Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-003

Дотик до кола через відображення в трикутнику

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega так, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ і ∠B=75∘\angle B = 75^\circ. Нехай бісектриса кута AA перетинає BCBC і ω\omega у точках EE і DD відповідно. Нехай відображеннями точки AA відносно DD і CC є точки D′D' і C′C' відповідно. Якщо дотична до кола ω\omega у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP, а описане коло трикутника APD′APD' перетинає пряму ACAC у точці F≠AF \neq A, доведіть, що описане коло трикутника C′FEC'FE дотикається до прямої BCBC у точці EE.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-011

Квадрат, вписаний в одиничне коло

Квадрат вписано в коло радіуса 11. Знайдіть периметр квадрата.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-088

Дотик описаного кола і довжина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO такий, що AC=7AC = 7. Припустімо, що описане коло трикутника AOCAOC дотикається до сторони BCBC в точці CC і перетинає пряму ABAB у точках AA і FF. Нехай FOFO перетинає BCBC у точці EE. Обчисліть довжину відрізка BEBE.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-106

Рухомий трикутник з мінімальною площею

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AB=5AB = 5, BC=4BC = 4 і CA=3CA = 3. Спочатку в кожній вершині є по мурасі. Мурахи починають рухатися зі швидкістю 11 одиниця за секунду в напрямку A→B→C→AA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A (тобто мураха, що стартує з AA, рухається вздовж променя AB→\overrightarrow{AB} тощо). Для додатного дійсного числа tt меншого за 33 нехай A(t)A(t) — площа трикутника, вершинами якого є положення мурах через tt секунд після початку руху. Для якого додатного дійсного числа tt меншого за 33 площа A(t)A(t) є найменшою?
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-090

Точка описаного кола на стороні трикутника

Розглянемо трикутник ABCABC зі сторонами AB=4AB = 4, BC=7BC = 7 і AC=8AC = 8. Нехай MM — середина відрізка ABAB, а NN — внутрішня точка відрізка ACAC, яка також лежить на описаному колі трикутника MBCMBC. Обчисліть довжину відрізка BNBN.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-126

Перетин кіл з відношенням довжин

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — кола з центрами O1O_{1} і O2O_{2} відповідно та радіусами r1r_{1} і r2r_{2} відповідно. Припустімо, що O2O_{2} лежить на колі ω1\omega_{1}. Нехай AA — одна з точок перетину кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}, а BB — одна з двох точок перетину прямої O1O2O_{1} O_{2} з колом ω2\omega_{2}. Якщо AB=O1AA B = O_{1} A, знайдіть усі можливі значення r1r2\frac{r_{1}}{r_{2}}.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-092

Довжина CG при куті 60° і FG = 4

У трикутнику ABCABC маємо ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай ω\omega — коло, дотичне до відрізка ABAB у точці DD і до відрізка ACAC у точці EE. Припустімо, що ω\omega перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що точка FF лежить між BB і GG. Відомо, що AD=FG=4AD = FG = 4 і BF=12BF = \frac{1}{2}. Знайдіть довжину відрізка CGCG.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-005

Нерівність опуклості для площі многокутника

а. Нехай XX — скінченна множина точок на площині, а fX(n)f_{X}(n) — найбільша можлива площа многокутника з не більше ніж nn вершинами, усі з яких є точками множини XX. Доведіть, що якщо m,nm, n — цілі числа, для яких m≥n>2m \geq n > 2, то fX(m)+fX(n)≥fX(m+1)+fX(n−1)f_{X}(m) + f_{X}(n) \geq f_{X}(m+1) + f_{X}(n-1). б. Нехай P0P_{0} — прямокутник 1 на 2 (разом із внутрішністю), а многокутник PiP_{i} індуктивно означається як результат згинання Pi−1P_{i-1} по деякій прямій, що розрізає Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини. Діаметром многокутника PiP_{i} називається найбільша відстань між двома точками PiP_{i}. Знайдіть найменший можливий діаметр многокутника P2013P_{2013}. (Іншими словами, для даного многокутника Pi−1P_{i-1} згин Pi−1P_{i-1} складається з прямої ll, яка ділить Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини AA і BB, а згорнутий многокутник має вигляд Pi=A∪BlP_{i} = A \cup B_{l}, де BlB_{l} — образ BB при симетрії відносно прямої ll.)
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-108

Зважена точка Ферма в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB=13, BC=14BC=14, CA=15CA=15. Компанія XYZ хоче розмістити свою базу в точці PP площини так, щоб мінімізувати сумарну відстань до своїх працівників, які перебувають у вершинах AA, BB і CC. Кількість працівників у вершинах AA, BB і CC становить 11, 55 і 44 відповідно. Знайдіть найменшу можливу сумарну відстань, яку доведеться подолати працівникам компанії XYZ, щоб дістатися до PP.
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-078

Рівнобедрений трикутник із подібним підтрикутником

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AB=ACAB = AC. Нехай DD і EE — середини відрізків ABAB і ACAC відповідно. Припустимо, що існує точка FF на промені DE→\overrightarrow{DE} поза трикутником ABCABC така, що трикутник BFABFA подібний до трикутника ABCABC. Обчисліть відношення ABBC\frac{AB}{BC}.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-127

Кут між радіусами в описаному колі трикутника

У трикутнику ABCABC, ∠A=45∘\angle A = 45^{\circ}, а MM — середина сторони BC‾\overline{BC}. Пряма AM‾\overline{AM} перетинає описане коло трикутника ABCABC вдруге в точці DD, причому AM=2MDAM = 2MD. Знайдіть cos⁡∠AOD\cos \angle AOD, де OO — центр описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-094

Діаметр за відрізками паралельної дотичної

Точки AA, BB, CC лежать на колі ω\omega так, що BCBC — діаметр. Відрізок ABAB продовжено за BB до точки B′B', а відрізок ACAC продовжено за CC до точки C′C' так, що пряма B′C′B'C' паралельна BCBC і дотикається до кола ω\omega в точці DD. Якщо B′D=4B'D = 4 і C′D=6C'D = 6, обчисліть довжину відрізка BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-016

Площа області з обмеженням через цілу частину

Нехай RR — область у декартовій площині точок (x,y)(x, y), які задовольняють x≥0x \geq 0, y≥0y \geq 0 і x+y+⌊x⌋+⌊y⌋≤5x+y+\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq 5. Знайдіть площу області RR.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-128

Чотирикутник з прямими кутами і можливі довжини відрізка DF

Нехай ABCDABCD — чотирикутник такий, що ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}, а BC=7BC = 7. Нехай EE і FF — точки на відрізку BDBD такі, що AEAE і CFCF перпендикулярні до BDBD. Припустимо, що BE=3BE = 3. Знайдіть добуток найменшої та найбільшої можливих довжин відрізка DFDF.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-095

Інцентр як середина відрізка на описаному колі

Нехай трикутник ABCABC задовольняє 2BC=AB+AC2 BC = AB + AC і має інцентр II та описане коло ω\omega. Нехай DD — перетин прямої AIAI і кола ω\omega (причому A,DA, D різні). Доведіть, що II — середина відрізка ADAD.
10–11 класиТеорема про тризуб3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-017

Прямокутний трикутник із заданими площею та гіпотенузою

Прямокутний трикутник має площу 55 і гіпотенузу завдовжки 55. Знайдіть його периметр.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-129

Тупокутний трикутник з умовою на центр описаного кола

Нехай ABCABC — тупокутний трикутник з центром описаного кола OO такий, що ∠ABC=15∘\angle ABC = 15^{\circ} і ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ}. Припустимо, що AOAO перетинає BCBC у точці DD і що OD2+OC⋅DC=OC2OD^{2} + OC \cdot DC = OC^{2}. Знайдіть ∠C\angle C.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-096

Хорда вписаного кола рівностороннього трикутника

У рівносторонньому трикутнику ABCABC проведено коло ω\omega, яке дотикається до всіх трьох сторін трикутника. З вершини AA проведено пряму до точки DD на відрізку BCBC так, що ADAD перетинає ω\omega в точках EE і FF. Якщо EF=4EF = 4 і AB=8AB = 8, знайдіть ∣AE−FD∣|AE - FD|.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-099

Колінеарність із перетину внутрішньо дотичних кіл

Нехай точки AA і BB лежать на колі ω\omega з центром OO. Припустімо, що ωA\omega_{A} і ωB\omega_{B} — кола, які не містять OO та внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках AA і BB відповідно. Нехай ωA\omega_{A} і ωB\omega_{B} перетинаються в точках CC і DD так, що DD лежить усередині трикутника ABCA B C. Припустімо, що пряма BCB C перетинає ω\omega знову в точці EE, а пряма EAE A перетинає ωA\omega_{A} в точці FF. Якщо FC⊥CDF C \perp C D, доведіть, що точки O,CO, C і DD лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-130

Бісектриса кута чотирикутника з відомими довжинами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Продовжимо пряму CDCD за точку DD до перетину з прямою ABAB у точці PP і продовжимо пряму CBCB за точку BB до перетину з прямою ADAD у точці QQ. Припустімо, що пряма ACAC ділить навпіл ∠BAD\angle BAD. Якщо AD=74AD=\frac{7}{4}, AP=212AP=\frac{21}{2} і AB=1411AB=\frac{14}{11}, обчисліть довжину відрізка AQAQ.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-082

Трикутник із заданими сторонами і кутами

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка на BCBC така, що AB=2AB = \sqrt{2}, AC=3AC = \sqrt{3}, ∠BAD=30∘\angle BAD = 30^{\circ} та ∠CAD=45∘\angle CAD = 45^{\circ}. Знайдіть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-131

П'ятикутник з кутовими та метричними умовами

П'ятикутник ABCDEA B C D E задано за таких умов: (a) ∠CBD+∠DAE=∠BAD=45∘,∠BCD+∠DEA=300∘\angle C B D + \angle D A E = \angle B A D = 45^{\circ}, \angle B C D + \angle D E A = 300^{\circ} (b) BADA=223, CD=753\frac{B A}{D A} = \frac{2 \sqrt{2}}{3},\ C D = \frac{7 \sqrt{5}}{3}, і DE=1524D E = \frac{15 \sqrt{2}}{4} (c) AD2⋅BC=AB⋅AE⋅BDA D^{2} \cdot B C = A B \cdot A E \cdot B D Обчисліть довжину діагоналі BDB D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-024

Ітеративне розширення трикутника й межа площі

Весью — фермерка, і вона будує пасовище для цао (родича корови). Вона починає з трикутника A0A1A2A_{0} A_{1} A_{2}, у якому кут A0A_{0} становить 90∘90^{\circ}, кут A1A_{1} становить 60∘60^{\circ}, а A0A1A_{0} A_{1} дорівнює 11. Далі вона розширює пасовище. Спочатку вона продовжує A2A0A_{2} A_{0} до A3A_{3} так, щоб A3A0=12A2A0A_{3} A_{0} = \frac{1}{2} A_{2} A_{0}, і новим пасовищем стає трикутник A1A2A3A_{1} A_{2} A_{3}. Потім вона продовжує A3A1A_{3} A_{1} до A4A_{4} так, щоб A4A1=16A3A1A_{4} A_{1} = \frac{1}{6} A_{3} A_{1}. Вона продовжує далі, щоразу продовжуючи AnAn−2A_{n} A_{n-2} до An+1A_{n+1} так, щоб An+1An−2=12n−2AnAn−2A_{n+1} A_{n-2} = \frac{1}{2^{n} - 2} A_{n} A_{n-2}. Яке найменше KK таке, що її пасовище ніколи не перевищить площу KK?
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-132

Відбиття і дотичні в колі

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай бісектриса кута AA перетинає ω\omega в точці DD, а BCBC — в точці EE. Нехай відображеннями точки AA відносно DD і CC є D′D' і C′C' відповідно. Припустимо, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, AB=3AB = 3 і AE=4AE = 4. Якщо дотична до кола ω\omega в точці AA перетинає пряму BCBC в точці PP, а описане коло трикутника APD′APD' перетинає пряму BCBC в точці FF (відмінній від PP), обчисліть довжину відрізка FC′FC'.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-103

Зсування опуклих многокутників зі столу

У Чім Ту є великий прямокутний стіл. На ньому лежить скінченна кількість аркушів паперу з попарно неперетинними внутрішностями, кожен у формі опуклого многокутника. За один хід Чім Ту може зсунути один аркуш паперу по прямій так, щоб під час руху його внутрішність не торкалася жодного іншого аркуша паперу. Чи зможе Чім Ту завжди за скінченну кількість ходів зсунути всі аркуші паперу зі столу?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.