Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-004

Перетин прямих FK і GL та пряма AO

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, а точка OO — його центр. Коло Γ\Gamma із центром AA перетинає відрізок BCBC у точках DD і EE так, що точки BB, DD, EE і CC — усі різні та лежать на прямій BCBC у наведеному порядку. Нехай FF і GG — точки перетину кіл Γ\Gamma та Ω\Omega, при цьому точки AA, FF, BB, CC і GG лежать на колі Ω\Omega у наведеному порядку. Нехай KK — друга точка перетину описаного кола трикутника BDFBDF та відрізка ABAB, а LL — друга точка перетину описаного кола трикутника CGECGE та відрізка ACAC. Нехай прямі FKFK і GLGL різні та перетинаються в точці XX. Доведіть, що точка XX лежить на прямій AOAO.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-004

Відношення в паралелограмі на описаному колі

Нехай ABCA B C — гострокутний трикутник, а MM — середина сторони ACA C. Коло ω\omega, що проходить через BB і MM, перетинає сторони ABA B і BCB C вдруге в точках PP і QQ відповідно. Нехай TT — така точка, що чотирикутник BPTQB P T Q є паралелограмом. Припустімо, що TT лежить на описаному колі трикутника ABCA B C. Визначте всі можливі значення BT/BMB T / B M.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-014

Дотик і перетин у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом ω\omega. Нехай DD, EE і FF — точки на сторонах BCBC, CACA і ABAB такі, що описане коло трикутника DEFDEF дотикається до кола ω\omega в точці AA. Нехай GG і HH — точки перетину описаних кіл трикутників BDEBDE і CDFCDF з колом ω\omega (відмінні від BB, CC), відповідно. Доведіть, що прямі GEGE і HFHF перетинаються на прямій ADAD.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-018

Вписаний чотирикутник, породжений бісектрисою

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC в точці DD. Коло з діаметром ADAD вдруге перетинає ACAC в точці PP, а BCBC — в точці QQ. Точка R≠QR \neq Q лежить на прямій, яка проходить через QQ паралельно ADAD. Припустімо, що AQ=ARAQ = AR. Доведіть, що точки B,P,QB, P, Q і RR лежать на спільному колі.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-019

Чотирикутник з бісектрисою і прямою, паралельною до AC

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому пряма BDBD є бісектрисою кута ABCABC. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає сторони ADAD і CDCD у точках PP і QQ відповідно. Пряма, що проходить через точку DD і паралельна ACAC, перетинає прямі BCBC і BABA в точках RR і SS відповідно. Доведіть, що точки PP, QQ, RR і SS лежать на спільному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-020

Чотирикутник, подібний до чотирикутника середин його сторін

У чотирикутнику QQ найдовша сторона має довжину bb, а найкоротша — довжину aa. Утворимо новий чотирикутник Q′Q', послідовно сполучивши середини сторін чотирикутника QQ. Припустивши, що QQ і Q′Q' подібні, доведіть, що ba<1+2\frac{b}{a} < 1 + \sqrt{2}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-021

Нерівність AB·CD + AD·BC для опуклого чотирикутника

Сума кутів AA і CC опуклого чотирикутника ABCDABCD менша за 180∘180^\circ. Доведіть, що AB⋅CD+AD⋅BC<AC(AB+AD).AB \cdot CD + AD \cdot BC < AC(AB + AD).
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-003

Чотирикутник з двома прямими кутами та дотична до кола

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ. Точка HH — основа перпендикуляра, опущеного з точки AA на пряму BDBD. Точки SS і TT вибрали на відрізках ABAB і ADAD відповідно таким чином, що точка HH знаходиться всередині трикутника SCTSCT і виконуються рівності ∠CHS−∠CSB=90∘,∠THC−∠DTC=90∘.\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^\circ. Доведіть, що пряма BDBD дотикається до кола, описаного навколо трикутника TSHTSH.
10–11 класиІнверсія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-004

Перетин прямих BM і CN на описаному колі

Точки PP і QQ вибрали на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC так, що ∠PAB=∠BCA\angle PAB = \angle BCA і ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ = \angle ABC. Точки MM і NN вибрали на променях APAP і AQAQ відповідно таким чином, що точка PP — середина відрізка AMAM, а точка QQ — середина відрізка ANAN. Доведіть, що прямі BMBM і CNCN перетинаються на колі, описаному навколо трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-003

Сума радіусів вписаних кіл у чевіанних трикутниках

Нехай ABCABC — трикутник. Точки KK, LL і MM лежать на відрізках BCBC, CACA і ABAB відповідно так, що прямі AKAK, BLBL і CMCM перетинаються в одній точці. Доведіть, що можна вибрати два з трикутників ALMALM, BMKBMK і CKLCKL, сума радіусів вписаних кіл яких не менша за радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-004

Колінеарність у трикутнику з інцентром

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Ω\Omega та інцентром II. Нехай пряма, що проходить через II і перпендикулярна до прямої CICI, перетинає відрізок BCBC і дугу BCBC (яка не містить AA) кола Ω\Omega в точках UU і VV відповідно. Нехай пряма, що проходить через UU і паралельна прямій AIAI, перетинає AVAV у точці XX, а пряма, що проходить через VV і паралельна прямій AIAI, перетинає ABAB у точці YY. Нехай WW і ZZ — середини відрізків AXAX і BCBC відповідно. Доведіть, що якщо точки II, XX і YY лежать на одній прямій, то точки II, WW і ZZ також лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-013

Добуток відрізків на висоті

У гострокутному трикутнику ABCABC з AC>ABAC > AB нехай DD — проєкція AA на пряму BCBC, нехай EE і FF — проєкції DD на прямі ABAB і ACAC, а GG і HH — другі перетини прямої ADAD з прямою EFEF і описаним колом трикутника ABCABC. Доведіть: AG⋅AH=AD2.AG \cdot AH = AD^2.
10–11 класиІнверсія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-016

Дотичні до вписаних кіл перетинаються на стороні трикутника

DD — точка всередині трикутника ABCABC. Коло S1S_1, вписане в трикутник ABDABD, дотикається до кола S2S_2, вписаного в трикутник CBDCBD. Доведіть, що точка перетину зовнішніх спільних дотичних до кіл S1S_1 і S2S_2 лежить на прямій ACAC.
10–11 класиВписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-018

Дотичні кола у вписаному чотирикутнику

Кола S1S_1 і S2S_2 перетинаються в точках PP і QQ та лежать усередині вписаного чотирикутника ABCDABCD. коло S1S_1 дотикається до сторін ABAB, BCBC і ADAD; коло S2S_2 дотикається до сторін CDCD, BCBC і ADAD. Прямі PQPQ, ABAB, CDCD перетинаються в одній точці. Доведіть, що BC∥ADBC \parallel AD.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-005

Дотичне коло трикутника, паралельна пряма і кути

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC. Коло ω\omega дотикається до сторін ACAC, BCBC і внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega в точці PP. Пряма, що паралельна прямій ABAB і перетинає трикутник ABCABC, дотикається до кола ω\omega в точці QQ. Довідіть, що ∠ACP=∠QCB\angle ACP = \angle QCB.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-005

Середини сторін, середина дуги і рівність відрізків

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCA B C. Позначимо через MM і NN середини сторін ABA B і ACA C відповідно, а через TT — середину дуги BCB C кола ω\omega, яка не містить AA. Описані кола трикутників AMTA M T і ANTA N T перетинають серединні перпендикуляри до сторін ACA C і ABA B у точках XX і YY відповідно; припустимо, що XX і YY лежать усередині трикутника ABCA B C. Прямі MNM N і XYX Y перетинаються в точці KK. Доведіть, що KA=KTK A=K T.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-004

Відбиття на одному колі і висота трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — точка в його внутрішності. Нехай відбиття точки HH відносно сторін ABAB і ACAC позначено HcH_{c} і HbH_{b} відповідно, а відбиття точки HH відносно середин цих самих сторін позначено Hc′H_{c}^{\prime} і Hb′H_{b}^{\prime} відповідно. Доведіть, що чотири точки Hb,Hb′,HcH_{b}, H_{b}^{\prime}, H_{c} і Hc′H_{c}^{\prime} лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли принаймні дві з них збігаються або HH лежить на висоті з AA в трикутнику ABCABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-004

Два опуклі чотирикутники з довшими перетинами і їхні площі

Нехай PP та P′P' — два опуклі чотирикутники й точка OO лежить усередині або на межі кожного з них. Припустимо, що для будь-якої прямої ll, що проходить через OO, відрізок, який утворюється при перетині ll та PP, довший за відрізок, який утворюється при перетині ll та P′P'. Чи може відношення площі P′P' до площі PP бути більшим за 1,91{,}9?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-007

Точка перетину прямих KH, EM і BC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, Γ\Gamma — коло, описане навколо трикутника ABCABC, HH — точка перетину висот трикутника. Нехай KK — деяка точка на колі Γ\Gamma, що лежить з іншого боку від AA відносно BCBC. Точка LL симетрична до KK відносно прямої ABAB, а точка MM симетрична до KK відносно прямої BCBC. Хай також EE — друга точка перетину кола Γ\Gamma з описаним колом трикутника BLMBLM. Доведіть, що прямі KHKH, EMEM та BCBC перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-017

Сума невідомих чисел на уламках таблички

Глиняна табличка містить числа, частину з яких показано на рис. 5.6. У першому стовпці таблиці записано послідовні цілі числа, починаючи з 00. У першому рядку таблиці кожне наступне число більше за попереднє на 11; у другому рядку кожне наступне число більше за попереднє на 22 і т. д. Табличка впала й розбилася. Ми знайшли два її уламки — горизонтальний і вертикальний, — їх зображено на рис. 5.7. На місцях, позначених знаками питання, чисел, на жаль, уже не розгледіти. З’ясуйте, якою могла бути сума цих чисел. | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 00 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | …\ldots | | 11 | 33 | 55 | 77 | 99 | 1111 | …\ldots | | 22 | 55 | 88 | 1111 | 1414 | 1717 | …\ldots | | 33 | 77 | 1111 | 1515 | 1919 | 2323 | …\ldots | | 44 | 99 | 1414 | 1919 | 2424 | 2929 | …\ldots | | 55 | 1111 | 1717 | 2323 | 2929 | 3535 | …\ldots | | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | Рис. 5.6
4–6 класиАрифметична прогресія
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-049

Три різні тетраміно з віссю або центром симетрії

На рис. 5.16 зображено всі можливі типи фігурок із чотирьох клітин (так звані тетраміно). а) Використовуючи три фігурки різних типів, складіть фігуру, що має вісь симетрії. Укажіть конструкції для п'яти різних 12-клітинних фігур. б) Використовуючи три фігурки різних типів, складіть фігуру, що має центр симетрії. Достатньо вказати одну конструкцію. Фігурки тетраміно можна повертати й дзеркально відображати. Кожна складена фігура повинна бути зв'язною, тобто такою, щоб із будь-якої з 1212 її клітин можна було потрапити у будь-яку іншу, переходячи по сторонах клітинок. Дві складені фігури вважаємо різними, якщо одну з них не можна перетворити на іншу поворотами та дзеркальними відбиттями.
7–9 класиСиметрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-002

Чотири точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC і BDBD якого перетинаються в точці EE. Продовження сторін ADAD і BCBC за точки AA і BB перетинаються в точці FF. Нехай GG — точка така, що ECGDECGD — паралелограм, а HH — образ точки EE при відбитті відносно прямої ADAD. Доведіть, що точки DD, HH, FF, GG лежать на одному колі.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-004

Вписаний чотирикутник з відбиттям точки на бісектрисі

Нехай ABCAB C — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC, з центром описаного кола OO. Бісектриса ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC в точці DD. Нехай EE — точка, симетрична DD відносно середини сторони BCBC. Прямі, які проходять через DD і EE та перпендикулярні до BCBC, перетинають прямі AOAO і ADAD у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що чотирикутник BXCYBX CY є вписаним.
10–11 класиСиметрія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-003

Кола через вершини трикутника, дотичні до вписаного кола

Точки II та OO — центри відповідно вписаного та описаного кіл трикутника ABCABC. Нехай ωA\omega_A — коло, що проходить через точки BB й CC, а також дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC. Кола ωB\omega_B та ωC\omega_C визначимо аналогічно. Нехай також A′A' — відмінна від AA точка перетину кіл ωB\omega_B та ωC\omega_C, B′B' і C′C' — точки, визначені в аналогічний спосіб. Доведіть, що прямі AA′AA', BB′BB' і CC′CC' перетинаються в одній точці і ця точка належить прямій IOIO.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-015

Точка в квадраті з відношенням відстаней

Нехай PP — точка всередині квадрата ABCDABCD така, що PA:PB:PCPA : PB : PC становить 1:2:31 : 2 : 3. Знайдіть кут ∠BPA\angle BPA.
10–11 класиПоворот

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.