Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

764 задачі
АлгебраМногочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-025

Розклад на прості множники частки чисел

Число 316990099009901=32016000000000001101316990099009901 = \frac{32016000000000001}{101} є добутком двох різних простих чисел. Знайдіть менше з цих двох простих чисел.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-124

Сума коефіцієнтів симетричного многочлена

Нехай ζ=e2πi/99\zeta = e^{2 \pi i / 99} і ω=e2πi/101\omega = e^{2 \pi i / 101}. Многочлен x9999+a9998x9998+⋯+a1x+a0x^{9999} + a_{9998} x^{9998} + \cdots + a_{1} x + a_{0} має корені ζm+ωn\zeta^{m} + \omega^{n} для всіх пар цілих чисел (m,n)(m, n), де 0≤m<990 \leq m < 99 і 0≤n<1010 \leq n < 101. Обчисліть a9799+a9800+⋯+a9998a_{9799} + a_{9800} + \cdots + a_{9998}.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-038

Рівносторонній трикутник з коренями як абсцисами вершин

Рівносторонній трикутник лежить у декартовій площині так, що координати xx його вершин попарно різні й усі задовольняють рівняння x3−9x2+10x+5=0x^{3}-9 x^{2}+10 x+5=0. Обчисліть довжину сторони трикутника.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-058

Система степеневих сум із комплексними змінними

Нехай m>n>1m>n>1 — натуральні числа, для яких існують nn комплексних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} таких, що - x1k+x2k+⋯+xnk=1x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k}=1 при k=1,2,…,n−1k=1,2, \ldots, n-1; - x1n+x2n+⋯+xnn=2x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\cdots+x_{n}^{n}=2; і - x1m+x2m+⋯+xnm=4x_{1}^{m}+x_{2}^{m}+\cdots+x_{n}^{m}=4. Знайдіть найменше можливе значення m+nm+n.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-059

Вкладені радикали як корені многочлена

Існує єдина четвірка натуральних чисел (a,b,c,k)(a, b, c, k) така, що cc не є повним квадратом і a+b+ca+\sqrt{b+\sqrt{c}} є коренем многочлена x4−20x3+108x2−kx+9x^{4}-20 x^{3}+108 x^{2}-k x+9. Обчисліть cc.
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-061

Монічні многочлени з єдиними універсальними дільниками

Нехай P1(x),P2(x),…,Pk(x)P_{1}(x), P_{2}(x), \ldots, P_{k}(x) — монічні многочлени степеня 1313 з цілими коефіцієнтами. Припустімо, що існують попарно різні натуральні числа n1,n2,…,nkn_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k} такі, що для всіх натуральних чисел ii і jj, не більших за kk, твердження «nin_{i} ділить Pj(m)P_{j}(m) для кожного цілого mm» виконується тоді й лише тоді, коли i=ji = j. Обчисліть найбільше можливе значення kk.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-066

Кубічний добуток за модулем простого числа

Нехай P=∏i=02016(i3−i−1)2P=\prod_{i=0}^{2016}\left(i^{3}-i-1\right)^{2} Остача від ділення PP на просте число 20172017 відмінна від нуля. Обчисліть цю остачу.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові тести на IMOTST-2023-026

Комплексні числа з одиничним добутком і дійсними сумами

Нехай aa, bb і cc — три комплексні числа, добуток яких дорівнює 11. Припустимо, що жодне з чисел aa, bb і cc не є дійсним і не має модуля 11. Визначимо p=(a+b+c)+(1a+1b+1c)іq=ab+bc+ca.p = (a + b + c) + \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \quad \text{і} \quad q = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}. Відомо, що обидва числа pp і qq дійсні. Знайдіть усі можливі значення впорядкованої пари (p,q)(p, q).
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Відбіркові тести на IMOTST-2023-037

Монічний многочлен із дійсними коренями меншими за 1

Знайдіть усі монічні многочлени P(x)=x2023+a2022x2022+⋯+a1x+a0P(x) = x^{2023} + a_{2022} x^{2022} + \cdots + a_{1} x + a_{0} з дійсними коефіцієнтами такі, що a2022=0a_{2022} = 0, P(1)=1P(1) = 1, а всі корені PP дійсні й менші за 11.
10–11 класиНерівність Коші
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-009

Циклічна система з цілою сумою

Нехай xx, yy і zz — дійсні числа такі, що x2=y+2x^{2} = y + 2, y2=z+2y^{2} = z + 2 і z2=x+2z^{2} = x + 2. Доведіть, що x+y+zx + y + z — ціле число.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-013

Многочлен четвертого степеня з усіма додатними коренями

Знайдіть усі ненульові дійсні числа aa, bb, cc такі, що наведений нижче многочлен має чотири (не обов’язково різні) додатні дійсні корені. P(x)=ax4−8ax3+bx2−32cx+16cP(x) = a x^{4} - 8a x^{3} + b x^{2} - 32c x + 16c
10–11 класиТеорема Вієта
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-001

Спільні точки многочленів другого степеня з протилежними коефіцієнтами

Многочлени другого степеня P(x)P(x) і Q(x)Q(x) мають старші коефіцієнти 22 і −2-2 відповідно. Графіки обох многочленів проходять через дві точки (16,54)(16, 54) і (20,53)(20, 53). Знайдіть P(0)+Q(0)P(0) + Q(0).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-015

Степеневі суми, кратні простому числу

Нехай pp — непарне просте число, а x1,…,xpx_{1}, \ldots, x_{p} — цілі числа. Припустимо, що для кожного цілого k⩾1k \geqslant 1 виконується p∣x1k+⋯+xpkp \mid x_{1}^{k}+\cdots+x_{p}^{k} Доведіть, що цілі числа x1,…,xpx_{1}, \ldots, x_{p} усі конгруентні за модулем pp.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-012

Цілочисельні многочлени зі збереженням простих дільників

Знайти всі многочлени P∈Z[X]P \in \mathbb{Z}[X] такі, що: (i) P(n)⩾1P(n) \geqslant 1 для всіх n⩾1n \geqslant 1 (ii) P(mn)P(mn) і P(m)P(n)P(m) P(n) мають однакову кількість простих дільників для всіх m,n⩾1m, n \geqslant 1.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-004

Квазірозфарбування графів з обмеженням на степені

Назвемо простий граф GG квазі-розфарбовуваним, якщо кожне його ребро можна пофарбувати в синій, червоний, зелений або білий колір так, щоб - для кожної вершини vv степеня 33 у GG три ребра, що містять vv як кінцеву вершину, були пофарбовані або в синій, червоний і зелений кольори, або всі три ребра були білими, - не всі ребра були білими. Зв'язний граф GG має aa вершин степеня 44, bb вершин степеня 33 і не має інших вершин, де aa і bb — натуральні числа. Знайдіть найменше дійсне число cc, для якого таке твердження є істинним: «Якщо a/b>ca / b > c, то GG є квазі-розфарбовуваним».
10–11 класиДерева2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-005

Суми квазіперіодичних функцій

Нехай pp — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — множина цілих чисел за модулем pp. Назвемо функцію f:Fp2→Fpf: \mathbb{F}_p^2 \rightarrow \mathbb{F}_p квазіперіодичною, якщо існують a,b∈Fpa, b \in \mathbb{F}_p, не обидва нульові, такі, що f(x+a,y+b)=f(x,y)f(x+a, y+b)=f(x, y) для всіх x,y∈Fpx, y \in \mathbb{F}_p. Знайдіть з доведенням кількість функцій Fp2→Fp\mathbb{F}_p^2 \rightarrow \mathbb{F}_p, які можна подати у вигляді суми деякої кількості квазіперіодичних функцій.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-108

Квадратний тричлен із простими коефіцієнтами та цілим коренем

Аліса знову дуже нудьгує на уроці. За примхою вона обирає три прості числа p,q,rp, q, r незалежно та рівномірно випадково з множини простих чисел, що не перевищують 3030. Потім вона обчислює корені многочлена px2+qx+rp x^{2} + q x + r. Яка ймовірність того, що принаймні один з її коренів є цілим числом?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-095

Корені многочлена четвертого степеня на колі

Нехай P(x)=x4+ax3+bx2+xP(x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + x — многочлен із чотирма різними коренями, які лежать на колі в комплексній площині. Доведіть, що ab≠9a b \neq 9.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-132

Площа трикутника з центроїдів за площами з середин

Нехай A1B1C1A_{1} B_{1} C_{1}, A2B2C2A_{2} B_{2} C_{2} і A3B3C3A_{3} B_{3} C_{3} — три трикутники на площині. Для 1≤i≤31 \leq i \leq 3 нехай DiD_{i}, EiE_{i} і FiF_{i} — середини сторін BiCiB_{i} C_{i}, AiCiA_{i} C_{i} і AiBiA_{i} B_{i} відповідно. Крім того, для 1≤i≤31 \leq i \leq 3 нехай GiG_{i} — центроїд трикутника AiBiCiA_{i} B_{i} C_{i}. Припустимо, що площі трикутників A1A2A3A_{1} A_{2} A_{3}, B1B2B3B_{1} B_{2} B_{3}, C1C2C3C_{1} C_{2} C_{3}, D1D2D3D_{1} D_{2} D_{3}, E1E2E3E_{1} E_{2} E_{3} і F1F2F3F_{1} F_{2} F_{3} дорівнюють 2,3,4,20,212, 3, 4, 20, 21 і 20202020 відповідно. Обчисліть найбільшу можливу площу трикутника G1G2G3G_{1} G_{2} G_{3}.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-122

Монічний многочлен із функціональним рівнянням

Нехай P(x)P(x) — монічний многочлен степеня 20232023, такий, що P(k)=k2023P(1−1k)P(k) = k^{2023} P\left(1 - \frac{1}{k}\right) для кожного натурального числа 1≤k≤20231 \leq k \leq 2023. Тоді P(−1)=abP(-1) = \frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості цілі числа. Знайдіть єдине ціле число 0≤n<20270 \leq n < 2027, таке, що bn−ab n - a ділиться на просте число 20272027.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-035

Многочлен із тригонометричними коефіцієнтами і синус кута

Нехай задано кут θ\theta. Розгляньмо многочлен P(x)=sin⁡(θ)x2+(cos⁡(θ)+tg⁡(θ))x+1P(x) = \sin (\theta) x^{2} + (\cos (\theta) + \operatorname{tg} (\theta)) x + 1 Відомо, що PP має лише один дійсний корінь. Знайдіть усі можливі значення sin⁡(θ)\sin (\theta).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-062

Сума координат симетричної системи

Нехай (x1,y1),…,(xk,yk)\left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{k}, y_{k}\right) — попарно різні дійсні розв’язки рівняння (x2+y2)6=(x2−y2)4=(2x3−6xy2)3\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}=\left(x^{2}-y^{2}\right)^{4}=\left(2 x^{3}-6 x y^{2}\right)^{3} Тоді ∑i=1k(xi+yi)\sum_{i=1}^{k}\left(x_{i}+y_{i}\right) можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиТригонометричні рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-073

Екстремальне відношення відстаней між коренями кубічного многочлена

Для кубічного многочлена P(x)P(x) з комплексними коренями z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} покладемо M(P)=max⁡(∣z1−z2∣,∣z1−z3∣,∣z2−z3∣)min⁡(∣z1−z2∣,∣z1−z3∣,∣z2−z3∣)M(P)=\frac{\max \left(\left|z_{1}-z_{2}\right|,\left|z_{1}-z_{3}\right|,\left|z_{2}-z_{3}\right|\right)}{\min \left(\left|z_{1}-z_{2}\right|,\left|z_{1}-z_{3}\right|,\left|z_{2}-z_{3}\right|\right)} Серед усіх многочленів P(x)=x3+ax2+bx+cP(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c, де a,b,ca, b, c — невід'ємні цілі числа, що не перевищують 100, а P(x)P(x) не має кратних коренів, двадцяте за величиною можливе значення M(P)M(P) дорівнює mm. Оцініть A=⌊m⌋A=\lfloor m\rfloor. Оцінка EE приносить max⁡(0,⌊20−20∣3ln⁡(A/E)∣1/2⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-20|3 \ln (A / E)|^{1 / 2}\right\rfloor\right) очок.
10–11 класиМногочлени третього степеня
Відбіркові тести на IMOTST-2022-024

Многочлен із умовою P(x²+x-n²) = P(x)²+P(x)

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі многочлени PP з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x2+x−n2)=P(x)2+P(x)P\left(x^{2}+x-n^{2}\right)=P(x)^{2}+P(x) для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…3 розв’язки
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2021-003

Корені многочлена за спряженого перетворення

Нагадаємо, що спряженим до комплексного числа w=a+biw = a + bi, де aa і bb — дійсні числа, а i=−1i = \sqrt{-1}, є комплексне число wˉ=a−bi\bar{w} = a - bi. Для довільного комплексного числа zz нехай f(z)=4izˉf(z) = 4i\bar{z}. Многочлен P(z)=z4+4z3+3z2+2z+1P(z) = z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1 має чотири комплексні корені: z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 і z4z_4. Нехай Q(z)=z4+Az3+Bz2+Cz+DQ(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 + Cz + D — многочлен, коренями якого є f(z1),f(z2),f(z3)f(z_1), f(z_2), f(z_3) і f(z4)f(z_4), де коефіцієнти A,B,CA, B, C і DD — комплексні числа. Чому дорівнює B+DB + D? (A) −304-304 (B) −208-208 (C) 12i12i (D) 208208 (E) 304304
10–11 класиТеорема Вієта

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.