Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-017

Екстремальна сума за бієкціями

Позначимо S={1,2,…,3000}S = \{1, 2, \dots, 3000\}. Знайдіть найбільше можливе значення цілого числа XX, яке задовольняє таку умову: Для будь-якої бієкції f:S→Sf: S \to S існує бієкція g:S→Sg: S \to S така, що ∑k=13000(max⁡{f(f(k)),f(g(k)),g(f(k)),g(g(k))}−min⁡{f(f(k)),f(g(k)),g(f(k)),g(g(k))})\sum_{k=1}^{3000} \left( \max\{f(f(k)), f(g(k)), g(f(k)), g(g(k))\} - \min\{f(f(k)), f(g(k)), g(f(k)), g(g(k))\} \right) не менше ніж XX.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-008

Максимальна краса розмітки графа

Розглянемо фігуру, що складається з 15 кіл і 20 відрізків, як показано нижче. Кожне коло позначено числом 0, 1 або 2, і ми визначаємо красу розмітки як кількість відрізків, кінці яких позначено числами, що відрізняються на 1. Нехай MM — найбільша можлива краса, якої можна досягти серед усіх розміток. Скільки існує розміток, що досягають краси MM? Зауважимо, що ми розрізняємо розмітки, які можна отримати одна з одної поворотами чи відбиттями.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-009

Сума перестановки з модулями різниць

Скільки існує перестановок p1,p2,…,p2023p_1, p_2, \dots, p_{2023} чисел 1,2,…,20231, 2, \dots, 2023, які задовольняють рівняння p1+∣p2−p1∣+∣p3−p2∣+⋯+∣p2023−p2022∣+p2023=4048?p_1 + |p_2 - p_1| + |p_3 - p_2| + \dots + |p_{2023} - p_{2022}| + p_{2023} = 4048?
10–11 класиПерестановки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-011

Гра зі стиранням чисел зі спільними дільниками

Аліса та Боб грають у гру на дошці. Спочатку на дошці написано по одному разу кожне з 2,3,…,502, 3, \dots, 50. Також задано непорожню підмножину SS множини {2,3,…,50}\{2, 3, \dots, 50\}. Першим ходом Аліса стирає з дошки всі елементи множини SS. Після цього обидва гравці, починаючи з Боба, по черзі стирають з дошки одне або більше цілих чисел. Проте вони не можуть стирати цілі числа, які взаємно прості з усіма цілими числами, стертими суперником на попередньому ході. Гра закінчується, коли гравець на початку свого ходу не має цілих чисел, які він може стерти, внаслідок чого цей гравець програє, а інший гравець виграє. Скільки існує множин SS таких, що Аліса завжди може виграти, незалежно від дій Боба?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-012

Монотонні функції з умовою на композицію

Нехай AA — множина функцій, визначених для цілих чисел від 11 до 20232023 і таких, що набувають цілих значень від 11 до 20232023. Припустимо, що AA задовольняє такі дві умови: Для будь-якої функції ff, що належить AA, і будь-яких цілих чисел xx та yy, для яких 1≤x<y≤20231 \le x < y \le 2023, маємо f(x)≥f(y)f(x) \ge f(y). Для будь-яких функцій ff і gg, що належать AA, і будь-якого цілого числа xx від 11 до 20232023 маємо f(g(x))=g(f(g(x)))f(g(x)) = g(f(g(x))). У цьому випадку знайдіть найбільшу можливу кількість елементів множини AA.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-002

Строго спадна функція на додатних дійсних числах

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина додатних дійсних чисел. Нехай f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ — функція, яка задовольняє таку умову. Для кожного додатного дійсного числа xx існує y∈Ry \in \mathbb{R} таке, що (x+f(y))(y+f(x))≤4,(x + f(y))(y + f(x)) \leq 4, і кількість таких yy скінченна. Доведіть, що f(x)>f(y)f(x) > f(y) для кожної пари додатних дійсних чисел xx і yy з x<yx < y.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-004

Найбільша кількість ходів для скриньок за модулем 3

Нехай nn — натуральне число. Є nn скриньок B1,B2,…,BnB_1, B_2, \dots, B_n, у кожній з яких лежить деяка кількість кульок. Можна виконувати такі ходи. Виберіть натуральні числа ii і jj такі, що 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n і додайте рівно по одній кульці до кожної зі скриньок Bi,Bi+1,…,BjB_i, B_{i+1}, \dots, B_j. Для натуральних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n нехай f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n) — найменша кількість ходів, необхідна для того, щоб кількість кульок у кожній скриньці стала кратною 33, починаючи з xix_i кульок у скриньці BiB_i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Знайдіть найбільше значення f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n). (Якщо 3∣xi3|x_i при i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n, то f(x1,x2,…,xn)=0f(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-002

Кліка розміру 7 у регулярному графі

В офісі є 20232023 співробітники, кожен з яких знає рівно 16861686 інших. Для будь-якої пари співробітників або вони обоє знають один одного, або обоє не знають один одного. Доведіть, що можна знайти 77 співробітників, кожен з яких знає всіх 66 інших.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-007

Підмножини з однаковою сумою

Для кожного натурального числа nn позначимо через f(n)f(n) кількість підмножин множини {1,2,…,n}\{1,2,\ldots ,n\}, сума елементів яких дорівнює nn. Чи існує нескінченно багато натуральних чисел mm таких, що f(m)=f(m+1)f(m) = f(m + 1)? (Зауважимо, що елементи підмножини мають бути різними.)
10–11 класиБієкції
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-012

Максимальна система трійок з обмеженими перетинами

Нехай n,mn, m — натуральні числа. Нехай A1,A2,A3,…,AmA_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{m} — множини такі, що Ai⊆{1,2,3,…,n}A_{i} \subseteq \{1,2,3,\ldots, n\} і ∣Ai∣=3|A_{i}| = 3 для всіх ii (тобто AiA_{i} складається з трьох різних натуральних чисел, кожне з яких не перевищує nn). Припустимо, що для всіх i<ji < j виконується ∣Ai∩Aj∣⩽1|A_{i} \cap A_{j}| \leqslant 1 (тобто AiA_{i} і AjA_{j} мають не більше одного спільного елемента). a. Доведіть, що m⩽n(n−1)6m \leqslant \frac{n(n - 1)}{6}. b. Покажіть, що для всіх n≥3n \geq 3 можна досягти m⩾(n−1)(n−2)6m \geqslant \frac{(n - 1)(n - 2)}{6}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-004

Колекції наліпок і розсадження за столами

Під час чемпіонату світу є nn різних наліпок Panini для колекціонування. Друзі Марка намагаються доповнити свої колекції, однак досі жоден з них не має всіх наліпок! Пару його друзів назвемо повною, якщо їхня об'єднана колекція містить кожну наліпку принаймні один раз. Марко знає, у кого які наліпки, і хоче запросити всіх своїх друзів на свій день народження до ресторану. При цьому він хоче, щоб жодна повна пара не сиділа за одним столом. а) Доведіть, що Маркові може знадобитися щонайменше nn столів. б) Доведіть, що nn столів завжди достатньо, щоб Марко досяг своєї мети.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-001

Колекції наліпок і розсадка за столами

Під час чемпіонату світу треба зібрати nn наліпок Panini. Друзі Марка хочуть доповнити свої колекції, але ніхто ще не має повної колекції! Пару двох друзів називають повною, якщо їхня спільна колекція містить принаймні по одній наліпці кожного виду. Марко знає вміст колекцій усіх своїх друзів і хотів би запросити їх до ресторану на свій день народження. Однак він не хоче, щоб за одним столом сиділа хоч одна повна пара. a. Доведіть, що Маркові може знадобитися забронювати принаймні nn різних столів. b. Доведіть, що nn столів завжди буде достатньо, щоб Марко здійснив своє бажання.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-002

Колекції наліпок і хороші пари

Під час чемпіонату світу є nn різних наліпок Panini для колекціонування. Друзі Марка намагаються зібрати повну колекцію, але ні в кого ще немає повного набору наліпок! Пару його друзів називають хорошою, якщо в їхній об'єднаній колекції є принаймні по одній наліпці кожного виду. Марко знає вміст колекцій кожного, і хоче запросити їх усіх до ресторану на свій день народження. Однак він не хоче, щоб за одним столом сиділа будь-яка хороша пара. a. Покажіть, що Маркові може знадобитися замовити принаймні nn різних столів. b. Покажіть, що nn столів завжди буде достатньо, щоб Марко досяг своєї мети.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-010

Прямокутні розбиття непарного квадрата

Нехай nn — натуральне число. Рожер має квадратний сад розміру (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1). Він зводить паркани, щоб поділити його на прямокутні грядки. Він хоче отримати рівно дві горизонтальні грядки k×1k \times 1 і рівно дві вертикальні грядки 1×k1 \times k для кожного парного числа kk між 1 і 2n+12 n+1, а також одну квадратну грядку розміру 1×11 \times 1, коли завершить. Скількома різними способами Рожер може поділити свій сад?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-006

Прямокутні розбиття квадрата із заданими смугами

Нехай nn — натуральне число. Роджер має квадратний сад розміром (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1). Він ставить паркани, щоб поділити свій сад на прямокутні ділянки. Він хоче отримати рівно дві горизонтальні ділянки k×1k \times 1 і рівно дві вертикальні ділянки 1×k1 \times k для кожного парного цілого числа kk між 11 і 2n+12 n+1, а також одну квадратну ділянку 1×11 \times 1. Скількома різними способами Роджер може це зробити?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-007

Прямокутне розбиття квадратної сітки

Нехай nn — натуральне число. Роджер має квадратний сад розміром (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1), і він встановлює бар'єри, щоб розділити свій сад на кілька прямокутних ділянок. У підсумку має утворитися рівно два горизонтальні прямокутники k×1k \times 1 і два вертикальні прямокутники 1×k1 \times k для кожного парного цілого числа kk між 11 і 2n+12 n+1, а також один квадрат 1×11 \times 1. Скількома способами Роджер може це зробити?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-016

Гра зі стрибками, що зростають, на квадраті

Чарівники Альбус і Браян грають у гру на квадраті зі стороною 2n+12n+1 метрів, оточеному лавою. У центрі квадрата сидить жаба. За хід чарівник обирає напрям, паралельний стороні квадрата, і зачаровує жабу. Це змушує жабу стрибнути на dd метрів в обраному напрямі, де dd спочатку дорівнює 11 і збільшується на 11 після кожного стрибка. Чарівник, який відправить жабу в лаву, програє. Альбус починає, і вони ходять по черзі. Залежно від nn визначте, який чарівник має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-017

НСД членів рекурентної послідовності

Нехай xx, yy та a0a_{0}, a1a_{1}, a2a_{2}, …\ldots — цілі числа, що задовольняють умови a0=a1=0a_{0}=a_{1}=0 і an+2=x⋅an+1+y⋅an+1a_{n+2}=x \cdot a_{n+1}+y \cdot a_{n}+1 для всіх цілих n≥0n \geq 0. Нехай pp — довільне просте число. Доведіть, що НСД(ap,ap+1)\text{НСД}\left(a_{p}, a_{p+1}\right) або дорівнює 11, або більше за p\sqrt{p}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-012

Мінімальна кількість купок після об'єднання камінців

Нехай nn — натуральне число. Кіміко починає з nn купок камінців, у кожній з яких по одному камінцю. Вона може взяти рівну кількість камінців з двох наявних купок і об'єднати вилучені камінці, щоб створити нову купку. Визначте залежно від nn найменшу кількість непорожніх купок, яка може залишитися в Кіміко наприкінці.
10–11 класиОстача від ділення
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-002

Ймовірність перемоги Карла в тенісному турнірі

Азар, Карл, Джон і Сергій — чотири гравці, що залишилися в одиночному тенісному турнірі. Їм випадковим чином призначають суперників у півфінальних матчах, а переможці цих матчів грають між собою у фінальному матчі, який визначає переможця турніру. Коли Азар грає з Карлом, Азар виграє матч із ймовірністю 23\frac{2}{3}. Коли Азар або Карл грає з Джоном або Сергієм, Азар або Карл виграє матч із ймовірністю 34\frac{3}{4}. Припустимо, що результати різних матчів незалежні. Ймовірність того, що Карл виграє турнір, дорівнює pq\frac{p}{q}, де pp і qq — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть p+qp+q.
10–11 класиРозбиття на випадки
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-005

Максимум різниці порядкових статистик при обмеженнях на суми

Нехай x1≤x2≤⋯≤x100x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{100} — дійсні числа, для яких ∣x1∣+∣x2∣+⋯+∣x100∣=1|x_1| + |x_2| + \dots + |x_{100}| = 1 і x1+x2+⋯+x100=0x_1 + x_2 + \dots + x_{100} = 0. Серед усіх таких наборів зі 100 чисел найбільше значення, яке може набувати x76−x16x_{76} - x_{16}, дорівнює mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть m+nm+n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-006

Уникання чотиричленних арифметичних прогресій

Знайдіть кількість впорядкованих пар цілих чисел (a,b)(a, b), для яких послідовність 3,4,5,a,b,30,40,503, 4, 5, a, b, 30, 40, 50 строго зростає і жодні чотири її члени (не обов'язково послідовні) не утворюють арифметичної прогресії.
10–11 класиАрифметична прогресія
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2022-002

Найбільша кількість покупців з різним походженням риби

На рибному базарі є 10 яток, кожна з яких продає ті самі 10 видів риби. Кожну рибину виловлено або в Північному морі, або в Середземному морі, і в кожній ятці для кожного виду риби є риба лише одного походження. Деяка кількість, скажімо kk, покупців купує рівно по одній рибині в кожній ятці так, що вони отримують рівно по одній рибині кожного виду. Ба більше, для кожної пари покупців існує вид риби, риба якого в цих двох покупців різного походження. Розглянемо всі можливі способи постачання яток за вищенаведеними правилами. Яке найбільше можливе значення kk?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-002

Суми кількості дільників непарних і парних чисел

Нехай d(k)d(k) позначає кількість додатних цілих дільників числа kk. Наприклад, d(6)=4d(6)=4, оскільки 66 має 44 додатні дільники, а саме 1,2,31, 2, 3 і 66. Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn d(1)+d(3)+d(5)+⋯+d(2n−1)≤d(2)+d(4)+d(6)+⋯+d(2n)d(1)+d(3)+d(5)+\cdots+d(2n-1) \leq d(2)+d(4)+d(6)+\cdots+d(2n)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-003

Максимальне остаточне значення при операціях на дошці

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Спочатку число 11 написано на дошці nn разів. Щохвилини Вішал вибирає два числа, написані на дошці, скажімо aa і bb, стирає їх і записує або a+ba+b, або min⁡{a2,b2}\min \{a^{2}, b^{2}\}. Через n−1n-1 хвилин на дошці залишається одне число. Нехай найбільше можливе значення цього остаточного числа дорівнює f(n)f(n). Доведіть, що 2n/3<f(n)≤3n/32^{n / 3}<f(n) \leq 3^{n / 3}
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.