Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-010

Подільність суми зростаючої послідовності

Доведіть, що для кожного натурального числа n≥3n \geq 3 існують натуральні числа a1<a2<…<ana_{1}<a_{2}<\ldots<a_{n} такі, що ak∣(a1+a2+…+an)a_{k} \mid\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n виконується.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-001

Суми трійок як степені трійки

Нехай SS — множина з n≥3n \geq 3 додатних дійсних чисел. Доведіть, що найбільша можлива кількість різних цілих степенів трійки, які можна записати як суму трьох різних елементів множини SS, дорівнює n−2n-2.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-043

Сицилійська послідовність, що досягає одиниці

Послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} натуральних чисел називається сицилійською, якщо un+1∈{un/2,un/3,2un+1,3un+1}u_{n+1} \in\left\{u_{n} / 2, u_{n} / 3, 2 u_{n}+1, 3 u_{n}+1\right\} для всіх n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що для будь-якого натурального числа k⩾1k \geqslant 1 існує сицилійська послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} і ціле число ℓ⩾0\ell \geqslant 0 такі, що u0=ku_{0}=k і uℓ=1u_{\ell}=1.
9–11 класиМетод нескінченного спуску
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-035

Розфарбування чисел без одноколірної суми-степеня двійки

Розфарбування цілих чисел {1,2,⋯ ,2020}\{1,2, \cdots, 2020\} у синій і червоний кольори називається приємним, якщо не існує двох різних цілих чисел із {1,2,⋯ ,2020}\{1,2, \cdots, 2020\} одного кольору, сума яких є степенем двійки. Скільки існує таких розфарбувань?
8–10 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-008

Рекурентна послідовність і квадрати непарних чисел

Нехай (xn)n∈N\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — дійсна послідовність така, що x0=0x_{0}=0 і x1=1x_{1}=1, а для всіх n⩾0n \geqslant 0 виконується xn+2=3xn+1−2xnx_{n+2}=3 x_{n+1}-2 x_{n}. Покладемо також yn=xn2+2n+2y_{n}=x_{n}^{2}+2^{n+2} для кожного невід'ємного цілого nn. Доведіть, що для кожного цілого n>0n>0 число yny_{n} є квадратом непарного цілого числа.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-013

Комітети з непарною кількістю хлопців

Ліцей має непарну кількість класів, і в кожному класі — непарна кількість учнів. З кожного класу обирають по одному учню до учнівського комітету. Якщо кількість класів, у яких хлопців більше, ніж дівчат, непарна, доведіть, що кількість способів утворити учнівський комітет, який містить непарну кількість хлопців, перевищує кількість способів утворити учнівський комітет, який містить непарну кількість дівчат.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-103

Очікувана кількість чорних кульок при випадковому вийманні

Аліса та Боб по черзі виймають кульки з мішка, у якому 10 чорних кульок і 10 білих кульок, причому першою ходить Аліса. Аліса завжди виймає чорну кульку, якщо вона є, а Боб виймає одну з решти кульок рівноймовірно навмання. Коли всі кульки буде вийнято, математичне сподівання кількості чорних кульок, які матиме Боб, можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2020-024

Мінімум спадної послідовності дробів

Нехай b1,b2,…b_1, b_2, \dots — натуральні числа, що задовольняють умову 1=b112>b222>b332>b442>…1 = \frac{b_1}{1^2} > \frac{b_2}{2^2} > \frac{b_3}{3^2} > \frac{b_4}{4^2} > \dots і нехай rr позначає найбільше дійсне число, яке задовольняє bnn2≥r\frac{b_n}{n^2} \ge r для всіх натуральних чисел nn. Які значення може набувати rr при всіх можливих виборах послідовності (bn)(b_n)?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-006

Гра з ходами із взаємно простою сумою

Ворд і Габріель грають у гру на великому аркуші паперу. На початку гри на аркуші написано 999 одиниць. Ворд і Габріель ходять по черзі, причому перший хід робить Ворд. Своїм ходом гравець повинен вибрати два числа aa і bb на аркуші такі, що НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b) = 1, стерти ці числа з аркуша і написати на аркуші число a+ba+b. Перший гравець, який не може цього зробити, програє. Визначте, який гравець завжди може виграти цю гру.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові тести на IMOTST-2020-008

Гра з сумуванням взаємно простих чисел

Вард і Габріелла грають у гру на великому аркуші паперу. На початку на папері написано 999 одиниць. Вард і Габріелла ходять по черзі, причому починає Вард. Гравець, чия черга ходити, може вибрати два числа aa і bb з паперу, для яких виконується НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b)=1, стерти ці числа й дописати число a+ba+b. Той, хто першим не зможе зробити хід, програє. Визначте, хто з Варда й Габріелли може з упевненістю виграти цю гру.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-032

Стабільні підмножини з парною кількістю елементів

Нехай N2\mathbb{N}^2 позначає множину впорядкованих пар натуральних чисел. Скінченна підмножина SS множини N2\mathbb{N}^2 називається стабільною, якщо з того, що (x,y)(x, y) належить SS, випливає, що їй належать усі точки (x′,y′)(x', y') множини N2\mathbb{N}^2, у яких одночасно x′≤xx' \le x і y′≤yy' \le y. Доведіть, що якщо SS — стабільна множина, то серед усіх стабільних підмножин SS (включно з порожньою множиною та самою SS) щонайменше половина має парну кількість елементів.
10–11 класиПарність і непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-027

Коробки з 8, 9 і 10 шоколадками

У магазині шоколадок є коробки з 88, 99 і 1010 шоколадками. Зауважимо, що деякі кількості шоколадок не можна купити точно, як, наприклад, 1212 шоколадок. a) Знайдіть іншу кількість шоколадок, яку не можна купити. b) Перевірте, що кожне число, більше за 5656, можна записати у вигляді 8x+9y8x + 9y, де xx і yy — цілі невід'ємні числа. c) Яку найбільшу кількість шоколадок не можна купити точно в цьому магазині?
8–9 класиЛінійні діофантові рівняння
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-001

Функція на кортежах, залежна від однієї координати

Нехай S={1,…,n}S=\{1, \ldots, n\}, де n⩾3n \geqslant 3 — ціле число, а kk — додатне ціле число. Позначимо через SkS^{k} множину kk-наборів з елементів SS. Нехай f:Sk→Sf: S^{k} \rightarrow S — функція така, що якщо x=(x1,…,xk)∈Skx=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in S^{k} та y=(y1,…,yk)∈Sky=\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \in S^{k}, причому xi≠yix_{i} \neq y_{i} для всіх 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k, то f(x)≠f(y)f(x) \neq f(y). Доведіть, що існує ℓ\ell, 1⩽ℓ⩽k1 \leqslant \ell \leqslant k, та функція g:S→Sg: S \rightarrow S, для яких при всіх x1,…,xk∈Sx_{1}, \ldots, x_{k} \in S виконується f(x1,…,xk)=g(xℓ)f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=g\left(x_{\ell}\right).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-124

Сума розв'язків рівняння f(x)=19 не більших за 2019

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел, а f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} — функція, що задовольняє умови: - f(1)=1f(1)=1; - для n∈Nn \in \mathbb{N} виконуються рівності f(2n)=2f(n)f(2n)=2f(n) і f(2n+1)=2f(n)−1f(2n+1)=2f(n)-1. Знайдіть суму всіх натуральних розв'язків рівняння f(x)=19f(x)=19, які не перевищують 20192019.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-147

Вибори за схемою урни Поліа

На виборах президента учнівської ради школи «Peer Pressure High School» є 20192019 виборців і дві кандидатки — Аліса й Селія (які самі є виборцями). Спочатку Аліса й Селія голосують самі за себе, а хлопець Аліси Боб також голосує за Алісу. Далі по одному решта 20162016 виборців голосують за одну з кандидаток випадково, з імовірностями, пропорційними до поточної кількості голосів відповідної кандидатки. Наприклад, перший виборець, який ще не визначився, Девід має 23\frac{2}{3} імовірність проголосувати за Алісу та 13\frac{1}{3} імовірність проголосувати за Селію. Яка ймовірність того, що Аліса переможе на виборах (набравши більше голосів, ніж Селія)?
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-065

Ліфт із марковським процесом і послідовні підйоми

На поверсі 00 дивного на вигляд будинку ви заходите в ліфт, який має лише одну кнопку. Ви двічі натискаєте кнопку й опиняєтеся на поверсі 11. Після цього щоразу, коли ви натискаєте кнопку, ви піднімаєтеся на один поверх з ймовірністю XY\frac{X}{Y}, де XX — ваш поточний поверх, а YY — загальна кількість попередніх натискань кнопки (без урахування поточного); інакше ліфт стоїть на місці. Знайдіть математичне сподівання кількості пар послідовних натискань між третім і 100100-м натисканням включно, у яких обидва натискання піднімають вас на поверх.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-071

Тетрація, що перевищує ітерований факторіал

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що 222⋯2⏟n двійок>((⋯((100!)!)!⋯ )!)!⏟100 факторіалів \underbrace{2^{2^{2} \cdots^{2}}}_{n \text{ двійок}} > \underbrace{((\cdots((100!)!)!\cdots)!)!}_{100 \text{ факторіалів }}
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2019-034

Розбиття монет з обмеженнями на масу

Пірат хоче поділити скарб, що складається з 1000 золотих монет, кожна з яких важить принаймні 1 г, а разом — рівно 2 кг, на дві частини, маси яких відрізняються від 1 кг не більше ніж на 1 г. Доведіть, що це можливо.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2019-014

Послідовність з НСД і рекурентним співвідношенням зі зсувом

Чи існують натуральне число kk і непостійна послідовність a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots натуральних чисел така, що an=НСД(an+k,an+k+1)a_{n}=\text{НСД}\left(a_{n+k}, a_{n+k+1}\right) для всіх натуральних чисел nn?
10–11 класиНСД та НСК
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-002

Вільна від сум підмножина послідовних чисел

Нехай nn — ціле число, більше ніж 22. Потрібно пофарбувати в червоний колір рівно n+1n+1 з чисел 1,2,⋯ ,2n−1,2n1, 2, \cdots, 2n-1, 2n так, щоб не існувало трьох різних чисел x,y,zx, y, z, пофарбованих у червоний колір, які задовольняють рівність x+y=zx+y=z. Доведіть, що існує єдиний спосіб вибрати числа для фарбування в червоний колір, який задовольняє дану умову.
10–11 класиМетод математичної індукції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-003

Степені, цілі частини яких — повні квадрати

Позначимо через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor найбільше ціле число ≤\leq xx. Нехай λ≥1\lambda \geq 1 — дійсне число, а nn — натуральне число, такі, що ⌊λn+1⌋,⌊λn+2⌋,…,⌊λ4n⌋\left\lfloor\lambda^{n+1}\right\rfloor,\left\lfloor\lambda^{n+2}\right\rfloor, \ldots,\left\lfloor\lambda^{4 n}\right\rfloor — усі повні квадрати. Доведіть, що ⌊λ⌋\lfloor\lambda\rfloor — повний квадрат.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-012

Степені двійки мінус сім як квадрати

Доведіть, що для всіх натуральних чисел kk існує натуральне число nn таке, що n2k−7n2^{k} - 7 є повним квадратом.
10–11 класиМетод математичної індукції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-003

Сума обернених до добутків елементів підмножин

Нехай nn — натуральне число. Моріс записує в одному рядку всі 2n−12^{n}-1 непорожні підмножини множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Потім під кожною підмножиною він записує добуток її елементів. Нарешті, він записує числа, обернені до чисел, що стоять у другому рядку, й обчислює їхню суму. Яким буде значення суми (залежно від nn), яке отримає Моріс? Приклад: для n=3n=3 Моріс отримує | {1}\{1\} | {2}\{2\} | {3}\{3\} | {1,2}\{1,2\} | {1,3}\{1,3\} | {2,3}\{2,3\} | {1,2,3}\{1,2,3\} | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 1 | 2 | 3 | 1⋅2=21 \cdot 2=2 | 1⋅3=31 \cdot 3=3 | 2⋅3=62 \cdot 3=6 | 1⋅2⋅3=61 \cdot 2 \cdot 3=6 | | 11+\frac{1}{1}+ | 12+\frac{1}{2}+ | 13+\frac{1}{3}+ | 12+\frac{1}{2}+ | 13+\frac{1}{3}+ | 16+\frac{1}{6}+ | 16=3\frac{1}{6}=3. |
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-028

Нерівність для добутку n змінних

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Знайдіть усі дійсні числа x⩾−1x \geqslant -1 такі, що для всіх дійсних чисел a1,…,an⩾1a_{1}, \ldots, a_{n} \geqslant 1 виконується a1+x2×⋯×an+x2⩽a1a2⋯an+x2.\frac{a_{1}+x}{2} \times \cdots \times \frac{a_{n}+x}{2} \leqslant \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}+x}{2} .
9–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-009

Гострокутний трикутник з обмеженої послідовності

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3 такі, що якщо a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа, для яких max⁡(a1,…,an)⩽n⋅min⁡(a1,…,an)\max \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \leqslant n \cdot \min \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), то серед цих чисел обов’язково знайдуться три, які є довжинами сторін гострокутного трикутника, тобто трикутника, усі три кути якого строго гострі.
10–11 класиЧисла Фібоначі

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.