Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-035

Дотична до описаного кола в трикутнику

У трикутнику ABCA B C, у якому AB≠ACA B \neq A C, нехай DD — проєкція точки AA на пряму BCB C. Крім того, нехай E,FE, F — середини відрізків ADA D та BCB C відповідно, а GG — проєкція точки BB на пряму AFA F. Доведіть, що пряма EFE F є дотичною в точці FF до описаного кола трикутника GFCG F C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-036

Бісектриси у квадраті та перпендикулярність

Нехай ABCDA B C D — квадрат, а MM — внутрішня точка відрізка BCB C. Бісектриса кута ∠BAM\angle B A M перетинає відрізок BCB C у точці EE. Крім того, бісектриса кута ∠MAD\angle M A D перетинає пряму CDC D у точці FF. Доведіть, що прямі AMA M і EFE F перпендикулярні.
10–11 класиОзнаки подібності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-001

Розбиття трапеції на рівновеликі трапеції

Дано трапецію з основами завдовжки 11 і 44 відповідно. Розділимо її на дві трапеції розрізом, паралельним основам, завдовжки 33. Тепер хочемо розділити дві нові трапеції, знову розрізами, паралельними основам, на mm і nn трапецій відповідно так, щоб усі m+nm+n утворених трапецій мали однакову площу. Визначити найменше можливе значення m+nm+n і довжини розрізів, які треба виконати для досягнення цього найменшого значення.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-004

Чотирикутник із зовнішніми бісектрисами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Нехай PP — перетин зовнішніх бісектрис кутів DA^CD\widehat{A}C і DB^CD\widehat{B}C. Доведіть, що AP^D=BP^CA\widehat{P}D = B\widehat{P}C тоді і лише тоді, коли AD+AC=BC+BDAD + AC = BC + BD. [Примітка: Нагадаємо, що зовнішня бісектриса кута — це пряма, яка проходить через вершину кута і перпендикулярна до внутрішньої бісектриси (тобто звичайної бісектриси) того самого кута.]
10–11 класиСиметрія
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-010

Площа поверхні після вирізання куба

Ґабріеле, любитель кубів, купив чудовий колекційний екземпляр: куб, повністю виготовлений із шоколаду, з ребрами завдовжки 10 см10~\text{см}. На жаль, програвши парі двом своїм друзям, він мусить віддати дві третини об'єму шоколадного блока. Ґабріеле вирішив узяти собі як власну порцію шоколаду менший куб, одна з вершин якого збігається з однією з вершин купленого шоколадного куба, а грані паралельні граням купленого куба. Зрештою він віддає двом друзям шоколад, що залишився. Позначимо через SS площу повної поверхні відданого блока шоколаду, виражену в см2\text{см}^2. Тоді маємо... (A) 300≤S≤350300 \leq S \leq 350 (B) 350<S≤450350<S \leq 450 (C) 450<S≤550450<S \leq 550 (D) 550<S≤650550<S \leq 650 (E) 650<S≤750650<S \leq 750.
9–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-005

Довжина дугової планки між сусідніми штабинами

Коваль виготовляє горизонтальну залізну огорожу, утворену з багатьох вертикальних паралельних між собою штабин, кожна з яких розміщена на відстані 18 см18~\text{см} від двох сусідніх. Коваль з'єднує кінці кожної пари сусідніх штабин вигнутою планкою у вигляді дуги кола, що лежить у площині штабин, найвища точка якої розташована на відстані 33 см3 \sqrt{3}~\text{см} від прямої (показаної штриховою лінією на рисунку), яка проходить через верхні кінці всіх штабин і перпендикулярна до самих штабин. Яка довжина кожної з планочок, використаних для побудови арок? (A) 8π(3−1) см8 \pi(\sqrt{3}-1)~\text{см} (B) 6π3 см6 \pi \sqrt{3}~\text{см} (C) 12π(3−1) см12 \pi(\sqrt{3}-1)~\text{см} (D) 4π3 см4 \pi \sqrt{3}~\text{см} (E) 8π3 см8 \pi \sqrt{3}~\text{см}.
9–11 класиМетричні співвідношення в колі
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-016

Найбільший кут з точки на промені

З точки LL виходять дві прямолінійні дороги, що утворюють гострий кут α\alpha. Вздовж однієї з двох доріг стоять два ліхтарі, розташовані в PP і QQ, такі, що LP=40 мL P=40~\text{м} і LQ=90 мL Q=90~\text{м}. Єва перебуває в EE на іншій дорозі й бачить два ліхтарі під кутом PE^QP \widehat{E} Q. На якій відстані від LL перебуває Єва, якщо PE^QP \widehat{E} Q має найбільшу можливу величину? (A) 40 м40~\text{м} (B) 60 м60~\text{м} (C) 65 м65~\text{м} (D) 90 м90~\text{м} (E) відстань залежить від α\alpha.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-008

Нерівні трикутники із середин сторін

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник, позначимо через D,E,FD, E, F середини сторін. Скільки невироджених і попарно нерівних між собою трикутників можна отримати, вибираючи 3 з точок A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F?
9–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-002

Вписаний чотирикутник із середин висот трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а D,ED, E — основи висот, проведених з A,BA, B. Нехай A′A' — середина висоти ADAD, B′B' — середина висоти BEBE. Пряма CA′CA' перетинає BEBE в XX, CB′CB' перетинає ADAD в YY. Доведіть, що існує коло, яке проходить через точки A′,B′,X,YA', B', X, Y.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-012

Паралельні сторони вписаного шестикутника

Шестикутник ABCDEFABCDEF вписано в коло. Якщо сторони ABAB і DEDE паралельні, а також сторони BCBC і EFEF паралельні, доведіть, що сторони CDCD і FAFA також паралельні.
7–9 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-014

Рівні відрізки з побудови з ортоцентром

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а DD — перетин двох прямих AHAH, BCBC. Нехай EE — точка перетину описаного кола трикутника ABDABD і прямої CHCH, що лежить поза трикутником ABCABC. А нехай FF — точка перетину описаного кола трикутника ACDACD і прямої BHBH, що лежить поза трикутником ABCABC. Доведіть, що відрізки AEAE і AFAF мають однакову довжину.
7–9 класиСтепінь точки відносно кола
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-003

Відношення площ у трикутнику з паралельним відрізком

У трикутнику ABCABC точку DD вибрано на стороні ABAB, а точку EE — на стороні ACAC так, що пряма DEDE паралельна прямій BCBC. Нехай MM і NN — середини відрізків BDBD і CECE відповідно. Знайдіть площу трикутника ADEADE, якщо площі чотирикутників DMNEDMNE і MBCNMBCN дорівнюють 11 і 22 відповідно.
7–9 класиГомотерія і подібність
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-007

Площа трикутника ABQ для двох прямокутних трикутників

Нехай трикутники ABCABC і PQRPQR — прямокутні рівнобедрені з ∠ACB=∠PQR=90∘\angle ACB = \angle PQR = 90^\circ і AB=5AB = 5, PR=3PR = 3. Припустимо далі, що 3 точки A,P,QA, P, Q лежать на одній прямій у вказаному порядку, те саме справджується для 3 точок B,Q,RB, Q, R, а також для 3 точок R,C,PR, C, P. Знайдіть площу трикутника ABQABQ. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-011

Інцентр і центр описаного кола під прямим кутом

Нехай II і OO — відповідно інцентр і центр описаного кола трикутника ABCABC. Якщо AB=2AB = 2, AC=3AC = 3 і ∠AIO=90∘\angle AIO = 90^\circ, чому дорівнює площа трикутника ABCABC? Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-013

Перпендикуляр з ортоцентра на медіану

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а MM — середина сторони BCBC. Нехай PP — точка перетину прямої AMAM і прямої, що проходить через HH та перпендикулярна до прямої AMAM. Доведіть, що виконується рівність AM⋅PM=BM2AM \cdot PM = BM^2. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-004

Сектор круга з рівними відрізками

Нехай OABOAB — сектор круга з центром OO, як на рисунку нижче. Точка QQ вибрана на хорді ABAB. Нехай PP — точка перетину дуги кругового сектора та прямої OQOQ. Якщо AQ=5AQ = 5, BQ=6BQ = 6, OQ=PQOQ = PQ, знайдіть значення радіуса цього сектора. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-015

Конгруентні трикутники з рівними вписаними колами

На площині лежать 4 точки так, що жодні 3 з них не лежать на одній прямій. Розглянемо 4 трикутники, утворені 3 із 4 заданих точок. Якщо радіуси 4 вписаних кіл цих 4 трикутників мають однакову довжину, доведіть, що всі ці трикутники рівні.
10–11 класиВписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-006

Прямокутний трикутник з відношеннями відрізків

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ. Точки P,Q,RP, Q, R лежать на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно так, що виконуються умови AQ:QC=2:1,AR=AQ,QP=QR,∠PQR=90∘AQ : QC = 2 : 1, \quad AR = AQ, \quad QP = QR, \quad \angle PQR = 90^\circ Знайдіть значення ARAR, якщо CP=1CP = 1. Тут для відрізка XYXY його довжина також позначається через XYXY.
10–11 класиСума кутів чотирикутника. Зовнішн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-011

Середини діагоналей описаного чотирикутника

Нехай 4 сторони ABAB, BCBC, CDCD, DADA чотирикутника ABCDABCD дотикаються до кола з центром OO, і виконуються умови OA=5, OB=6, OC=7, OD=8OA = 5,\ OB = 6,\ OC = 7,\ OD = 8 Нехай MM, NN — середини відрізків ACAC, BDBD відповідно. Знайдіть значення OM:ONOM : ON. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-001

Рівні відрізки та середина сторони в гострокутному трикутнику

Нехай PP — точка на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC, а DD — основа перпендикуляра з HH на пряму APAP. Нехай Γ1,Γ2\Gamma_1, \Gamma_2 — описані кола △ABD,△ACD\triangle ABD, \triangle ACD відповідно. Нехай ll — пряма, паралельна стороні BCBC, що проходить через DD. Пряма ll перетинає Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 у точках XX і YY, відмінних від DD, відповідно. Пряма ll перетинає ABAB і ACAC у точках EE і FF відповідно. Дві прямі XBXB і YCYC перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що BP=CPBP = CP тоді й лише тоді, коли ZE=ZFZE = ZF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-003

Трикутник з описаним колом та умовою на довжини

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AC<AB<BCAC < AB < BC. Нехай DD — точка на стороні ABAB. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає внутрішню бісектрису кута ∠A\angle A і пряму CDCD у точках EE (≠A\neq A) і FF (≠C\neq C) відповідно. Нехай KK — точка перетину прямих BCBC і DEDE. Доведіть, що CK=ACCK = AC тоді й лише тоді, коли DK⋅EF=AC⋅DFDK \cdot EF = AC \cdot DF.
10–11 класиТеорема про тризуб
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-011

Рівнобедрений трикутник із середин чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AD=DCAD = DC, AC=ABAC = AB і ∠ADC=∠CAB\angle ADC = \angle CAB. Нехай MM і NN — середини сторін ADAD і ABAB. Доведіть, що трикутник MNCMNC рівнобедрений.
8–9 класиЛанцюжок подібних трикутників
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-003

Площі трикутників в опуклому п’ятикутнику

Доведіть, що для кожного опуклого п’ятикутника P1P2P3P4P5P_1P_2P_3P_4P_5 з площею 11 існують індекси ii і jj (вважаємо P6=P1P_6 = P_1 і P7=P2P_7 = P_2) такі, що: площа △PiPi+1Pi+2≤5−510≤площа △PjPj+1Pj+2\text{площа } \triangle P_i P_{i+1} P_{i+2} \le \frac{5 - \sqrt{5}}{10} \le \text{площа } \triangle P_j P_{j+1} P_{j+2}
10–11 класиВідношення площ трикутників
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-005

Бісектриси кутів перетинаються на стороні трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай DD — перетин прямих BHBH і ACAC, а EE — перетин прямих CHCH і ABAB. Описане коло трикутника ADEADE перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці F≠AF \neq A. Доведіть, що бісектриси кутів ∠BFC\angle BFC і ∠BHC\angle BHC перетинаються в точці на прямій BCBC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-002

Конкурентність діагоналей неопуклого шестикутника

У шестикутнику ABCDEFABCDEF, який є неопуклим, але без самоперетинів, жодна пара протилежних сторін не паралельна. Внутрішні кути задовольняють ∠A=3∠D\angle A = 3\angle D, ∠C=3∠F\angle C = 3\angle F і ∠E=3∠B\angle E = 3\angle B. Крім того, AB=DEAB = DE, BC=EFBC = EF і CD=FACD = FA. Доведіть, що діагоналі AD‾\overline{AD}, BE‾\overline{BE} і CF‾\overline{CF} перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.