Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

743 задачі
АлгебраФункціональні рівняння та нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2015-013

Функціональні рівняння з параметрами

Нехай aa і bb — додатні числа. Знайдіть усі пари функцій f,g:R→Rf, g: \mathbf{R} \to \mathbf{R}, кожна з яких набуває значення 11, а разом вони для будь-яких y≠0y \ne 0 та будь-якого xx задовольняють рівняння f(1y2g(xy)−ax2)=0=g(1yf(xy)−bx).f\left(\frac{1}{y^2}g(xy) - ax^2\right) = 0 = g\left(\frac{1}{y}f(xy) - bx\right).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-005

Функціональне рівняння з сумою та добутком аргументів

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють рівність f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) для довільних дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-008

Періодична послідовність різниць функції

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Розглянемо функцію f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}. Для будь-яких m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} пишемо fn(m)=f(f(…f⏟n(m)…))f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots)). Припустимо, що ff має такі дві властивості: (i) Якщо m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0}, то fn(m)−mn∈Z>0\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}; (ii) Множина Z>0\{f(n)∣n∈Z>0}\mathbb{Z}_{>0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{>0}\right\} скінченна. Доведіть, що послідовність f(1)−1,f(2)−2,f(3)−3,…f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots є періодичною.
10–11 класиАрифметична прогресія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-007

Строго зростаюча функція з вкладеним аргументом

Для фіксованих натуральних чисел aa і bb знайдіть усі строго зростаючі функції ff з натуральних чисел у натуральні числа такі, що для довільного натурального числа n>an > a виконується f(f(n−a)+n)=n+b.f(f(n - a) + n) = n + b.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-008

Функціональне рівняння f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x)

Знайдіть усі функції ff, визначені на всіх дійсних числах і з дійсними значеннями, такі, що f(f(y))+f(x−y)=f(xf(y)−x)f(f(y)) + f(x - y) = f(xf(y) - x) для всіх дійсних чисел x,yx, y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-009

Строго зростаюче інволютивне функціональне рівняння

Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} — строго зростаюча функція, причому f(x)>xf(x) > x для кожного xx. Припустимо, що f(x)+f−1(x)=2xf(x) + f^{-1}(x) = 2x для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}. Доведіть, що f(x)=x+f(0)f(x) = x + f(0) для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-010

Функціональна нерівність з оцінкою через максимум

Функція ff визначена на множині дійсних чисел R\mathbb{R}, набуває невід'ємних дійсних значень і задовольняє умову f(x+y)≤2max⁡{f(x),f(y)}f(x + y) \le 2 \max\{f(x), f(y)\} для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Чи правда, що для кожного натурального числа kk нерівність f(x1+⋯+xk)≤2(f(x1)+⋯+f(xk))f(x_1 + \cdots + x_k) \le 2(f(x_1) + \cdots + f(x_k)) виконується для всіх x1,…,xk∈Rx_1, \dots, x_k \in \mathbb{R}?
10–11 класиМетод математичної індукції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-006

Функціональне рівняння з квадратом і добутком

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють співвідношення f(y2+2xf(y)+f2(x))=(y+f(x))(x+f(y))f\left(y^2+2xf(y)+f^2(x)\right)=(y+f(x))(x+f(y)) для довільних дійсних чисел xx, yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-001

Функції з умовою f(f(n))² = n² + 4 f(n)

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що n2+4f(n)=f(f(n))2n^{2}+4 f(n)=f(f(n))^{2} для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2014-001

Функціональне рівняння f(x²)-f(y²)=f(x+y)f(x-y)

Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} (де N\mathbb{N} — множина натуральних чисел, яка містить 00) такі, що f(x2)−f(y2)=f(x+y)f(x−y)f\left(x^{2}\right)-f\left(y^{2}\right)=f(x+y) f(x-y) для всіх x,y∈Nx, y \in \mathbb{N} з x≥yx \geq y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-001

Послідовність з рекурсією за сумою квадратів

Знайдіть усі послідовності a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \dots додатних дійсних чисел такі, що an2+m2=anamna_{n^2+m^2} = a_n a_m^n для всіх n,mn, m.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-005

Функція на додатних раціональних числах з нерівностями

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^+ множину всіх додатних раціональних чисел. Нехай f ⁣:Q+→Rf\colon \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R} — функція, що задовольняє такі умови: - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x) f(y)⩾f(xy)f(x)\,f(y) \geqslant f(xy); - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x)+f(y)⩽f(x+y)f(x) + f(y) \leqslant f(x+y); - існує раціональне число a>1a > 1 таке, що f(a)=af(a) = a. Доведіть, що f(x)=xf(x) = x для всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}^+.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-013

Функції з подільністю mf(m)+n на m²+f(n)

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} такі, що m2+f(n)∣mf(m)+nm^{2}+f(n) \mid m f(m)+n для всіх натуральних чисел mm і nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-003

Функціональне рівняння на невід'ємних цілих числах

Нехай Z⩾0\mathbb{Z}_{\geqslant 0} — множина всіх невід'ємних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z⩾0→Z⩾0f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}, які задовольняють співвідношення f(f(f(n)))=f(n+1)+1f(f(f(n)))=f(n+1)+1 для всіх n∈Z⩾0n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-004

Функціональне рівняння для многочлена з кубічними коефіцієнтами

Нехай m≠0m \neq 0 — ціле число. Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що (x3−mx2+1)P(x+1)+(x3+mx2+1)P(x−1)=2(x3−mx+1)P(x)\left(x^{3}-m x^{2}+1\right) P(x+1)+\left(x^{3}+m x^{2}+1\right) P(x-1)=2\left(x^{3}-m x+1\right) P(x) для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-015

Цілозначна функція із симетрією раціонального аргументу

Знайдіть усі функції f:Q⟶Zf: \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють f(f(x)+ab)=f(x+ab)f\left(\frac{f(x)+a}{b}\right)=f\left(\frac{x+a}{b}\right) для всіх x∈Qx \in \mathbb{Q}, a∈Za \in \mathbb{Z} і b∈Z>0b \in \mathbb{Z}_{>0}. (Тут Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел.)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-002

Пара функцій і тотожна функція як спільна комутуюча

Чи існує така пара функцій g,h:R→Rg, h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що єдиною функцією f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, яка одночасно задовольняє умови f(g(x))=g(f(x))f(g(x))=g(f(x)) та f(h(x))=h(f(x))f(h(x))=h(f(x)) для всіх дійсних xx, є функція f(x)=xf(x)=x?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-003

Функціональне рівняння з f(yf(x+y)+f(x))

Знайдіть усі функції f ⁣:R→Rf\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, які для довільних дійсних чисел xx та yy задовольняють рівність f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y).f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-004

Цілочислові функції з рівністю для трійок з нульовою сумою

Знайдіть усі такі функції f:Z→Zf:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, для яких при довільних цілих значеннях aa, bb, cc, що задовольняють умову a+b+c=0a+b+c=0, справджується рівність f2(a)+f2(b)+f2(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).f^2(a)+f^2(b)+f^2(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-006

Лінійна оцінка монотонної функції з одноколірною адитивністю

Кожне натуральне число пофарбували в червоний або в синій колір. Функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} має такі властивості: — якщо x⩽yx \leqslant y, то f(x)⩽f(y)f(x) \leqslant f(y); — якщо натуральні числа xx, yy і zz (не обов'язково різні) пофарбовано в один колір, а x+y=zx + y = z, то f(x)+f(y)=f(z)f(x) + f(y) = f(z). Доведіть, що існує додатне число aa таке, що для всіх натуральних xx справджується нерівність f(x)⩽axf(x) \leqslant ax.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-002

Кубічне функціональне рівняння

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що f(x+f(y))−f(x)=(x+f(y))3−x3f(x + f(y)) - f(x) = (x + f(y))^3 - x^3 для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-005

Функціональне рівняння з f(f(x + y) − x)

Нехай R\mathbb{R} позначає множину дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що xf(f(y))+yf(y−x)=f(f(x+y)−x)f(y)x f(f(y)) + y f(y - x) = f(f(x + y) - x) f(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-008

Обмеженість розв'язку функціонального рівняння

Нехай f:Z→Zf: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} — функція така, що для всіх цілих xx і yy виконується: f(f(x)−y)=f(y)−f(f(x)).f(f(x) - y) = f(y) - f(f(x)). Доведіть, що ff обмежена, тобто що існує таке CC, що −C<f(x)<C-C < f(x) < C для всіх xx.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-012

Значення f(0) при f(f(x))=x²-x+1

Нехай ff — дійснозначна функція дійсної змінної така, що f(f(x))=x2−x+1f(f(x)) = x^2 - x + 1 для всіх дійсних чисел xx. Знайдіть f(0)f(0).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-003

Функціональна нерівність і значення при недодатних x

Нехай функція f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} така, що для довільних x∈Rx \in \mathbb{R}, y∈Ry \in \mathbb{R} вона задовольняє умову f(x+y)⩽yf(x)+f(f(x)).f(x + y) \leqslant yf(x) + f\bigl(f(x)\bigr). Доведіть, що f(x)=0f(x) = 0 для всіх x⩽0x \leqslant 0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.