Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-102

Максимальна відстань у центричній послідовності

Нехай CC позначає множину точок (x,y)∈R2(x, y) \in \mathbb{R}^{2} таких, що x2+y2≤1x^{2}+y^{2} \leq 1. Послідовність Ai=(xi,yi)∣i≥0A_{i}=\left(x_{i}, y_{i}\right) \mid i \geq 0 точок у R2\mathbb{R}^{2} називається «центричною», якщо вона задовольняє такі властивості: - A0=(x0,y0)=(0,0), A1=(x1,y1)=(1,0)A_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0),\ A_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,0). - Для всіх n≥0n \geq 0 центр описаного кола трикутника AnAn+1An+2A_{n} A_{n+1} A_{n+2} лежить у множині CC. Нехай KK — найбільше значення x20122+y20122x_{2012}^{2}+y_{2012}^{2} за всіма центричними послідовностями. Знайдіть усі точки (x,y)(x, y) такі, що x2+y2=Kx^{2}+y^{2}=K і існує центрична послідовність така, що A2012=(x,y)A_{2012}=(x, y).
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-045

Мінімум суми квадратів тригонометричних виразів

Нехай α\alpha і β\beta — дійсні числа. Знайдіть найменше можливе значення (2cos⁡α+5sin⁡β−8)2+(2sin⁡α+5cos⁡β−15)2.(2 \cos \alpha + 5 \sin \beta - 8)^2 + (2 \sin \alpha + 5 \cos \beta - 15)^2.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-055

Дотичні до описаного кола трикутника

У трикутнику ABCABC маємо AB=4AB = 4, BC=5BC = 5 і CA=6CA = 6. Точки A′A', B′B', C′C' такі, що відрізок B′C′B'C' дотикається до описаного кола △ABC\triangle ABC у точці AA, відрізок C′A′C'A' дотикається до описаного кола у точці BB, а відрізок A′B′A'B' дотикається до описаного кола у точці CC. Знайдіть довжину відрізка B′C′B'C'.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-011

Найкоротший шлях з відвідуванням сторін кута

Нот вирушив в епічний похід, щоб урятувати землю Хайрул від злого Гамадорфа. Для цього він має зібрати два уламки Лайнфорсу, а потім дістатися до Храму Лайма. Як показано на рисунку, Нот стартує в точці KK і має дістатися до точки TT, причому OK=2O K=2 і OT=4O T=4. Проте спочатку він має дістатися до обох суцільних прямих на рисунку нижче, щоб зібрати уламки Лайнфорсу. Яку найменшу відстань має подолати Нот, щоб це зробити?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-014

Рівновіддалені точки на продовженнях сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=6BC = 6 і AC=7AC = 7, а OO — центр його описаного кола. Промінь ABAB продовжено до точки DD такої, що BD=5BD = 5, а промінь BCBC — до точки EE такої, що OD=OEOD = OE. Знайдіть довжину відрізка CECE.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-015

Квадратні тричлени зі взаємними коренями у вершинах

Нехай f(x)=x2+ax+bf(x) = x^{2} + a x + b і g(x)=x2+cx+dg(x) = x^{2} + c x + d — два різні дійсні многочлени такі, що координата xx вершини графіка ff є коренем многочлена gg, координата xx вершини графіка gg є коренем многочлена ff, а ff і gg мають однакове найменше значення. Якщо графіки цих двох многочленів перетинаються в точці (2012,−2012)(2012, -2012), то чому дорівнює a+ca + c?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-022

Відстані між перетинами концентричних кіл

Для кожного натурального числа nn є коло з центром у початку координат радіуса nn. Рейнбоу Деш стартує десь на площині, але не на колі. Вона рушає в деякому напрямку прямолінійним шляхом. Вона проходить 55\frac{\sqrt{5}}{5} одиниць, перш ніж перетнути коло, потім 5\sqrt{5} одиниць, потім 355\frac{3 \sqrt{5}}{5} одиниць. Яку відстань вона пройде, перш ніж перетне наступне коло?
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-023

Мінімізація суми відстаней вершин до двох точок

Точки XX і YY лежать усередині одиничного квадрата. Бал вершини квадрата — це мінімальна відстань від цієї вершини до XX чи YY. Чому дорівнює найменша можлива сума балів вершин квадрата?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-026

Радіус описаного кола з цілочисельними вершинами

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO та ортоцентром HH такий, що AA, BB, CC, OO та HH — усі різні точки з цілими координатами. Чому дорівнює друге найменше можливе значення радіуса описаного кола трикутника ABCABC?
10–11 класиПряма Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-028

Гранична точка на вкладених дисках, що обертаються

Аліса сидить на атракціоні «кружляючі чашечки», що складається з нескінченно багатьох шарів дисків, які обертаються. Найбільший диск має радіус 55. Центр кожного наступного диска прикріплений до точки на колі попереднього диска, а його радіус дорівнює 2/32/3 радіуса попереднього. Кожен диск обертається навколо свого центра (відносно диска, до якого він прикріплений) з кутовою швидкістю π/6\pi/6 радіана за секунду. Спочатку, в момент t=0t=0, центри дисків лежать на одній прямій, що йде назовні. Аліса сидить у граничній точці всіх цих дисків. Яку довжину має траєкторія, яку Аліса описала за 1212 секунд?
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-030

Очікувана довжина після випадкових розрізів

Маємо гілочку довжини 11. Повторно виконуємо таке: незалежно й рівномірно навмання вибираємо дві точки на гілочці, робимо розрізи в цих двох точках і залишаємо лише найбільший шматок. Після 20122012 повторень чому дорівнює очікувана довжина шматка, що залишився?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2012-002

Нерухома точка на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC виконуються нерівності ∠A<∠B\angle A < \angle B і ∠A<∠C\angle A < \angle C. Нехай PP — змінна точка на стороні BCBC. Точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що BP=PDBP = PD і CP=PECP = PE. Доведіть, що коли PP рухається вздовж сторони BCBC, описане коло трикутника ADEADE проходить через нерухому точку, відмінну від AA.
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-009

Бісектриса кута в рівнобедреному трикутнику

Нехай Γ\Gamma — описане коло рівнобедреного при CC трикутника ABCA B C. У внутрішності сторони BC‾\overline{B C} лежить точка MM. Нехай NN — точка на промені AMA M, для якої MM лежить між AA і NN і яка задовольняє ∣AN∣=∣AC∣|A N|=|A C|. Описане коло трикутника CMNC M N перетинає Γ\Gamma у двох різних точках CC і PP. Прямі ABA B і CPC P перетинаються в точці QQ. Доведіть, що ∡BMQ=∡QMN\measuredangle B M Q=\measuredangle Q M N.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2012-007

Коло з центром на BC через точку O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай kk — коло з такими властивостями: (1) Центр KK кола kk лежить у внутрішності сторони BCBC. (2) Коло kk дотикається до сторони ABAB в точці B′B' і до сторони ACAC в точці C′C'. (3) OO лежить на меншій з двох дуг B′C′B'C' кола kk. Доведіть, що описане коло трикутника ABCABC і коло kk перетинаються у двох різних точках.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2012-010

Вписані точки з паралельної побудови

Нехай ABCABC — трикутник, а XX — точка всередині трикутника. Прямі XAXA, XBXB і XCXC перетинають описане коло трикутника △ABC\triangle ABC вдруге відповідно в точках P,QP, Q і RR. Нехай UU — точка на промені XPXP (тобто на прямій XPXP така, що PP і UU лежать з одного боку від XX). Пряма через UU, паралельна до ABAB, перетинає BQBQ в точці VV. Пряма через UU, паралельна до ACAC, перетинає CRCR в точці WW. Доведіть, що точки Q,R,VQ, R, V і WW лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2012-035

Дотичні до кіл і відношення дуг

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках AA і BB. Пряма ll дотикається до кола ω1\omega_1 у точці PP і до кола ω2\omega_2 у точці QQ, причому точка AA лежить ближче до прямої ll, ніж точка BB. Нехай XX і YY — точки на великих дугах PA^\widehat{PA} (на колі ω1\omega_1) і AQ^\widehat{AQ} (на колі ω2\omega_2) відповідно, такі, що AX/PX=AY/QY=cAX/PX = AY/QY = c. Відрізки PAPA і QAQA продовжено за точку AA до точок RR і SS відповідно так, що AR=AS=c⋅PQAR = AS = c \cdot PQ. Відомо, що центр описаного кола трикутника ARSARS лежить на прямій XYXY. Доведіть, що ∠XPA=∠AQY\angle XPA = \angle AQY.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-013

Вписаний чотирикутник і середина діагоналі

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з описаним колом kk. Нехай SS — точка перетину прямих ABAB і CDCD, а TT — точка перетину дотичних до кола kk в точках AA і CC. Доведіть, що ADTSADTS є вписаним чотирикутником тоді й лише тоді, коли BDBD ділить відрізок ACAC навпіл.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2012-019

Прямі, що ділять площу чотирикутника навпіл, та середина діагоналі

Нехай ABCDA B C D — опуклий чотирикутник (тобто всі внутрішні кути менші за 180∘180^{\circ}), такий, що існує точка MM на відрізку ABA B і точка NN на відрізку BCB C з властивістю, що відрізок ANA N ділить чотирикутник на дві частини однакової площі, і відрізок CMC M також це робить. Доведіть, що відрізок MNM N ділить діагональ BDB D навпіл.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2012-020

Чевіани через одну точку і прямий кут

Дано трикутник ABCA B C. Бісектриса кута ∠CAB\angle C A B перетинає BCB C в точці LL. На сторонах ACA C і ABA B лежать відповідно внутрішні точки MM і NN такі, що ALA L, BMB M і CNC N проходять через одну точку і ∠AMN=∠ALB\angle A M N=\angle A L B. Доведіть, що ∠NML=90∘\angle N M L=90^{\circ}.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2012-018

Точка перетину кола з відрізком на бісектрисі

У трикутнику ABCABC нехай ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}. Нехай EE — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і EE і виконується BE=BCBE = BC. Аналогічно нехай FF — точка на прямій ACAC, така, що CC лежить між AA і FF і виконується CF=BCCF = BC. Описане коло трикутника ACEACE перетинає EFEF у точці KK. Доведіть, що KK лежить на бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2012-037

Перпендикулярність через середини сторін і ортоцентр

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай HH і OO — його ортоцентр і центр описаного кола відповідно. Нехай MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Промені MHMH і NHNH перетинають ω\omega у точках PP і QQ відповідно. Прямі MNMN і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що OA⊥RAOA \perp RA.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2012-025

Перпендикулярність у вписаному чотирикутнику

У вписаному чотирикутнику ABCDABCD діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Нехай EE і FF — основи перпендикулярів, опущених з точки PP на прямі ABAB і CDCD відповідно. Відрізки BFBF і CECE перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі PQPQ і EFEF перпендикулярні.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-040

Оцінка периметра трикутника точок дотику зовнівписаних кіл

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Його зовнівписані кола дотикаються до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Доведіть, що периметр трикутника △ABC\triangle ABC не перевищує подвоєного периметра трикутника DEFDEF.
10–11 класиНерівність трикутника3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-032

Центр вписаного кола і перпендикулярність до діаметра

Нехай II — центр вписаного кола, а ADAD — діаметр описаного кола трикутника ABCABC. Нехай EE і FF — точки на променях BABA і CACA такі, що BE=CF=AB+BC+CA2BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2} Доведіть, що прямі EFEF і DIDI перетинаються під прямим кутом.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-001

Квадрат у прямокутному трикутнику і рівність для 1/x

На сторонах прямокутного трикутника ABCABC з прямим кутом при вершині AA вибрано три точки DD, EE та FF (відповідно на BCBC, ACAC і ABAB) так, щоб чотирикутник AFDEAFDE був квадратом. Якщо xx — довжина його сторони, доведіть, що 1x=1AB+1AC\frac{1}{x} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}
10–11 класиРозбиття і перекидання площ

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.