Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

716 задач
ГеометріяВідношення відрізків
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-006

Точки на одному колі в побудові з трапецією

Нехай ABCDABCD — трапеція з паралельними сторонами AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на відрізках ABAB і CDCD відповідно так, що AK/KB=DL/LCAK / KB = DL / LC. Припустимо, що на відрізку KLKL існують точки PP і QQ, які задовольняють ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC.\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC. Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-008

Конкурентність прямих у конфігурації дотичних кіл

Кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} зовні дотикаються в точці DD і внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках EE і FF відповідно. Пряма tt — спільна дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точці DD. Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega, перпендикулярний до прямої tt, причому AA, EE і O1O_{1} лежать по один бік від прямої tt. Доведіть, що прямі AO1A O_{1}, BO2B O_{2}, EFEF і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2005-011

Рівні відрізки на перетині середньої лінії

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що BC=ADBC = AD. Нехай MM і NN — середини сторін ABAB і CDCD відповідно. Прямі ADAD і BCBC перетинають пряму MNMN у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що CQ=DPCQ = DP.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Балтійський шляхBW-2003-014

Вписаний чотирикутник з дотичним колом

Нехай PP — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD вписаного чотирикутника. Коло, що проходить через PP, дотикається до сторони CDCD у її середині MM і перетинає відрізки BDBD і ACAC у точках QQ і RR відповідно. Нехай SS — точка на відрізку BDBD така, що BS=DQBS = DQ. Пряма, що проходить через SS паралельно до ABAB, перетинає ACAC у точці TT. Доведіть, що AT=RCAT = RC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2003-004

Рівність відрізків PQ і QR та бісектриси чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD є вписаним у коло. Нехай PP, QQ, RR — основи перпендикулярів, проведених з точки DD до прямих BCBC, CACA, ABAB відповідно. Доведіть, що PQ=QRPQ = QR тоді й тільки тоді, коли бісектриси кутів ABCABC та ADCADC перетинаються в точці, яка належить ACAC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Балтійський шляхBW-2002-013

Трикутник із конкурентними чевіанами і прямим кутом

Нехай LL, MM і NN — точки на сторонах ACAC, ABAB і BCBC трикутника ABCABC відповідно, такі, що відрізок BLBL — бісектриса кута ABCABC, а відрізки ANAN, BLBL і CMCM перетинаються в одній точці. Доведіть, що якщо ∠ALB=∠MNB\angle ALB = \angle MNB, то ∠LNM=90∘\angle LNM = 90^{\circ}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2001-005

Трикутник з бісектрисами, кутом 60° і рівністю сум

У трикутнику ABCABC бісектриса кута BACBAC перетинає сторону BCBC в точці PP, а бісектриса кута ABCABC перетинає сторону CACA в точці QQ. Відомо, що ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ та AB+BP=AQ+QBAB + BP = AQ + QB. Чому можуть дорівнювати величини кутів трикутника ABCABC?
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Балтійський шляхBW-2000-005

Співвідношення сторін трикутника і відношення кутів

Нехай ABCABC — трикутник такий, що ∣BC∣∣AB∣−∣BC∣=∣AB∣+∣BC∣∣AC∣\frac{|BC|}{|AB| - |BC|} = \frac{|AB| + |BC|}{|AC|}. Знайдіть відношення ∠A:∠C\angle A : \angle C.
10–11 класиОзнаки подібності
Балтійський шляхBW-1995-014

Зовнішня бісектриса і паралельна пряма

У трикутнику ABCA B C нехай ll — бісектриса зовнішнього кута при CC. Пряма, що проходить через середину OO відрізка ABA B паралельно прямій ll, перетинає пряму ACA C у точці EE. Знайдіть ∣CE∣|C E|, якщо ∣AC∣=7|A C|=7 і ∣CB∣=4|C B|=4.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Балтійський шляхBW-1995-015

Висоти та медіани трикутника

Доведіть, що існує число α\alpha таке, що для будь-якого трикутника ABCA B C виконується нерівність max⁡(hA,hB,hC)≤α⋅min⁡(mA,mB,mC)\max \left(h_{A}, h_{B}, h_{C}\right) \leq \alpha \cdot \min \left(m_{A}, m_{B}, m_{C}\right) де hA,hB,hCh_{A}, h_{B}, h_{C} позначають довжини висот, а mA,mB,mCm_{A}, m_{B}, m_{C} — довжини медіан. Знайдіть найменше можливе значення α\alpha.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Балтійський шляхBW-1993-017

Рівні кути від точки перетину медіани й бісектриси

У трикутнику ABCABC маємо ∣AB∣=15|AB| = 15, ∣BC∣=12|BC| = 12 і ∣AC∣=13|AC| = 13. Нехай медіана AMAM і бісектриса BKBK перетинаються в точці OO, де M∈BCM \in BC, K∈ACK \in AC. Нехай OL⊥ABOL \perp AB, де L∈ABL \in AB. Доведіть, що ∠OLK=∠OLM\angle OLK = \angle OLM.
10–11 класиМетод координат
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1988-003

Трикутник на сфері, дотичний до внутрішньої сфери

Дві концентричні сфери мають радіуси rr і RR, r<Rr < R. Ми намагаємося вибрати точки AA, BB і CC на поверхні більшої сфери так, щоб усі сторони трикутника ABCA B C дотикалися до поверхні меншої сфери. Доведіть, що точки можна вибрати тоді й лише тоді, коли R≤2rR \leq 2 r.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-041

Геометричне місце центра описаного кола з бісектрисою

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються в різних точках AA і BB. Точка XX рухається по колу ω1\omega_{1}, а точка YY на колі ω2\omega_{2} вибрана так, що ABAB ділить навпіл кут ∠XAY\angle XAY. Доведіть, що коли XX рухається по колу ω1\omega_{1}, центр описаного кола трикутника △AXY\triangle AXY (якщо він існує) рухається по фіксованій прямій.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-064

Відношення площ за умови рівності кутів

Точка PP лежить усередині трикутника △ABC\triangle ABC так, що ∠ABP=∠ACP\angle ABP = \angle ACP. Відомо, що AB=6AB = 6, AC=8AC = 8, BC=7BC = 7 і BPPC=12\frac{BP}{PC} = \frac{1}{2}. Обчисліть ∣BPC∣∣ABC∣\frac{|BPC|}{|ABC|}. (Тут ∣XYZ∣|XYZ| позначає площу △XYZ\triangle XYZ.)
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-016

Симетрія і подібність у трикутнику

Усередині гострокутного трикутника ABCABC, який не є рівнобедреним, є три різні точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 такі, що AB1:CB1=AB:CBAB_1 : CB_1 = AB : CB і AC1:BC1=AC:BCAC_1 : BC_1 = AC : BC. Нехай A2A_2 — точка, симетрична точці A1A_1 відносно прямої BCBC, нехай B2B_2 — точка, симетрична точці B1B_1 відносно прямої ACAC, а C2C_2 — точка, симетрична точці C1C_1 відносно прямої ABAB. Тоді виконуються всі такі умови: ∙\bullet Чотири точки A,A2,B,C2A, A_2, B, C_2 лежать на одному колі. ∙\bullet Чотири точки A,A2,B2,CA, A_2, B_2, C лежать на одному колі. ∙\bullet Чотири точки B,B2,C,C2B, B_2, C, C_2 лежать на одному колі. ∙\bullet Жодна з трьох точок A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 не лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник A1B1C1A_1B_1C_1 і трикутник A2B2C2A_2B_2C_2 подібні.
10–11 класиІнверсія
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-010

Перетин бісектрис у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка всередині трикутника ABCABC така, що ADAD ділить навпіл ∠BAC\angle BAC. Нехай пряма BDBD перетинає сторону ACAC у точці EE. Нехай пряма CDCD перетинає сторону ABAB у точці FF. Нехай TT — перетин (внутрішніх) бісектрис кутів ∠AED\angle AED і ∠AFD\angle AFD. Доведіть, що якщо TT лежить на відрізку ADAD, то трикутник ABCABC рівнобедрений.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-034

Висота й медіана в рівнобедреному трикутнику

На основі BCBC рівнобедреного трикутника ABCABC вибрано точки DD і EE так, що BD=EC=7BD = EC = 7 см. Пряма, перпендикулярна до сторони ABAB і проведена через точку AA, перетинає основу BCBC у точці FF. Висота трикутника ACEACE — це EGEG, а медіана трикутника AEFAEF — це AHAH. Відомо, що ∠DAF=12∠BAC\angle DAF = \frac{1}{2}\angle BAC. Знайдіть довжину відрізка GHGH.
8 класРівнобедрений та рівносторонній т…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-028

Паралелограми в трикутнику та паралельність прямих

Точки EE і FF вибрано відповідно на сторонах CACA і ABAB трикутника ABCABC. Прямі BEBE і CFCF перетинаються в точці PP. Нехай QQ — точка, така, що PBQCPBQC — паралелограм, а RR — точка, така, що AERFAERF — паралелограм. Доведіть, що PR∥AQPR \parallel AQ.
10–11 класиВекторний метод2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-003

Рівновіддалена точка на хорді вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, ω\omega — його вписане коло, а DD, EE і FF — точки дотику кола ω\omega зі сторонами BCBC, CACA і ABAB відповідно. Перпендикуляр до (BC)(BC) у точці CC перетинає пряму (EF)(EF) у точці MM, а перпендикуляр до (BC)(BC) у точці BB перетинає пряму (EF)(EF) у точці NN. Пряма (DM)(DM) вдруге перетинає ω\omega у точці PP, а пряма (DN)(DN) вдруге перетинає ω\omega у точці QQ. Доведіть, що DP=DQDP = DQ.
8–10 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-124

Прямокутний трикутник з висотою, бісектрисою й медіаною

Нехай ABCABC — трикутник із ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Нехай DD, EE і FF — основи висоти, бісектриси та медіани, проведених з AA до BCBC відповідно. Якщо DE=3DE = 3 і EF=5EF = 5, обчисліть довжину BCBC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-009

Гіпербола через центри трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник з центром описаного кола OO та симедіанною точкою KK. Нехай XX — точка на описаному колі трикутника BOCBOC така, що ∠AXO=90∘\angle AXO = 90^{\circ}. Припустимо, що X≠KX \neq K. Гіпербола, що проходить через B,C,O,KB, C, O, K і XX, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках UU і VV, відмінних від BB і CC. Доведіть, що пряма UVUV — серединний перпендикуляр до відрізка AXAX. Симедіанна точка трикутника ABCABC — це перетин відображень BB-медіани та CC-медіани відносно бісектрис кутів ∠ABC\angle ABC та ∠ACB\angle ACB відповідно.
10–11 класиПроєктивна геометрія3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-044

Трикутник із середин у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція з AB∥CDAB \parallel CD, AB=20AB = 20, CD=24CD = 24 і площею 880880. Обчисліть площу трикутника, утвореного серединами відрізків ABAB, ACAC і BDBD.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-011

Середини сторін трикутника і точки поділу сторони натроє на колі

У трикутнику ABCABC точки MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC відповідно, а точки PP і QQ ділять сторону BCBC на три рівні частини. Відомо, що точки AA, MM, NN, PP і QQ лежать на одному колі та BC=1BC = 1. Обчисліть площу трикутника ABCABC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2024-012

Паралельність у конфігурації висот трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, такий, що ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, з описаним колом Γ\Gamma з центром OO. Точки D,ED, E і FF побудовано як основи висот з A,BA, B і CC відповідно. Нехай PP — точка перетину дотичних до кола Γ\Gamma, проведених через BB і CC. Пряма через PP, перпендикулярна до прямої EFEF, перетинає пряму ADAD у точці QQ. Нехай RR — ортогональна проєкція AA на пряму EFEF. Доведіть, що прямі DRDR і OQOQ паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2024-013

Паралельні прямі у конфігурації висот трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник такий, що ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, з описаним колом Γ\Gamma з центром OO. Точки DD, EE і FF побудовано як основи висот, проведених відповідно з AA, BB і CC. Точку перетину дотичних до кола Γ\Gamma, проведених через BB і CC, позначимо PP. Пряма, що проходить через PP перпендикулярно до прямої EFEF, перетинає пряму ADAD в точці QQ. Нехай RR — ортогональна проєкція AA на пряму EFEF. Доведіть, що прямі DRDR і OQOQ паралельні.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.