Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

727 задач
КомбінаторикаПринцип Діріхле (скінченні множини)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-026

Мисливці проти зайця на графі

Невидимий заєць перебуває в одній з NN вершин графа GG. Кілька мисливців намагаються вбити зайця. Щохвилини всі вони одночасно стріляють: кожен мисливець стріляє в одну вершину, цільові вершини вони обирають спільно. Якщо під час пострілу заєць був у цільовій вершині, полювання завершується. Інакше заєць може стрибнути в одну із сусідніх вершин або залишитися у своїй вершині. Мисливці знають алгоритм, який дає змогу вбити зайця не більш ніж за N!N! пострілів. Доведіть, що тоді існує алгоритм, який дає змогу вбити зайця не більш ніж за 2N2^N пострілів.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-007

Пірати, що ціляться у двох інших

Декілька піратів почали суперечку, і тепер кожен із них націлив пістолети на деяких двох інших. Усіх піратів викликають по черзі в якомусь порядку. Якщо викликаний пірат ще живий, то він одразу стріляє у двох піратів, яких він тримав під прицілом (деякі з них можуть бути вже мертвими). Усі постріли миттєво вбивають. Після того як викликали всіх піратів, виявилося, що рівно 2828 піратів було вбито. Доведіть, що якби піратів викликали в іншому довільному порядку, то принаймні 1010 піратів усе одно було б убито.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-008

Зображення числа з менш ніж 2k ненульовими коефіцієнтами

Дано натуральне число nn і натуральні числа u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n, що не перевищують 2k2^k, для деякого натурального k⩾3k\geqslant 3. Назвемо зображенням числа tt таку послідовність невід'ємних цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що t=a1u1+a2u2+…+anun.t=a_1u_1+a_2u_2+\ldots+a_nu_n. Доведіть, що коли ціле невід'ємне число tt має зображення, то воно також має зображення, у якому серед чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n менше ніж 2k2k ненульових.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-002

Розфарбування натуральних чисел з локальною адитивністю

Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого існують розфарбування натуральних чисел Z>0\mathbb{Z}_{>0} у kk кольорів і функція f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} з такими двома властивостями: (i) Для всіх натуральних чисел m,nm, n одного кольору f(m+n)=f(m)+f(n)f(m+n)=f(m)+f(n). (ii) Існують натуральні числа m,nm, n такі, що f(m+n)≠f(m)+f(n)f(m+n) \neq f(m)+f(n). У розфарбуванні Z>0\mathbb{Z}_{>0} у kk кольорів кожне число зафарбовано рівно в один із kk кольорів. І в (i), і в (ii) натуральні числа m,nm, n не обов’язково різні.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-019

Добуток чотирьох чисел — квадрат

Множина AA складається з 2016 натуральних чисел. Усі прості дільники цих чисел менші за 29. Доведіть, що існують чотири різні числа aa, bb, cc і dd з множини AA такі, що abcdabcd є квадратом.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-026

Розфарбування дошки ходами в рядках і стовпцях

Нехай kk і tt — цілі числа, для яких 1≤k/2<t<k1 \le k/2 < t < k. Кожна клітинка дошки k×kk \times k пофарбована або в червоний, або в синій колір. Хід полягає у виборі рядка або стовпця з не більш ніж tt червоними клітинками та перефарбуванням цих червоних клітинок у синій колір. Припустімо, що за допомогою послідовності ходів можна зробити всі клітинки дошки синіми, і нехай mm — найменша кількість ходів, потрібна для цього. Доведіть, що якщо m>km > k, то загальна кількість початково червоних клітинок становить принаймні k+2tk + 2t.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2015-008

Максимальне заповнення кошиків зі змінними частками

Родина носить одяг трьох кольорів: червоного, синього та зеленого, і для кожного кольору є окремий кошик для білизни. Щотижня в родині утворюється загалом KK кілограмів брудної білизни (частка кожного кольору може змінюватися). Білизну спочатку сортують за кольором і розкладають по кошиках. Потім найповніший кошик спорожнюють і його вміст перуть. Яка місткість потрібна кошикам для білизни, щоб вони ніколи не переповнювалися?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-001

Збалансовані та ексцентричні множини з n точок

Скінченну множину точок SS назвемо збалансованою, якщо для будь-яких різних точок AA та BB із множини SS знайдеться така точка CC із множини SS, що AC=BCAC = BC. Множину SS називатимемо ексцентричною, якщо для будь-яких трьох різних точок AA, BB та CC із множини SS не існує такої точки PP із множини SS, що PA=PB=PCPA = PB = PC. а) Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾3n \geqslant 3 існує збалансована множина, що складається з nn точок. б) Знайдіть усі цілі n⩾3n \geqslant 3, для яких існує збалансована ексцентрична множина, що складається з nn точок.
10–11 класиГеометричні приклади і контрприкл…
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-008

Періодична послідовність різниць функції

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Розглянемо функцію f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}. Для будь-яких m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} пишемо fn(m)=f(f(…f⏟n(m)…))f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots)). Припустимо, що ff має такі дві властивості: (i) Якщо m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0}, то fn(m)−mn∈Z>0\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}; (ii) Множина Z>0\{f(n)∣n∈Z>0}\mathbb{Z}_{>0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{>0}\right\} скінченна. Доведіть, що послідовність f(1)−1,f(2)−2,f(3)−3,…f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots є періодичною.
10–11 класиАрифметична прогресія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-030

Розфарбування шапок з обмеженням на степінь

Є великий натовп хлопців і дівчат. Чи завжди можна роздати їм шапки 100100 кольорів (кожен отримує одну шапку) так, що якщо деякий хлопець знайомий принаймні з 20142014 дівчатами, то ці дівчата мають шапки принаймні 22 кольорів, і те саме виконується для дівчат: якщо деяка дівчина знайома принаймні з 20142014 хлопцями, то ці хлопці мають шапки принаймні 22 кольорів?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-002

Мирні тури та порожній квадрат k × k

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Дано шахівницю розміром n×nn \times n, яка складається з n2n^2 одиничних клітинок. Розміщення nn тур у клітинках дошки називають мирним, якщо в кожному горизонтальному та кожному вертикальному ряду стоїть рівно по одній турі. Знайдіть найбільше натуральне kk таке, що для кожного мирного розміщення nn тур знайдеться клітчастий квадрат розміром k×kk \times k, у жодній із k2k^2 клітинок якого немає тури.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-029

Тури, що не б’ють одна одну, на шаховій дошці

Нехай kk і nn — цілі числа, які задовольняють 1≤k<n1 \le k < n. Розглянемо kn+1kn + 1 тур, розміщених на n×nn \times n-дошці. Доведіть, що серед них можна знайти k+1k + 1 тур, жодні дві з яких не б’ють одна одну.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-032

Найбільша кількість пар у сауні зі знайомствами

У сауні є nn кімнат, кожна необмеженої місткості. В один момент часу в кімнаті можуть перебувати люди лише однієї статі (чоловіки або жінки). Ба більше, чоловіки хочуть ділити кімнату лише з чоловіками, яких вони не знають, а жінки хочуть ділити кімнату лише з жінками, яких вони знають. Яке найбільше число kk таке, що будь-які kk пар можуть одночасно відвідати сауну, знаючи, що двоє чоловіків знають один одного тоді й лише тоді, коли їхні дружини знають одна одну?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-010

Різні частини в оптимальному розбитті

Нехай nn — натуральне число, а AA — підмножина {1,…,n}\{1, \ldots, n\}. AA-розбиттям nn на kk частин називається подання nn у вигляді суми n=a1+⋯+akn=a_{1}+\cdots+a_{k}, де частини a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} належать AA і не обов’язково різні. Кількістю різних частин у такому розбитті називається кількість (різних) елементів множини {a1,a2,…,ak}\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\right\}. Будемо казати, що AA-розбиття nn на kk частин є оптимальним, якщо не існує AA-розбиття nn на rr частин із r<kr<k. Доведіть, що будь-яке оптимальне AA-розбиття nn містить не більше ніж 6n3\sqrt[3]{6 n} різних частин.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-011

Періодичність послідовності з рівності сум

Нехай rr — натуральне число, а a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots — нескінченна послідовність дійсних чисел. Припустімо, що для всіх невід’ємних цілих чисел mm і ss існує натуральне число n∈[m+1,m+r]n \in [m+1, m+r] таке, що am+am+1+⋯+am+s=an+an+1+⋯+an+sa_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s} Доведіть, що послідовність є періодичною, тобто існує таке p⩾1p \geqslant 1, що an+p=ana_{n+p}=a_{n} для всіх n⩾0n \geqslant 0.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-006

Найкращі друзі та популярні користувачі мережі

У соціальній мережі «Фейсдуб» зареєстровано нескінченно багато людей. Деякі пари (різних) користувачів можуть бути друзями у цій мережі, причому кожен має лише скінченну кількість друзів. Відношення дружби симетричне, тобто якщо користувач А дружить із користувачем Б, то й Б дружить з А. Кожен користувач має бодай одного друга та одного зі своїх друзів повинен позначити як «найкращого». Утім, якщо користувач А позначив користувача Б як найкращого друга, то це ще не значить, що Б обов’язково позначив А своїм найкращим другом. Людину, яку хтось позначив найкращим другом, назвімо чудовим другом порядку 1. Якщо n>1n>1, то чудовим другом порядку nn назвімо користувача, якого позначив своїм найкращим другом хоча б один чудовий друг порядку n−1n-1. Якщо користувач є чудовим другом порядку kk для кожного натурального значення kk, назвімо його популярним. а) Доведіть, що кожен популярний користувач є найкращим другом хоча б одного іншого популярного користувача мережі. б) Доведіть, що якби люди могли мати нескінченну кількість друзів у мережі, то могло б трапитись так, що якийсь популярний користувач не був би найкращим другом жодного іншого популярного користувача.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-032

Підмножина двоцифрових чисел з умовою покриття цифр

Нехай TT позначає 15-елементну множину T={10a+b:1≤a<b≤6}T = \{10a+b : 1 \le a < b \le 6\}. Нехай S⊆TS \subseteq T — підмножина TT, у якій трапляються всі 6 цифр і в якій не існує 3 елементів, які разом містять усі 6 цифр 1, 2,..., 6. Знайдіть найбільший можливий розмір nn множини SS.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-009

Періодичність останньої цифри рекурентної послідовності

Послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots з натуральних чисел така, що an+1a_{n+1} є останньою цифрою числа an+an−1a_n + a_{n-1} для всіх n>2n > 2. Чи завжди правда, що для деякого n0n_0 послідовність an0,an0+1,an0+2,…a_{n_0}, a_{n_0+1}, a_{n_0+2}, \ldots є періодичною?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-037

Велика підмножина, що уникає всіх вечерь

У місті живе 20112011 людей. Протягом деякого часу щодня група з принаймні 44 людей ходила до ресторану вечеряти. Жодна група з 33 людей не ходила разом більше ніж на одну вечерю. Доведіть, що існує група з 2424 людей така, що на кожній вечері був присутній хтось, хто не належить до цієї групи.
10–11 класиКомбінації
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-001

Сума степенів дорівнює зсунутому степеню

Знайдіть усі послідовності (x1,x2,…,x2011)\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2011}\right) натуральних чисел таких, що для кожного натурального числа nn існує ціле число aa, для якого x1n+2x2n+⋯+2011x2011n=an+1+1.x_{1}^{n}+2 x_{2}^{n}+\cdots+2011 x_{2011}^{n}=a^{n+1}+1 .
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2011-006

Найбільша гарантована різниця сусідніх чисел таблиці

У комірки квадратної таблиці 2011×20112011 \times 2011 деяким чином записують натуральні числа від 11 до 201122011^2 (по одному в комірку), причому кожне число використовують рівно по разу. Знайдіть найбільше натуральне число MM, для якого незалежно від розташування чисел обов'язково знайдуться дві сусідні комірки з різницею записаних у них чисел, не меншою від MM. При цьому ми вважаємо, що верхній рядок таблиці межує з нижнім, а лівий — із правим, тобто комірки з координатами (x,y)(x, y) та (x′,y′)(x', y') є сусідніми тоді й лише тоді, коли x=x′x = x' та y−y′≡±1(mod2011)y - y' \equiv \pm 1 \pmod{2011} або y=y′y = y' та x−x′≡±1(mod2011)x - x' \equiv \pm 1 \pmod{2011}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-040

Число з двома різними цифрами, кратне 2010

Доведіть, що існує ціле число, яке ділиться на 20102010 і десятковий запис якого містить рівно дві різні цифри.
10–11 класиТеорема Ейлера2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-007

Прапори з одноколірною діагоналлю

На деякій планеті є 2N2^{N} країн (N≥4)(N \geq 4). Кожна країна має прапор NN одиниць завширшки та одну одиницю заввишки, складений із NN полів розміру 1×11 \times 1, кожне з яких або жовте, або синє. Жодні дві країни не мають однакового прапора. Будемо казати, що множина з NN прапорів є різноманітною, якщо ці прапори можна розташувати у квадрат N×NN \times N так, щоб усі NN полів на його головній діагоналі були одного кольору. Знайдіть найменше натуральне число MM таке, що серед будь-яких MM різних прапорів знайдуться NN прапорів, які утворюють різноманітну множину.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-010

Хороші пари кубічних многочленів

Нехай a,ba, b — цілі числа, і нехай P(x)=ax3+bxP(x) = a x^{3} + b x. Для будь-якого натурального числа nn кажемо, що пара (a,b)(a, b) є nn-хорошою, якщо з n∣P(m)−P(k)n \mid P(m) - P(k) випливає n∣m−kn \mid m - k для всіх цілих чисел m,km, k. Кажемо, що (a,b)(a, b) є дуже хорошою, якщо (a,b)(a, b) є nn-хорошою для нескінченно багатьох натуральних чисел nn. a. Знайдіть пару (a,b)(a, b), яка є 5151-хорошою, але не є дуже хорошою. b. Доведіть, що всі 20102010-хороші пари є дуже хорошими.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-003

Кнопки і лампочки: встановлення відповідності

Перед Лаурою 20102010 лампочок, з'єднаних із 20102010 кнопками. Для кожної кнопки вона хоче знати відповідну лампочку. Для цього вона спостерігає, які лампочки світяться, коли Річард натискає певний набір кнопок. (Не натискати нічого — теж можливий набір.) Річард завжди натискає кнопки одночасно, тож лампочки теж світяться одночасно. a) Якщо Річард вибирає кнопки, які треба натискати, яка найбільша кількість різних комбінацій кнопок, які він може натиснути, доки Лаура не зможе правильно зіставити кнопки з лампочками? b) Якщо ж Лаура вибиратиме комбінації кнопок, які треба натискати, яка найменша кількість спроб, яку їй доведеться зробити, доки вона не зможе правильно зіставити кнопки з лампочками?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.