Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-022

Множина з різницями Фібоначчі

Для кожного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через FkF_{k} k-теk^{\text{-те}} число Фібоначчі, визначене рівностями F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fk=Fk−2+Fk−1F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1} при k⩾2k \geqslant 2. Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, і нехай SS — множина цілих чисел, яка має таку властивість: Для кожного цілого kk такого, що 2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n, множина SS містить два цілі числа xx і yy такі, що x−y=Fkx-y=F_{k}. Яка найменша можлива кількість елементів такої множини SS?
10–11 класиДерева
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-023

Перетворення трьох чисел лінійними замінами

Моргана написала на дошці три цілі числа 33, 44 і 1212. Далі вона виконує послідовні заміни таким чином: вона вибирає два написані на дошці числа aa і bb, витирає їх і замінює на (3a+4b)/5(3a+4b)/5 і (4a−3b)/5(4a-3b)/5. Чи може Моргана після скінченної кількості таких замін a) отримати на дошці число 1313? b) отримати на дошці число −12-12?
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-002

Мінімальні обміни на круглому столі

2021 людина сидить навколо круглого столу. За один хід можна поміняти місцями двох людей, які сидять поруч. Визначте мінімальну кількість ходів, необхідну для того, щоб кожна людина опинилася на 1000 місць ліворуч від свого початкового місця.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-092

Розкладання доміно з узгодженням кольорів

Доміно має лівий кінець і правий кінець, кожен певного кольору. В Аліси є чотири доміно: червоно-червоне, червоно-синє, синьо-червоне та синьо-синє. Знайдіть кількість способів викласти доміно в ряд кінець до кінця так, щоб сусідні кінці мали однаковий колір. Доміно не можна повертати.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-128

Шлях на дошці з максимальною сумою одного кольору

Лис Лео має дошку 55 на 55 з чергуванням червоних і чорних клітинок. Він вписує в клітинки числа 1,2,3,…,251,2,3, \ldots, 25 так, що будь-які два послідовні числа стоять у сусідніх клітинках (зі спільною стороною), і кожне число використано рівно один раз. Потім він обчислює суму чисел у тих 1313 клітинках, які мають той самий колір, що й центральна клітинка. Обчисліть найбільшу можливу суму, яку може отримати Лео.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-006

Система зі стертими знаками операцій

Джої написав на дошці систему рівнянь, у якій кожне рівняння мало вигляд a+b=ca+b=c або a⋅b=ca \cdot b=c для деяких змінних або цілих чисел a,b,ca, b, c. Потім Шон підійшов до дошки та стер усі знаки плюс і знаки множення, тож тепер на дошці написано: xz=15xy=12xx=36\begin{array}{ll} x & z=15 \\ x & y=12 \\ x & x=36 \end{array} Якщо x,y,zx, y, z — цілі розв’язки початкової системи, знайдіть суму всіх можливих значень 100x+10y+z100 x+10 y+z.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-129

Ймовірність зустрічі в турнірі на вибування

Ава та Тіффані беруть участь у турнірі на вибування, у якому загалом 32 гравці. У кожному з 5 раундів гравці, які залишилися, випадковим чином розбиваються на пари (усі розбиття рівноймовірні). У кожній парі обидва гравці мають рівні шанси перемогти, а той, хто програв, вибуває з турніру. Ймовірність того, що Ава та Тіффані зіграють одна з одною протягом турніру, дорівнює ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-008

Зміни знака в послідовності усереднення

Нехай nn — натуральне число. Аліса записує в рядок nn дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} (у такому порядку). Кожного ходу вона вибирає одне число і замінює його на середнє арифметичне його самого та його сусідів (тобто ana_{n} не є сусідом a1a_{1}, і навпаки). Число змінює знак, якщо воно переходить з невід'ємного у від'ємне або навпаки. Залежно від nn визначте найбільшу можливу кількість змін знака числа a1a_{1} для всіх можливих значень a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} та всіх можливих послідовностей ходів Аліси.
10–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-059

Імовірність безпечних стрибків жаби лататтями

У ставку є 88 листків латаття, пронумерованих 1,2,…,81, 2, \ldots, 8. Жаба починає з латаття 11. Протягом ii-ї секунди жаба стрибає з латаття ii на i+1i+1, падаючи у воду з ймовірністю 1i+1\frac{1}{i+1}. Ймовірність того, що жаба безпечно дістанеться латаття 88, жодного разу не впавши у воду, можна записати як mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n) = 1. Знайдіть 100m+n100m + n.
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-061

Перестановки літер з однаковими сусідами

Знайдіть кількість способів переставити літери слова «HMMTHMMT» так, щоб кожна літера сусідила з іншою копією тієї самої літери. Наприклад, «MMMMTTHH» має цю властивість, а «HHTMMMTM» — ні.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-013

Сума вкладених біноміальних коефіцієнтів за незростаючими наборами

Нехай kk і nn — натуральні числа та нехай S={(a1,…,ak)∈Zk∣0≤ak≤⋯≤a1≤n,a1+⋯+ak=k}S=\left\{\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \in \mathbb{Z}^{k} \mid 0 \leq a_{k} \leq \cdots \leq a_{1} \leq n, a_{1}+\cdots+a_{k}=k\right\} Визначте, з доведенням, значення ∑(a1,…,ak)∈S(na1)(a1a2)⋯(ak−1ak)\sum_{\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \in S}\binom{n}{a_{1}}\binom{a_{1}}{a_{2}} \cdots\binom{a_{k-1}}{a_{k}} через kk і nn, де сума береться за всіма kk-елементними наборами (a1,…,ak)\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) із SS.
10–11 класиБієкції3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-131

Перестановки порядку 3 з умовою за модулем 3

Нехай S={1,2,…,9}S=\{1,2, \ldots, 9\}. Обчисліть кількість функцій f:S→Sf: S \rightarrow S таких, що для всіх s∈Ss \in S виконується f(f(f(s)))=sf(f(f(s)))=s і f(s)−sf(s)-s не ділиться на 33.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-014

Сума площ під ґратковими шляхами

У сітці 33 на 33 з одиничних квадратиків шляхом вгору-вправо називається шлях з лівого нижнього кута до правого верхнього кута, який рухається лише вгору та вправо кроками довжини 11. Для такого шляху pp нехай ApA_{p} позначає кількість одиничних квадратиків під шляхом pp. Обчисліть суму ApA_{p} за всіма шляхами вгору-вправо pp.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-015

Десятицифрові числа з незростаючими цифрами, кратні 11

Знайдіть кількість 10-цифрових чисел a1a2⋯a10‾\overline{a_{1} a_{2} \cdots a_{10}}, які кратні 11, таких, що цифри не зростають зліва направо, тобто ai≥ai+1a_{i} \geq a_{i+1} для кожного 1≤i≤91 \leq i \leq 9.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-132

Останнє відсутнє число на кубику зі змінною гранню

У зайчихи Терези є правильний восьмигранний гральний кубик. Сім його граней мають фіксовані позначки 1,2,…,71, 2, \ldots, 7, а позначку на восьмій грані можна змінювати, і спочатку вона 11. Вона кидає його кілька разів, доки кожне з чисел 1,2,…,71, 2, \ldots, 7 не з'явиться принаймні один раз. Після кожного кидка, якщо kk — найменше натуральне число, яке вона досі не викидала, вона замінює позначку на восьмій грані на kk. Ймовірність того, що 77 буде останнім числом, яке вона викине, дорівнює ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-016

Многогранник із рівних трикутників 36-72-72

Опуклий многогранник має nn граней, усі з яких — рівні трикутники з кутами 36∘36^{\circ}, 72∘72^{\circ} і 72∘72^{\circ}. Знайдіть із доведенням найбільше можливе значення nn.
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-096

Випадкові хорди, що утворюють трикутник

Хорду кола проводять, вибираючи дві точки рівномірно навмання на колі. Це повторюють ще двічі, щоб отримати загалом три випадкові хорди. Круг розрізають уздовж цих трьох хорд, розбиваючи його на частини. Ймовірність того, що одна з частин є трикутником, дорівнює mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-017

Позначені клітинки, що покривають прямокутники з n клітинок

На квадратній дошці n×nn \times n позначено nn клітинок так, що кожен прямокутник, складений з рівно nn клітинок дошки, містить принаймні одну позначену клітинку. Знайдіть усі можливі значення nn.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-019

Коні, що не б'ють один одного, на шаховій дошці

Скільки існує способів розмістити 31 коня в клітинках дошки 8×88 \times 8 так, щоб жодні два не били один одного? (Кінь б'є іншого коня, якщо відстань між центрами їхніх клітинок дорівнює 5\sqrt{5}.)
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-097

Очікувана кількість пар до пари джокерів

У Маріо є колода із семи пар однакових числових карт і двох пар однакових джокерів, загалом 1818 карт. Він тасує колоду, а потім знімає карти зверху по одній, доки в нього не опиниться пара однакових джокерів. Математичне сподівання кількості повних пар, які Маріо матиме наприкінці (включно з джокерами), дорівнює mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-134

Сума розмірів образів ітерованої функції

Нехай S={1,2,…,2021}S=\{1,2, \ldots, 2021\}, і нехай F\mathcal{F} позначає множину функцій f:S→Sf: S \rightarrow S. Для функції f∈Ff \in \mathcal{F} нехай Tf={f2021(s):s∈S}T_{f}=\left\{f^{2021}(s): s \in S\right\} де f2021(s)f^{2021}(s) позначає f(f(⋯(f(s))⋯ ))f(f(\cdots(f(s)) \cdots)), у якому ff застосовано 2021 раз. Обчисліть остачу від ділення ∑f∈F∣Tf∣\sum_{f \in \mathcal{F}}\left|T_{f}\right| на просте число 2017, де сума береться за всіма функціями ff з множини F\mathcal{F}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-023

Кульки в мішку та ймовірність кольору останньої

У Мілана в мішку 2020 червоних кульок і 2021 зелена кулька. Він неодноразово витягає з мішка навмання по 2 кульки. Якщо вони одного кольору, він перефарбовує обидві в протилежний колір і повертає їх до мішка. Якщо вони різного кольору, він їх викидає. Зрештою в мішку залишається 1 кулька. Нехай pp — ймовірність того, що вона зелена. Обчисліть ⌊2021p⌋\lfloor 2021 p\rfloor.
10–11 класиОстача від ділення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-099

Маршрути без самоперетинів на точках кола

На колі вибрано вісім точок, позначених P1,P2,…,P8P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{8} за годинниковою стрілкою. Маршрутом називається послідовність із принаймні двох точок Pa1,Pa2,…,PanP_{a_{1}}, P_{a_{2}}, \ldots, P_{a_{n}} така, що якби мураха відвідувала ці точки в заданому порядку, починаючи з Pa1P_{a_{1}} і закінчуючи в PanP_{a_{n}}, рухаючись по n−1n-1 прямолінійних відрізках (кожен з яких з'єднує PaiP_{a_{i}} і Pai+1P_{a_{i+1}}), вона ніколи не відвідала б жодну точку двічі й не перетнула б власний шлях. Знайдіть кількість маршрутів.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-027

Гра на парність із ходами сумою та добутком

Пол і Сара грають у гру з цілими числами на дошці, першим ходить Пол. Коли черга Пола, він може вибрати будь-які два цілі числа на дошці й замінити їх їхнім добутком; коли черга Сари, вона може вибрати будь-які два цілі числа на дошці й замінити їх їхньою сумою. Гра триває, доки на дошці не залишиться рівно одне ціле число. Пол перемагає, якщо це число непарне, а Сара перемагає, якщо воно парне. Спочатку на дошці є 2021 ціле число, кожне з яких вибрано рівномірно випадково з множини {0,1,2,3,…,2021}\{0,1,2,3, \ldots, 2021\}. За умови, що обидва гравці грають оптимально, ймовірність того, що Пол переможе, дорівнює mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть остачу від ділення m+nm+n на 1000.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-135

Заповнення дошки з умовою на квадрати 2×2

Обчисліть кількість способів заповнити кожну клітинку квадратної дошки 8×88 \times 8 однією з літер H,MH, M або TT так, щоб кожен квадрат 2×22 \times 2 у дошці містив літери H,M,M,TH, M, M, T у деякому порядку.
10–11 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.