Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

849 задач
ГеометріяПодібність (без кіл та площ)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-046

Інцентр, дотичне коло з центром на описаному колі та прямий кут

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з інцентром II. Вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторони BC‾\overline{BC} в точці DD. Нехай MM — середина сторони BC‾\overline{BC}, а пряма AIAI перетинає описане коло трикутника △ABC\triangle ABC знову в точці L≠AL \neq A. Нехай ω\omega — коло з центром у LL, дотичне до прямих ABAB і ACAC. Якщо ω\omega перетинає відрізок AD‾\overline{AD} в точці PP, доведіть, що ∠IPM=90∘\angle IPM = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-066

Прямокутник із заданими радіусами описаних кіл

Нехай ABCDABCD — прямокутник з BC=24BC = 24. Точка XX лежить всередині прямокутника так, що ∠AXB=90∘\angle AXB = 90^{\circ}. Відомо, що трикутники △AXD\triangle AXD і △BXC\triangle BXC обидва гострокутні та мають радіуси описаних кіл 1313 і 1515 відповідно. Обчисліть довжину сторони ABAB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-018

Вписаний прямокутний трикутник у рівносторонньому трикутнику

Прямокутний трикутник △DEF\triangle DEF з ∠D=90∘\angle D = 90^{\circ} і ∠F=30∘\angle F = 30^{\circ} вписано в рівносторонній трикутник △ABC\triangle ABC так, що DD, EE і FF лежать на відрізках BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно. Відомо, що BD=7BD = 7 і DC=4DC = 4. Обчисліть довжину відрізка DEDE.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-019

Очікувана відстань у множині Кантора

Множина Кантора означається як множина дійсних чисел xx таких, що 0≤x<10 \leq x < 1 і цифра 11 не трапляється в розкладі за основою 33 числа xx. Два числа вибирають рівномірно й незалежно випадковим чином з множини Кантора. Обчисліть математичне сподівання їхньої абсолютної різниці. (Формально, число xx можна вибрати рівномірно випадковим чином з множини Кантора, спочатку вибравши дійсне число yy рівномірно випадковим чином з проміжку [0,1)[0,1), записавши його у двійковому вигляді, прочитавши його цифри так, ніби це запис за основою 33, і поклавши xx рівним 22, помноженому на результат.)
10–11 класиРозбиття на випадки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-004

Біцентричний чотирикутник з радіусами вписаних кіл

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник із вписаним колом радіуса 66. Нехай продовження сторін ABAB і DCDC за точки BB і CC відповідно перетинаються в точці PP, а продовження сторін ADAD і BCBC за точки DD і CC відповідно перетинаються в точці QQ. Радіуси вписаних кіл трикутників PBCPBC і QCDQCD дорівнюють 55 і 33 відповідно. Знайдіть BCCD\frac{BC}{CD}.
10–11 класиВписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-011

Вписаний п'ятикутник із симетріями відносно сторін

П'ятикутник ABCDE вписано в коло Ω\Omega, причому AC=ADAC = AD і BC∥DEBC \parallel DE. Візьмемо точку PP на дузі CDCD кола Ω\Omega, яка не містить AA. Нехай P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 і P5P_5 — точки, симетричні точці PP відносно прямих AB,BC,CD,DEAB, BC, CD, DE і EAEA відповідно. Коли PC:PD=P1P2:P4P5=2:3PC : PD = P_1P_2 : P_4P_5 = 2 : 3 і CD:P2P4=42:11CD : P_2P_4 = 4\sqrt{2} : 11, знайдіть значення P1P3P1P5\frac{P_1P_3}{P_1P_5}.
10–11 класиСиметрія
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-010

Рівносторонні трикутники на паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм з властивістю, що ∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD|. Нехай PP і QQ — точки такі, що △ADP\triangle ADP і △CDQ\triangle CDQ — рівносторонні трикутники, які не перетинаються з паралелограмом. Доведіть, що ∠PQD=30∘\angle PQD = 30^\circ.
10–11 класиОзнаки подібності
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-028

Паралелограми в трикутнику та паралельність прямих

Точки EE і FF вибрано відповідно на сторонах CACA і ABAB трикутника ABCABC. Прямі BEBE і CFCF перетинаються в точці PP. Нехай QQ — точка, така, що PBQCPBQC — паралелограм, а RR — точка, така, що AERFAERF — паралелограм. Доведіть, що PR∥AQPR \parallel AQ.
10–11 класиВекторний метод2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-049

Циклічний чотирикутник із бісектрис кутів

У трикутнику ABCABC внутрішні бісектриси при вершинах BB і CC перетинаються в точці II і перетинають сторони CACA і ABAB у точках EE і FF відповідно. Нехай MM і NN — середини відрізків BIBI і CICI відповідно. Пряма FMFM перетинає зовнішню бісектрису при вершині BB трикутника ABCABC у точці KK, а пряма ENEN перетинає зовнішню бісектрису при вершині CC трикутника ABCABC у точці LL. Доведіть, що точки K,B,CK, B, C і LL лежать на одному колі.
11 класГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-003

Рівновіддалена точка на хорді вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, ω\omega — його вписане коло, а DD, EE і FF — точки дотику кола ω\omega зі сторонами BCBC, CACA і ABAB відповідно. Перпендикуляр до (BC)(BC) у точці CC перетинає пряму (EF)(EF) у точці MM, а перпендикуляр до (BC)(BC) у точці BB перетинає пряму (EF)(EF) у точці NN. Пряма (DM)(DM) вдруге перетинає ω\omega у точці PP, а пряма (DN)(DN) вдруге перетинає ω\omega у точці QQ. Доведіть, що DP=DQDP = DQ.
8–10 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-124

Прямокутний трикутник з висотою, бісектрисою й медіаною

Нехай ABCABC — трикутник із ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Нехай DD, EE і FF — основи висоти, бісектриси та медіани, проведених з AA до BCBC відповідно. Якщо DE=3DE = 3 і EF=5EF = 5, обчисліть довжину BCBC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-128

Коло через вершини трикутника та дотик кіл

У трикутнику ABCABC коло ω\omega з центром OO проходить через BB і CC та вдруге перетинає відрізки AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} у точках B′B' і C′C' відповідно. Припустимо, що кола з діаметрами BB′BB' і CC′CC' зовні дотикаються одне до одного в точці TT. Якщо AB=18AB = 18, AC=36AC = 36 і AT=12AT = 12, обчисліть довжину відрізка AOAO.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-080

Коло, дотичне до сторін трикутника, з паралельною хордою

Дано трикутник ABCABC, у якого AB=5AB = 5, BC=8BC = 8 і ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}. Коло ω\omega, дотичне до відрізків AB‾\overline{AB} і BC‾\overline{BC}, перетинає відрізок CA‾\overline{CA} в точках XX і YY так, що точки C,Y,XC, Y, X і AA лежать на відрізку CA‾\overline{CA} в цьому порядку. Якщо коло ω\omega дотикається до відрізка AB‾\overline{AB} в точці ZZ і ZY∥BCZY \parallel BC, обчисліть радіус кола ω\omega.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-052

Довжина відрізка з рівними кутами в трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція з AB∥CDAB \parallel CD. Точка XX лежить на відрізку BC‾\overline{BC} так, що ∠BAX=∠XDC\angle BAX = \angle XDC. Відомо, що AB=5AB = 5, BX=3BX = 3, CX=4CX = 4 і CD=12CD = 12. Обчисліть довжину відрізка AXAX.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-020

Хорда описаного кола в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний рівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} відповідно. Описане коло трикутника MHNMHN перетинає пряму BCBC у двох точках XX і YY. Відомо, що XY=AB=AC=2XY = AB = AC = 2, обчисліть BC2BC^2.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові тести на IMOTST-2024-003

Дотична в A перпендикулярна до HM

Нехай дано трикутник △ABC\triangle A B C з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Нехай далі DD — образ AA при симетрії відносно BB, а EE — образ AA при симетрії відносно CC. Середину відрізка DED E позначимо через MM. Доведіть, що дотична до кола Γ\Gamma у точці AA перпендикулярна до прямої HMH M.
10–11 класиТочка перетину висот4 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2024-012

Паралельність у конфігурації висот трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, такий, що ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, з описаним колом Γ\Gamma з центром OO. Точки D,ED, E і FF побудовано як основи висот з A,BA, B і CC відповідно. Нехай PP — точка перетину дотичних до кола Γ\Gamma, проведених через BB і CC. Пряма через PP, перпендикулярна до прямої EFEF, перетинає пряму ADAD у точці QQ. Нехай RR — ортогональна проєкція AA на пряму EFEF. Доведіть, що прямі DRDR і OQOQ паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2024-013

Паралельні прямі у конфігурації висот трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник такий, що ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, з описаним колом Γ\Gamma з центром OO. Точки DD, EE і FF побудовано як основи висот, проведених відповідно з AA, BB і CC. Точку перетину дотичних до кола Γ\Gamma, проведених через BB і CC, позначимо PP. Пряма, що проходить через PP перпендикулярно до прямої EFEF, перетинає пряму ADAD в точці QQ. Нехай RR — ортогональна проєкція AA на пряму EFEF. Доведіть, що прямі DRDR і OQOQ паралельні.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-007

Довжина відрізка у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом при вершині CC зі сторонами BC=3BC=3 і AB=12AB=12. Нехай MM — середина гіпотенузи ABAB, а DD — перетин прямої ACAC з описаним колом трикутника BCMBCM. Нехай нарешті PP — точка перетину прямих BCBC і MDMD. Чому дорівнює довжина відрізка PAPA? (A) 28515\frac{28}{5} \sqrt{15} (B) 6156 \sqrt{15} (C) 2424 (D) 121512 \sqrt{15} (E) 4848
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-015

Площа смуги біля периметра чотирикутника

Опуклий чотирикутник ABCDABCD такий, що AB=14AB = 14, BC=24BC = 24, CD=26CD = 26 і DA=16DA = 16. Його площа дорівнює 360360. Знайдіть площу області площини всередині чотирикутника, утвореної точками, віддаленими не більше ніж на 33 від його периметра. (A) 100100 (B) 120120 (C) 120+9π120 + 9\pi (D) 156156 (E) 200200
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-002

Рівнобедрений трикутник з бісектрисних перетинів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з AA. Нехай EE та FF — відповідно перетин прямої ACAC з описаним колом трикутника ABDABD і перетин прямої ABAB з описаним колом трикутника ACDACD. Нехай також PP — перетин прямих BEBE і CFCF. a. Доведіть, що трикутник PBCPBC — рівнобедрений. b. Доведіть, що BD:BE=CD:CFBD : BE = CD : CF. c. Нехай F′F^{\prime} — точка, симетрична точці FF відносно середини відрізка BCBC. Доведіть, що трикутник EBF′EBF^{\prime} подібний до трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-011

Дотичні до вписаного кола та відображені відрізки

Нехай ω\omega — вписане коло різностороннього трикутника ABCABC. Нехай ω\omega дотикається до сторін ABAB і ACAC у точках XX і YY. Нехай X′X' і Y′Y' — точки на відрізках ABAB і ACAC відповідно такі, що AX′=XBAX' = XB і AY′=YCAY' = YC. Нехай пряма CX′CX' перетинає ω\omega у точках P,QP, Q так, що PP ближча до CC, ніж QQ. Також нехай RR — точка перетину прямих CX′CX' і BY′BY'. Доведіть, що CP=RX′CP = RX'.
10–11 класиГомотерія і подібність
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2023-004

Прямокутник, нахилений з фіксованою діагоналлю

Прямокутник ABCDABCD стоїть стороною ABAB на землі, а стороною BCBC — біля стіни. Довжина сторони ADAD дорівнює 44, довжина сторони CDCD дорівнює 33, а довжина діагоналі ACAC дорівнює 55. Прямокутник нахиляється, обертаючись навколо точки AA, так, що точка CC опиняється прямо над точкою AA. У цій ситуації, яка відстань від точки BB до стіни? A) 23\frac{2}{3} B) 35\frac{3}{5} C) 58\frac{5}{8} D) 712\frac{7}{12} E) 813\frac{8}{13}
7–9 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-021

Діаметр кола та бісектриса кута

У гострокутному трикутнику ABCABC, де ∣BC∣<∣BA∣|BC| < |BA|, точка NN — середина сторони ACAC. Коло з діаметром ABAB перетинає бісектрису ∠B\angle B у двох точках: BB і XX. Доведіть, що пряма XNXN паралельна BCBC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-031

Перпендикулярність у трикутнику з дотичним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а EE — середина відрізка [BC][BC]. Нехай mm — серединний перпендикуляр до відрізка [AC][AC], а DD — точка на прямій mm така, що описане коло трикутника ABDABD дотикається до прямої mm. Нарешті, нехай KK — точка перетину, відмінна від AA, описаного кола трикутника ABDABD і прямої (AC)(AC), а FF — середина відрізка [CK][CK]. Доведіть, що прямі (DE)(DE) і (EF)(EF) перпендикулярні.
9–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.