Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-041

Площа трикутника в кубі

Розглянемо куб ABCDEFGHA B C D E F G H, де ABCDA B C D і EFGHE F G H — грані, а відрізки AEA E, BFB F, CGC G, DHD H — ребра куба. Нехай PP — центр грані EFGHE F G H, а OO — центр куба. Відомо, що AG=1A G=1. Знайдіть площу трикутника AOPA O P.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-121

Колінеарні точки з відношенням на прямих

Колінеарні точки AA, BB і CC задано на декартовій площині так, що A=(a,0)A=(a, 0) лежить на осі xx, BB лежить на прямій y=xy=x, CC лежить на прямій y=2xy=2x, а AB/BC=2AB / BC = 2. Якщо D=(a,a)D=(a, a), описане коло трикутника ADCADC перетинає пряму y=xy=x знову в точці EE, а промінь AEAE перетинає пряму y=2xy=2x у точці FF, обчисліть AE/EFAE / EF.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-042

Прямокутник, вписаний у прямокутник

Нехай ABCDABCD — прямокутник з AB=3AB = 3 і BC=7BC = 7. Нехай WW — точка на відрізку ABAB така, що AW=1AW = 1. Нехай X,Y,ZX, Y, Z — точки на відрізках BC,CD,DABC, CD, DA відповідно, такі, що чотирикутник WXYZWXYZ є прямокутником, і BX<XCBX < XC. Знайдіть довжину відрізка BXBX.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-122

Трикутник ASR, спільна дотична двох кіл та середини дуг

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які перетинаються в точках AA і BB. Нехай пряма ll дотикається до кола ω1\omega_{1} в точці PP і до кола ω2\omega_{2} в точці QQ так, що AA ближча до прямої PQPQ, ніж BB. Нехай точки RR і SS лежать на променях PAPA і QAQA відповідно так, що PQ=AR=ASPQ = AR = AS, причому RR і SS лежать з протилежного боку від AA, ніж PP і QQ. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ASRASR, а CC і DD — середини великих дуг APAP і AQAQ відповідно. Якщо ∠APQ\angle APQ дорівнює 4545 градусів, а ∠AQP\angle AQP — 3030 градусів, визначте ∠COD\angle COD у градусах.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-044

Лінії центрів описаних кіл в описаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, описаний навколо кола з центром OO. Нехай O1,O2,O3O_{1}, O_{2}, O_{3} і O4O_{4} — центри описаних кіл трикутників △AOB\triangle AOB, △BOC\triangle BOC, △COD\triangle COD і △DOA\triangle DOA. Якщо ∠A=120∘\angle A = 120^{\circ}, ∠B=80∘\angle B = 80^{\circ} і ∠C=45∘\angle C = 45^{\circ}, знайдіть гострий кут між прямими O1O3O_{1}O_{3} і O2O4O_{2}O_{4}.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-143

Рекурентні послідовності з кореневим рекурентним співвідношенням

Нехай {an}\{a_{n}\} і {bn}\{b_{n}\} — послідовності, задані рекурентно: a0=2;b0=2a_{0}=2 ; b_{0}=2, а an+1=an1+an2+bn2−bna_{n+1}=a_{n} \sqrt{1+a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}-b_{n}; bn+1=bn1+an2+bn2+anb_{n+1}=b_{n} \sqrt{1+a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}+a_{n}. Знайдіть трійковий запис (за основою 3) чисел a4a_{4} і b4b_{4}.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-047

Площа трикутника середин у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло з центром OO. Нехай PP — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Нехай MM і NN — середини сторін ADAD і BCBC. Якщо AP=1AP=1, BP=3BP=3, DP=3DP=\sqrt{3}, а ACAC перпендикулярна до BDBD, знайдіть площу трикутника MONMON.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-049

Дотичні вписані кола на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=23AB = 23, BC=24BC = 24 і CA=27CA = 27. Нехай DD — точка на відрізку ACAC така, що вписані кола трикутників BADBAD і BCDBCD дотикаються. Знайдіть відношення CD/DACD / DA.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-058

Радіус зовнівписаного кола за вписаними колами частин

Нехай ABCABC — трикутник, а точки PP і QQ лежать на стороні BCBC так, що PP розташована ближче до BB, ніж QQ. Припустімо, що радіуси вписаних кіл трикутників ABPABP, APQAPQ і AQCAQC дорівнюють 11, а радіуси відповідних зовнівписаних кіл, протилежних вершині AA, дорівнюють 33, 66 і 55 відповідно. Якщо радіус вписаного кола трикутника ABCABC дорівнює 32\frac{3}{2}, знайдіть радіус зовнівписаного кола трикутника ABCABC, протилежного вершині AA.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-059

Ітеровані перпендикуляри в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB=AC=182AB = AC = 182 і BC=140BC = 140. Нехай X1X_{1} лежить на стороні ACAC так, що CX1=130CX_{1} = 130. Нехай пряма через X1X_{1}, перпендикулярна до BX1BX_{1} у точці X1X_{1}, перетинає ABAB у точці X2X_{2}. Визначимо точки X2,X3,…X_{2}, X_{3}, \ldots так: для непарного nn і n≥1n \geq 1 нехай Xn+1X_{n+1} — перетин прямої ABAB з перпендикуляром до прямої Xn−1XnX_{n-1}X_{n} через XnX_{n}; для парного nn і n≥2n \geq 2 нехай Xn+1X_{n+1} — перетин прямої ACAC з перпендикуляром до прямої Xn−1XnX_{n-1}X_{n} через XnX_{n}. Знайдіть суму BX1+X1X2+X2X3+…BX_{1} + X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + \ldots
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-060

Трикутник з рівними кутами та відношенням відрізків

Нехай ABCABC — трикутник з AB=4AB = 4, BC=8BC = 8 і CA=5CA = 5. Нехай MM — середина сторони BCBC, а DD — точка на описаному колі трикутника ABCABC така, що відрізок ADAD перетинає внутрішність трикутника ABCABC і ∠BAD=∠CAM\angle BAD = \angle CAM. Нехай відрізок ADAD перетинає сторону BCBC в точці XX. Обчисліть відношення AX/ADAX / AD.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-068

Коло, дотичне до описаного кола і сторони

Нехай ABCABC — трикутник з AB=5AB = 5, BC=8BC = 8 і CA=7CA = 7. Нехай Γ\Gamma — коло, яке дотикається зсередини до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA і також дотикається до відрізка BCBC. Коло Γ\Gamma перетинає ABAB і ACAC у точках DD і EE відповідно. Знайдіть довжину відрізка DEDE.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2011-006

Бісектриса кута між дотичними з проєкції

Два кола лежать повністю зовні одне одного. Нехай AA — точка перетину внутрішніх спільних дотичних до кіл, а KK — проєкція цієї точки на їхню зовнішню спільну дотичну. Дотичні до кіл, проведені через точку KK і відмінні від спільної дотичної, перетинають кола в точках M1M_1 і M2M_2. Доведіть, що пряма AKAK ділить навпіл кут M1KM2M_1KM_2.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-038

Вписаний чотирикутник із кіл, що перетинаються

Два кола Γ\Gamma і Γ′\Gamma' перетинаються у двох різних точках AA і BB. Пряма через BB перетинає Γ\Gamma і Γ′\Gamma' відповідно в точках CC і DD так, що BB лежить між CC і DD. Інша пряма через BB перетинає Γ\Gamma і Γ′\Gamma' відповідно в точках EE і FF так, що EE лежить між BB і FF. Нехай виконується ∣CD∣=∣EF∣|CD| = |EF|. Внутрішня частина відрізка CFCF перетинає Γ\Gamma і Γ′\Gamma' відповідно в точках PP і QQ. Далі нехай MM і NN — середини дуг PBPB і BQBQ кіл Γ\Gamma і Γ′\Gamma', які не містять CC і FF відповідно. Доведіть, що CNMFCNMF — вписаний чотирикутник.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2011-001

Відношення на хорді з основ висот

У гострокутному різносторонньому трикутнику ABCABC точки DD, EE, FF лежать на сторонах BCBC, CACA, ABAB відповідно так, що AD⊥BCAD \perp BC, BE⊥CABE \perp CA, CF⊥ABCF \perp AB. Висоти ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в ортоцентрі HH. Точки PP і QQ лежать на відрізку EFEF так, що AP⊥EFAP \perp EF і HQ⊥EFHQ \perp EF. Прямі DPDP і QHQH перетинаються в точці RR. Обчисліть відношення HQ/HRHQ/HR.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-042

П'ятикутник з паралельними сторонами і умовою на кути

Нехай дано опуклий п'ятикутник ABCDEA B C D E з властивостями BC∥AEB C \| A E і AB‾=AE‾\overline{A B}=\overline{A E}. Нехай далі FF — точка на відрізку AEA E, така, що виконуються AB‾=BC‾+AF‾\overline{A B}=\overline{B C}+\overline{A F} та ∡CBA=∡FDC\Varangle C B A=\Varangle F D C. Нарешті, нехай MM — середина відрізка CFC F, а OO — центр описаного кола трикутника BCDB C D. Доведіть: якщо DM⊥MOD M \perp M O, то ∡FDC=2⋅∡ADB\Varangle F D C=2 \cdot \Varangle A D B.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-008

Бісектриса кута в трикутнику з діаметром

У гострокутному трикутнику ABCA B C кут ∠C\angle C більший за ∠A\angle A. Нехай EE — така точка, що AEA E — діаметр описаного кола Γ\Gamma трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай KK — точка перетину прямої ACA C і дотичної в точці BB до кола Γ\Gamma. Нехай LL — основа перпендикуляра, проведеного з точки KK на пряму AEA E, а DD — точка перетину прямих KLK L і ABA B. Доведіть, що пряма CEC E — бісектриса кута ∠BCD\angle B C D.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-007

Перпендикулярність із колом і паралельними прямими

Пряма gg перетинає коло kk у точках AA і BB. Серединний перпендикуляр до відрізка ABA B перетинає kk ще раз у точках CC і DD. Нехай тепер PP — ще одна точка на прямій gg, що лежить поза колом kk. Прямі, паралельні до CAC A і CBC B, проведені через PP, перетинають прямі CBC B і CAC A у точках XX і YY. Доведіть, що пряма XYX Y перпендикулярна до прямої PDP D.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-014

Дотична з центра до описаного кола

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються, з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2}, такі, що Γ2\Gamma_{2} перетинає відрізок O1O2O_{1} O_{2} в точці AA. Точки перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — це CC і DD. Пряма ADA D перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці SS. Пряма CSC S перетинає O1O2O_{1} O_{2} в точці FF. Нехай Γ3\Gamma_{3} — описане коло трикутника ADFA D F. Позначимо через EE другу точку перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ3\Gamma_{3}. Доведіть, що пряма O1EO_{1} E дотикається до кола Γ3\Gamma_{3}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2011-013

Кола, що перетинаються, і дотична хорда

Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках DD і PP. Спільна дотична до цих двох кіл, найближча до точки DD, дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в точці AA і до кола Γ2\Gamma_{2} в точці BB. Пряма ADA D перетинає Γ2\Gamma_{2} вдруге в точці CC. Нехай MM — середина відрізка BCB C. Доведіть, що ∠DPM=∠BDC\angle D P M=\angle B D C.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2011-016

Сума відстаней на межі квадрата

Знайдіть дійсне число tt таке, що для будь-якої множини зі 120 точок P1,…,P120P_1, \dots, P_{120} на межі одиничного квадрата існує точка QQ на цій межі, для якої ∣P1Q∣+⋯+∣P120Q∣=t|P_1Q| + \dots + |P_{120}Q| = t.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-026

Кольорові точки із заданими сумами відстаней

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, для яких a+b+c=10a+b+c=10 і існує aa червоних, bb синіх і cc зелених точок (усі різні) на площині з такими властивостями: - для кожної червоної точки і кожної синьої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3737; - для кожної зеленої точки і кожної червоної точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3030; - для кожної синьої точки і кожної зеленої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 11;
10–11 класиНерівність трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2011-024

Трапеція з перетином бісектрис

Дано трапецію ABCDA B C D, у якій BC∥ADB C \| A D. Припустімо, що бісектриси кутів BADB A D і CDAC D A перетинаються на серединному перпендикулярі до відрізка BCB C. Доведіть, що ∣AB∣=∣CD∣|A B|=|C D| або ∣AB∣+∣CD∣=∣AD∣|A B|+|C D|=|A D|.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-025

Бісектриса трикутника і середина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∣AB∣>∣BC∣|AB| > |BC|. Нехай DD — середина сторони ACAC. Нехай EE — точка перетину бісектриси ∠ABC\angle ABC із прямою ACAC. Нехай FF — точка на прямій BEBE така, що пряма CFCF перпендикулярна до BEBE. Нехай далі GG — точка перетину прямих CFCF і BDBD. Доведіть, що пряма DFDF ділить відрізок EGEG навпіл.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-030

Конкурентність прямих і спільний інцентр у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, вписаний у коло Ω\Omega. Коло ω\omega з центром OO проходить через BB і CC та перетинає сторони ABAB і ACAC в точках EE і DD відповідно. Точка PP лежить на більшій дузі BAC^\widehat{BAC} кола Ω\Omega. Доведіть, що прямі BDBD, CECE, OPOP перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли трикутники PBDPBD і PCEPCE мають спільний інцентр.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.