Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

849 задач
ГеометріяПодібність (без кіл та площ)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-078

Дотик у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — опуклий вписаний чотирикутник, MM — середина відрізка [AC][AC]. Описане коло трикутника CDMCDM перетинає пряму (BC)(BC) вдруге в точці NN (відмінній від CC). Нехай B′B' — точка, симетрична точці BB відносно точки NN. Доведіть, що пряма (MN)(MN) є дотичною до описаного кола трикутника B′DNB'DN.
10–11 класиОзнаки подібності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-028

Вписаний чотирикутник із симетрій трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а OO — центр його описаного кола. Нехай dd — пряма, паралельна (BC)(BC), що проходить через OO. Нехай A′A' — точка, симетрична точці AA відносно (BC)(BC). Пряма, паралельна (A′B)(A'B), що проходить через CC, перетинає dd в точці C1C_1, а прямі (A′C)(A'C) та (BC1)(BC_1) перетинаються в точці C2C_2. Пряма, паралельна (A′C)(A'C), що проходить через BB, перетинає dd в точці B1B_1, а прямі (A′B)(A'B) та (CB1)(CB_1) перетинаються в точці B2B_2. Доведіть, що точки AA, A′A', B2B_2, C2C_2 лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-011

Описаний чотирикутник і центри вписаних кіл трикутників

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Нехай IaI_a, IbI_b, IcI_c і IdI_d — центри вписаних кіл трикутників DABDAB, ABCABC, BCDBCD і CDACDA відповідно. Припустимо, що спільні дотичні до описаних кіл трикутників AIbIdAI_bI_d і CIbIdCI_bI_d перетинаються в точці XX і що зовнішні спільні дотичні до описаних кіл трикутників BIaIcBI_aI_c і DIaIcDI_aI_c перетинаються в точці YY. Доведіть, що XIY^=90∘\widehat{XIY} = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-073

Дотична до кола, побудованого за паралелограмом

Нехай ABCABC — трикутник, причому AC>ABAC > AB, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай TT — точка перетину дотичної до кола Γ\Gamma в точці AA з прямою (BC)(BC). Нехай MM — середина відрізка [BC][BC], а RR — точка, симетрична AA відносно BB. Нехай SS — така точка, що SABTSABT — паралелограм. Пряма, паралельна (AB)(AB), що проходить через MM, перетинає (SB)(SB) в точці PP. Припустімо, що PP лежить на колі Γ\Gamma. Доведіть, що пряма (AC)(AC) дотикається до описаного кола трикутника SRTSRT.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-129

Квадрат на сторонах трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14 і CA=15CA = 15. Припустімо, що PQRSPQRS — квадрат такий, що PP і RR лежать на прямій BCBC, QQ лежить на прямій CACA, а SS лежить на прямій ABAB. Обчисліть довжину сторони цього квадрата.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-132

Трикутник із трисекцією основи й умовою на кути

Трикутник ABCABC з ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ} має AB=5AB = 5 і AC=7AC = 7. Точки DD і EE лежать на відрізку BCBC так, що BD=DE=ECBD = DE = EC. Якщо ∠BAC+∠DAE=180∘\angle BAC + \angle DAE = 180^{\circ}, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-027

Концентричні квадрати з колінеарними точками

Нехай ABCDABCD і WXYZWXYZ — два квадрати зі спільним центром такі, що WX∥ABWX \parallel AB і WX<ABWX < AB. Прямі CXCX і ABAB перетинаються в точці PP, а прямі CZCZ і ADAD перетинаються в точці QQ. Якщо точки PP, WW і QQ лежать на одній прямій, обчисліть відношення AB/WXAB / WX.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-068

Відстань від B до прямої AM за рівності кутів

Нехай ABCABC — трикутник із ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ}. Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на сторону BCBC. Нехай MM і NN — середини відрізків BCBC і BDBD відповідно. Припустимо, що AC=2AC = 2, ∠BAN=∠MAC\angle BAN = \angle MAC і AB⋅BC=AMAB \cdot BC = AM. Обчисліть відстань від BB до прямої AMAM.
10–11 класиКоло і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2023-020

Трикутник із центроїдом та кутовою умовою

Нехай ABCABC — трикутник із центроїдом GG. Точки RR і SS вибрано на променях GBGB та GCGC відповідно так, що ∠ABS=∠ACR=180∘−∠BGC.\angle ABS = \angle ACR = 180^\circ - \angle BGC. Доведіть, що ∠RAS+∠BAC=∠BGC\angle RAS + \angle BAC = \angle BGC.
10–11 класиТочка перетину медіан
Відбіркові тести на IMOTST-2023-009

Дотичне коло і рівність кутів у трикутнику

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, яке дотикається до сторони ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і DD та EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-007

Коло через B і D, дотичне до AB

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, дотичне до прямої ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і що DD і EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-031

Перетин відрізків і рівні периметри у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки A1A_1 і A2A_2 вибрані на стороні BCBC, точки B1B_1 і B2B_2 вибрані на стороні CACA, а точки C1C_1 і C2C_2 вибрані на стороні ABAB так, що BA1<BA2BA_1 < BA_2, CB1<CB2CB_1 < CB_2 і AC1<AC2AC_1 < AC_2. Припустимо, що три відрізки B1C2B_1C_2, C1A2C_1A_2 і A1B2A_1B_2 перетинаються в одній точці, а периметри трикутників AB2C1AB_2C_1, BC2A1BC_2A_1 і CA2B1CA_2B_1 рівні між собою. Знайдіть усі можливі значення цього спільного периметра.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-008

Площа перетину прямокутників зі спільною діагоналлю

Лучо має дві однакові картки прямокутної форми зі сторонами 66 і 99; він кладе їх на стіл так, щоб вони мали спільну діагональ, але точно не збігалися. Яка площа частини першої картки, яку накриває друга? (A) 2727 (B) 3636 (C) 3737 (D) 3838 (E) 3939
10–11 класиПлоща чотирикутника
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-003

Рівносторонній трикутник з кутовими умовами

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 33, а точки DD, EE і FF лежать на сторонах BCBC, CACA і ABAB відповідно. Відомо, що BD=1BD = 1 і ∠ADE=∠DEF=60∘\angle ADE = \angle DEF = 60^\circ. Знайдіть довжину відрізка AFAF.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-010

Пошук кута в гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, DD — основа перпендикуляра з AA на BCBC, а MM — середина сторони ACAC. Нехай PP — точка на відрізку BMBM така, що ∠PAM=∠MBA\angle PAM = \angle MBA. Відомо, що ∠BAP=41∘\angle BAP = 41^\circ і ∠PDB=115∘\angle PDB = 115^\circ, знайдіть величину ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-005

Колінеарність у вкладених квадратах

Нехай ABCDABCD — квадрат (вершини позначено за годинниковою стрілкою). Нехай ZZ — довільна точка на діагоналі ACAC між AA і CC така, що AZ>ZCAZ > ZC. Нехай XX і YY — такі точки, що AXYZAXYZ — квадрат (вершини позначено за годинниковою стрілкою), а точка BB лежить усередині квадрата AXYZAXYZ. Нехай MM — точка перетину прямих BXBX і DZDZ (за потреби продовжених). Доведіть, що CC, MM і YY лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-004

Перетин бісектриси та серединного перпендикуляра

У трикутнику ABCABC точка DD лежить на відрізку ABAB так, що CDCD — бісектриса кута CC. Серединний перпендикуляр до відрізка CDCD перетинає пряму ABAB у точці EE. Нехай ∣BE∣=4|BE| = 4 і ∣AB∣=5|AB| = 5. a. Доведіть, що ∠BAC=∠BCE\angle BAC = \angle BCE. b. Доведіть, що 2∣AD∣=∣ED∣2|AD| = |ED|.
10–11 класиОзнаки подібності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-032

Прямокутник із півколом і рівними відрізками

Нехай ABCDABCD — прямокутник. Нехай ω\omega — півколо з діаметром [BC][BC], причому точка AA і півколо ω\omega розміщені з одного боку від відрізка [BC][BC]. Коло з центром BB і радіусом ABAB вдруге перетинає півколо ω\omega в точці EE. Пряма (AE)(AE) вдруге перетинає півколо ω\omega в точці FF. Доведіть, що AF=BFAF = BF.
8–10 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-051

Конкурентність прямих у конфігурації з дотичною

Нехай A,B,CA, B, C і DD — чотири точки на колі Ω\Omega. Нехай EE і FF — точки перетину променів [BA)[B A) і [BC)[B C) з дотичною до кола Ω\Omega у DD. Нехай TT — точка всередині трикутника ABCA B C, така, що (TE)(T E) паралельна (CD)(C D) і (TF)(T F) паралельна (AD)(A D). Нарешті, нехай KK — точка відрізка [DF][D F], відмінна від DD, така, що TD=TKT D=T K. Доведіть, що прямі (AC),(DT)(A C),(D T) і (BK)(B K) перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-024

Дотичні до кола і рівність кутів

Нехай Γ\Gamma — коло, а PP — точка поза колом Γ\Gamma. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені з PP, дотикаються до кола Γ\Gamma в точках AA і BB. Нехай KK — точка на відрізку [AB][AB], відмінна від AA і BB. Описане коло трикутника PBKPBK перетинає коло Γ\Gamma повторно в точці TT. Нехай P′P' — точка, симетрична точці PP відносно точки AA. Доведіть, що PBT^=P′KA^\widehat{\mathrm{PBT}} = \widehat{\mathrm{P}'\mathrm{KA}}.
8–10 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-128

Рівнобедрений трикутник з умовою на суму кутів

Нехай трикутник ABCABC такий, що AB=AC=22AB = AC = 22 і BC=11BC = 11. Точку DD вибрано всередині трикутника так, що AD=19AD = 19 і ∠ABD+∠ACD=90∘\angle ABD + \angle ACD = 90^\circ. Значення BD2+CD2BD^2 + CD^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-080

Перпендикулярні хорди та відстані до середин

У колі ω\omega дві перпендикулярні хорди перетинаються в точці PP. Серединами цих двох хорд є відповідно точки M1M_{1} і M2M_{2}, причому PM1=15P M_{1}=15 і PM2=20P M_{2}=20. Пряма M1M2M_{1} M_{2} перетинає ω\omega у точках AA і BB, причому M1M_{1} лежить між AA та M2M_{2}. Обчисліть найбільше можливе значення BM2−AM1B M_{2}-A M_{1}.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-099

Паралелограм із вписаними чотирикутниками

Розглянемо паралелограм ABCDABCD, у якому AB>BCAB > BC. Точка EE на відрізку AB‾\overline{AB} і точка FF на відрізку CD‾\overline{CD} позначені так, що існує коло ω1\omega_1, яке проходить через A,D,E,FA, D, E, F, і коло ω2\omega_2, яке проходить через B,C,E,FB, C, E, F. Якщо кола ω1,ω2\omega_1, \omega_2 розбивають діагональ BD‾\overline{BD} на відрізки BX‾,XY‾,YD‾\overline{BX}, \overline{XY}, \overline{YD} у такому порядку з довжинами 200,9,80200, 9, 80 відповідно, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-025

Висота рівнобедреної трапеції з точкою на основі

Рівнобедрена трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD має точку PP на основі ABAB таку, що AP=11AP=11, BP=27BP=27, CD=34CD=34 і ∠CPD=90∘\angle CPD=90^{\circ}. Обчисліть висоту рівнобедреної трапеції ABCDABCD.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-031

Найбільший правильний шестикутник у прямокутнику

Площа найбільшого правильного шестикутника, який можна вмістити в прямокутник зі сторонами 2020 і 2222, може бути записана у вигляді ab−ca \sqrt{b}-c, де aa, bb і cc — натуральні числа, причому bb — вільне від квадратів. Обчисліть 100a+10b+c100 a+10 b+c.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.