Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-062

Кола, дотичні до прямих, що перетинаються, у чотирикутнику

Опуклий чотирикутник BCDEBCDE лежить у площині. Прямі EBEB і DCDC перетинаються в точці AA, причому AB=2AB = 2, AC=5AC = 5, AD=200AD = 200, AE=500AE = 500 і cos⁡∠BAC=79\cos \angle BAC = \frac{7}{9}. Яка найбільша кількість кругів, що не перекриваються, які можуть лежати в чотирикутнику BCDEBCDE так, що всі вони дотикаються до обох прямих BEBE і CDCD?
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові тести на IMOTST-2010-001

Ромб з рівними відрізками та перетином

Нехай чотирикутник ABCDABCD — ромб з гострим кутом при AA. Точки MM і NN лежать на відрізках ACAC і BCBC так, що ∣DM∣=∣MN∣|DM| = |MN|. Нехай далі PP — точка перетину прямих ACAC і DNDN, а RR — точка перетину прямих ABAB і DMDM. Доведіть, що ∣RP∣=∣PD∣|RP| = |PD|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-035

Трапеція з ромбом і лінією через середину

Нехай ABCDA B C D — трапеція, у якої AB∥CDA B \| C D, 2∣AB∣=∣CD∣2|A B|=|C D| і BD⊥BCB D \perp B C. Нехай MM — середина основи CDC D, а EE — точка перетину прямих BCB C і ADA D. Нехай OO — точка перетину прямих AMA M і BDB D. Нехай NN — точка перетину прямих OEO E і ABA B. а. Доведіть, що чотирикутник ABMDA B M D — ромб. б. Доведіть, що пряма DND N проходить через середину відрізка BEB E.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Відбіркові тести на IMOTST-2010-004

Трикутник з рівними відрізками

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з властивістю ∠BAC=45∘\angle BAC=45^{\circ}. Нехай DD — основа перпендикуляра з CC на ABAB. Нехай PP — внутрішня точка відрізка CDCD. Доведіть, що прямі APAP і BCBC перпендикулярні одна до одної тоді й лише тоді, коли ∣AP∣=∣BC∣|AP|=|BC|.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-009

Дотична до кола через перетин діагоналей

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC і BDBD якого перетинаються в точці EE, а прямі, що містять сторони ADAD і BCBC, перетинаються в точці FF. Середини відрізків ABAB і CDCD позначено через GG і HH відповідно. Доведіть, що пряма EFEF в точці EE дотикається до кола, яке проходить через точки EE, GG і HH.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-007

Рівні хорди з кінця діаметра

Нехай ABAB — діаметр кола kk. Нехай tt — дотична до кола kk у точці BB, а C,DC, D — дві точки на tt, такі, що BB лежить між CC і DD. Прямі ACAC та ADAD перетинають kk ще раз у точках EE та FF відповідно. Прямі DEDE та CFCF перетинають kk ще раз у точках GG та HH відповідно. Доведіть, що відрізки AGAG і AHAH мають однакову довжину.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2010-011

Сума відношень до висот у гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC позначимо через hah_a, hbh_b, hch_c довжини висот, проведених до сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Точка PP лежить усередині трикутника. Доведіть, що PAhb+hc+PBhc+ha+PCha+hb≥1.\frac{PA}{h_b + h_c} + \frac{PB}{h_c + h_a} + \frac{PC}{h_a + h_b} \ge 1.
10–11 класиВідношення площ трикутників2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-033

Вписаний шестикутник у двох колах, що перетинаються

Два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках PP і QQ. Спільна дотична з боку точки PP дотикається до кіл у точках AA і BB відповідно. Дотична до кола Γ1\Gamma_{1} в точці PP перетинає Γ2\Gamma_{2} вдруге в точці CC, а дотична до кола Γ2\Gamma_{2} в точці PP перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці DD. Точку перетину прямих APA P і BCB C позначимо через EE, а точку перетину прямих BPB P і ADA D — через FF. Нехай MM — точка, симетрична точці PP відносно середини відрізка ABA B. Доведіть, що AMBEQFA M B E Q F — вписаний шестикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-017

Вписаний чотирикутник із серединами відрізків

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з властивістю, що ∠ABD=∠DBC\angle ABD = \angle DBC. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Нехай MM — середина відрізка AEAE, а NN — середина сторони DCDC. Доведіть, що MBCNMBCN — вписаний чотирикутник.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2010-016

Перетин прямих, що сполучають точки на колах

Точки X,Y,ZX, Y, Z лежать у цьому порядку на одній прямій, причому ∣XY∣≠∣YZ∣|X Y| \neq |Y Z|. Нехай k1k_{1} і k2k_{2} — кола з діаметрами XYX Y і YZY Z відповідно. Точки A1A_{1} і B1B_{1}, відповідно A2A_{2} і B2B_{2}, лежать на колах k1k_{1} і k2k_{2} відповідно так, що ∠A1YA2=∠B1YB2=90∘\angle A_{1} Y A_{2} = \angle B_{1} Y B_{2} = 90^{\circ} Доведіть, що дві прямі A1A2A_{1} A_{2} і B1B2B_{1} B_{2} перетинаються на прямій XYX Y.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-015

Точки дотику вписаних кіл і центр вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Точки MM і NN лежать на сторонах ACAC і BCBC відповідно так, що MN∥ABMN \parallel AB. Точки PP і QQ лежать на сторонах ABAB і CBCB відповідно так, що PQ∥ACPQ \parallel AC. Вписане коло трикутника CMNCMN дотикається до відрізка ACAC у точці EE. Вписане коло трикутника BPQBPQ дотикається до відрізка ABAB у точці FF. Прямі ENEN і ABAB перетинаються в точці RR, а прямі FQFQ і ACAC — у точці SS. Відомо, що AE=AFAE = AF. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника AEFAEF лежить на вписаному колі трикутника ARSARS.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-023

Ізогональні спряжені точки та сума кутів

Точки PP і QQ лежать усередині гострокутного трикутника ABCABC так, що ∠PAB=∠QAC\angle PAB = \angle QAC і ∠PBA=∠QBC\angle PBA = \angle QBC. Точка DD лежить на стороні BCBC. Доведіть, що ∠DPC+∠APB=180∘тоді і тільки тоді, коли∠DQB+∠AQC=180∘.\angle DPC + \angle APB = 180^{\circ} \quad \text{тоді і тільки тоді, коли} \quad \angle DQB + \angle AQC = 180^{\circ}.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2010-028

Бісектриса, коло і середина сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Пряма через HH перетинає ABAB та ACAC відповідно в точках DD та EE так, що виконується ∣AD∣=∣AE∣|AD| = |AE|. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає описане коло трикутника ADEADE в точці K≠AK \neq A. Доведіть, що пряма HKHK ділить відрізок BCBC навпіл.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-010

Безпечна зона в рівносторонньому трикутнику

Червоні й зелені влаштовують бій на водяних кульках. База червоних — це ділянка у формі рівностороннього трикутника зі стороною 8 метрів. Зелені не можуть заходити на базу червоних, але можуть кидати свої снаряди на базу, залишаючись за її периметром. Відомо, що зелені влучають у ціль на відстані не більше 1 метра. Наскільки велика (у квадратних метрах) зона всередині бази червоних, недосяжна для пострілів зелених? (A) 193−2419 \sqrt{3}-24 (B) 434 \sqrt{3} (C) 333 \sqrt{3} (D) 19−8319-8 \sqrt{3} (E) кожна точка червоної зони перебуває в межах досяжності зелених.
10–11 класиПлоща трикутника
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-012

Мінімізація площі тіні піраміди

Пам'ятник Матенкамену має форму піраміди, яка стоїть на своїй квадратній основі зі стороною 18 м18~\text{м}. Її висота дорівнює 15 м15~\text{м}, а основа висоти падає в центр квадрата. Піраміда орієнтована так, що коли сонячні промені падають з півдня під кутом 45∘45^\circ до землі, площа частини землі, на яку вона відкидає свою тінь, є найменшою можливою. Чому дорівнює ця площа, виражена в м2\text{м}^2? (Зауваження: земля, покрита основою піраміди, не враховується як земля в тіні.)
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2010-001

Рівносторонній трикутник і симетричні образи центра

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник з центром OO і площею 11. Нехай DD, EE, FF — точки, симетричні точці OO відносно трьох сторін трикутника. Чому дорівнює площа спільної частини трикутників ABCABC і DEFDEF? (A) 13\frac{1}{3} (B) 239\frac{2 \sqrt{3}}{9} (C) 23\frac{\sqrt{2}}{3} (D) 33\frac{\sqrt{3}}{3} (E) 23\frac{2}{3}.
9–11 класиПлощі подібних фігур
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2010-002

Найкоротший шлях по конічній поверхні

Будинок Данте знаходиться в точці DD біля підніжжя конічної гори з діаметром основи 4 км4~\text{км} і з вершиною в точці CC. Відомо, що DD віддалена від CC на 4 км4~\text{км} по прямій і що, коли PP — точка, діаметрально протилежна DD відносно основи гори, то брама Пекла знаходиться на 3/43/4 відрізка CPCP, ближче до PP. Яку найменшу відстань має пройти Данте (йдучи схилами гори), щоб дістатися від свого дому до брами Пекла? (A) π+1 км\pi+1~\text{км} (B) 5 км5~\text{км} (C) 2π км2\pi~\text{км} (D) 7 км7~\text{км} (E) 2π+1 км2\pi+1~\text{км}.
9–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2010-006

Рівнобедрений трикутник з подвоєним кутом

Дано гострокутний рівнобедрений трикутник ABCABC з основою ACAC. Усередині цього трикутника дано точку MM, що лежить з боку точки CC від серединного перпендикуляра до відрізка ACAC, і таку, що CM^A=2CB^AC\widehat{M}A = 2C\widehat{B}A, і точку NN всередині відрізка AMAM таку, що BN^M=CB^AB\widehat{N}M = C\widehat{B}A. - Доведіть, що CB^N=BA^MC\widehat{B}N = B\widehat{A}M. - Доведіть, що CM+MN=BNCM + MN = BN.
9–11 класиОзнаки подібності
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-013

Рівносторонній многокутник з кутами 120° або 240°

Нехай nn — натуральне число, не менше за 3. Знайдіть усі такі nn, для яких існує nn-кутник з усіма сторонами однакової довжини та з усіма внутрішніми кутами, що дорівнюють або 120∘120^\circ, або 240∘240^\circ.
7–9 класиКути багатокутника. Зовнішні кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-003

Квадрат із точками поділу сторін у заданому відношенні

Сторона квадрата ABCDABCD дорівнює 33. Нехай PP — точка на стороні ABAB, що ділить ABAB у відношенні 2:12 : 1. Нехай QQ, RR — точки на стороні CDCD, що ділять CDCD у відношеннях 1:21 : 2, 2:12 : 1 відповідно. А SS, TT — точки на стороні DADA, що ділять DADA у відношеннях 1:21 : 2, 2:12 : 1 відповідно. Нехай UU — точка перетину прямих PRPR і QTQT, а VV — точка перетину прямих SUSU і BCBC. Знайдіть довжину відрізка BVBV.
7–9 класиВідношення відрізків в подібних т…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-015

Гострокутні трикутники з наборів відрізків

Нехай на площині дано 5 відрізків, які задовольняють таку властивість: з 10 можливих способів вибрати 3 відрізки з даних 5, у 9 випадках із вибраних 3 відрізків можна утворити гострокутний трикутник. Доведіть, що для решти, 10-го способу вибору 3 відрізків, із цих 3 вибраних відрізків можна утворити трикутник.
7–9 класиНерівність трикутника
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-016

Інцентр і точки перетину бісектрис з колом

Припустімо, що для трикутника ABCABC виконано таку умову: коло OO, яке проходить через вершини B,CB, C, перетинає відрізки ABAB і ACAC (за винятком кінців) у точках DD і EE відповідно, і виконується AD+AE=BCAD + AE = BC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC і припустімо, що прямі BIBI і CICI перетинають коло OO у точках P,QP, Q (відмінних від B,CB, C) відповідно. Доведіть, що точки A,I,P,QA, I, P, Q лежать на одному колі. Тут через XYXY ми позначаємо довжину відрізка XYXY.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-007

Кут у конструкції з правильним семикутником

Нехай ABCDEFGABCDEFG — правильний семикутник. Припустимо, що PP, QQ, RR, SS — точки на відрізках ABAB, BCBC, CDCD, EFEF відповідно, для яких виконується BP=CQ=DR=FS=13BP = CQ = DR = FS = \frac{1}{3}. Нехай TT — точка перетину відрізків PRPR і QSQS. Знайдіть величину ∠PTS\angle PTS. Тут під XYXY ми розуміємо довжину відрізка XYXY.
7–9 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-012

Радіус описаного кола через радіуси вписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, для якого ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай PP (QQ) — точка перетину бісектриси ∠ABC\angle ABC (∠ACB\angle ACB) зі стороною ACAC (ABAB) відповідно. Позначимо через r1r_1 (r2r_2) радіус вписаного кола трикутника ABCABC (APQAPQ) відповідно. Визначте радіус описаного кола трикутника APQAPQ через r1r_1 і r2r_2.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-011

Основа висоти як центр описаного кола

Для гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB≠ACAB \neq AC, позначимо через HH основу перпендикуляра, проведеного з точки AA до сторони BCBC. Виберемо точки PP і QQ так, щоб три точки AA, BB, PP і три точки AA, CC, QQ лежали на одній прямій у зазначеному порядку відповідно. Якщо 4 точки BB, CC, PP, QQ лежать на одному колі й якщо виконується умова HP=HQHP = HQ, доведіть, що точка HH має збігатися з центром описаного кола трикутника APQAPQ. Тут через XYXY ми розуміємо довжину відрізка XYXY.
10–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.