 19991999. Він хоче з них вибрати картки так, щоб серед них не було жодних двох, сума чисел на яких дорівнює 20002000. Яку максимальну кількість карток йому вдасться вибрати?
4 класСиметрія та розбиття на пари
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-24-25-051

Перекладання 13 монет між гаманцями Петрика і Василя

Петрик і Василь грають у таку гру. На початку гри в гаманці Василя лежать 1313 монет, а в гаманці Петрика монет немає. Вони роблять ходи по черзі, починає Петрик. Кожним своїм ходом Петрик може з гаманця Василя перекласти деяку кількість монет у свій гаманець, а Василь кожним своїм ходом може перекласти деяку кількість монет із гаманця Петрика до свого гаманця. За правилами гри, кожен хід обох гравців за кількістю монет не може повторюватися надалі жодним із гравців, крім того, не перекласти жодної монети також не можна. Гра завершується, коли один із гравців не може зробити хід за правилами. Кожен із гравців мріє наприкінці отримати якомога більше монет у своєму гаманці. Чим закінчиться гра за таких умов?
5 класСиметрія та розбиття на пари
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-019

П’ять чисел без суми двох 10 та обов’язкове число

Петрик виписав на дошці п’ять попарно різних чисел від 11 до 99 таким чином, що сума будь-яких двох із них не дорівнює 1010. Яке число мав Петрик виписати обов’язково?
4 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-038

Гра Малюка і Карлсона зі 100 цукерками

Малюк і Карлсон грають у таку гру. На початку гри в них є купа, що складається зі 100100 цукерок. Малюк за один хід може або поділити існуючу купу цукерок на дві купки, кожна з яких має містити принаймні одну цукерку, або з’їсти одну цукерку з будь-якої купки. Карлсон за свій хід може з’їсти всі цукерки з однієї купки. Перемагає в цій грі той, хто з’їсть останню цукерку. Чи зможе Малюк перемогти в цій грі, якщо перемоги прагне кожен?
5 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-024

Суми чисел у шерензі хлопчиків і дівчаток

В одній шерензі в деякому порядку стоять 1010 хлопчиків і 1010 дівчаток. Кожна дівчинка сказала, скільки дітей стоїть від неї ліворуч, а кожний хлопчик сказав, скільки дітей стоїть від нього праворуч. Сума чисел, що назвали хлопчики, виявилася рівною 100100. Якою може бути сума чисел, названих дівчатками? Укажіть усі можливі відповіді. Примітка. Якщо хлопчик стоїть із правого краю, тобто правіше від нього немає жодної іншої дитини, то він називає число 00 або не називає ніякого числа, тобто від того сума чисел усіх хлопчиків не змінюється. Так само й для дівчинки, якщо вона стоїть найлівішою в ряду.
4 класІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.