Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-044

Сума розв’язків тригонометричного рівняння в градусах

Існує кілька розв’язків рівняння 1+sin⁡xsin⁡4x=sin⁡3xsin⁡2x1 + \frac{\sin x}{\sin 4x} = \frac{\sin 3x}{\sin 2x} де xx виражено в градусах і 0∘<x<180∘0^{\circ} < x < 180^{\circ}. Знайдіть суму всіх таких розв’язків.
10–11 класиТригонометричні рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-047

Рекурентне співвідношення з квадратичним добутком

Натуральне число tt назвемо хорошим, якщо існує послідовність a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots натуральних чисел, яка задовольняє умови a0=15a_{0}=15, a1=ta_{1}=t і an−1an+1=(an−1)(an+1)a_{n-1} a_{n+1} = (a_{n} - 1)(a_{n} + 1) для всіх натуральних чисел nn. Знайдіть суму всіх хороших чисел.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-051

Числа як сума чотирьох факторіалів

Обчисліть кількість натуральних чисел, менших за 10!10!, які можна подати у вигляді суми щонайбільше 4 (не обов'язково різних) факторіалів.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-054

Цикли у чотиривимірному ґратковому графі

Нехай SS — множина з 343^{4} точок чотиривимірного простору, в яких кожна координата належить {−1,0,1}\{-1,0,1\}. Нехай NN — кількість послідовностей точок P1,P2,…,P2020P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2020} з SS таких, що PiPi+1=2P_{i} P_{i+1}=2 для всіх 1≤i≤20201 \leq i \leq 2020 і P1=(0,0,0,0)P_{1}=(0,0,0,0). (Тут P2021=P1P_{2021}=P_{1}.) Знайдіть найбільше ціле число nn таке, що 2n2^{n} ділить NN.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-058

Обмежена послідовність із квадратичним рекурентним співвідношенням

Нехай {ai}i≥0\{a_{i}\}_{i \geq 0} — послідовність дійсних чисел, визначена співвідношенням an+1=an2−122020⋅2n−1a_{n+1} = a_{n}^2 - \frac{1}{2^{2020 \cdot 2^{n}} - 1} при n≥0n \geq 0. Знайдіть найбільше значення a0a_{0}, для якого {ai}i≥0\{a_{i}\}_{i \geq 0} обмежена.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-063

Знакозмінна сума біноміальної послідовності

Нехай a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots — послідовність додатних дійсних чисел, яка задовольняє рівність ∑n=k∞(nk)an=15k\sum_{n=k}^{\infty}\binom{n}{k} a_{n}=\frac{1}{5^{k}} для всіх натуральних чисел kk. Значення a1−a2+a3−a4+⋯a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиФормула біном Ньютона
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-065

Випадкове блукання до діагоналі за модулем 3

Анастасія прогулюється площиною, починаючи з (1,0)(1,0). Щосекунди, якщо вона перебуває в (x,y)(x, y), вона з імовірністю 14\frac{1}{4} переходить в одну з точок (x−1,y)(x-1, y), (x+1,y)(x+1, y), (x,y−1)(x, y-1) і (x,y+1)(x, y+1). Вона зупиняється, щойно потрапить у точку вигляду (k,k)(k, k). Яка імовірність того, що kk ділиться на 33, коли вона зупиниться?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-066

Нерівність із дробовою частиною

Для деякого додатного дійсного α\alpha множина SS додатних дійсних чисел xx, для яких {x}>αx\{x\} > \alpha x, є об'єднанням кількох інтервалів із сумарною довжиною 20.220.2. Значення α\alpha можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b. (Тут {x}=x−⌊x⌋\{x\} = x - \lfloor x \rfloor — дробова частина числа xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-067

Оптимальна стала у нерівності з вкладеними сумами

Знайдіть найменшу дійсну сталу α\alpha таку, що для всіх натуральних чисел nn і дійсних чисел 0=y0<y1<⋯<yn0 = y_{0} < y_{1} < \cdots < y_{n} виконується така нерівність: α∑k=1n(k+1)3/2yk2−yk−12≥∑k=1nk2+3k+3yk.\alpha \sum_{k=1}^{n} \frac{(k+1)^{3 / 2}}{\sqrt{y_{k}^{2}-y_{k-1}^{2}}} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}+3 k+3}{y_{k}} \text{.}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-069

Нескінченний добуток зі степеневим показником

Оцініть N=∏n=1∞nn−1.25N = \prod_{n=1}^{\infty} n^{n^{-1.25}} Оцінка E>0E > 0 отримає ⌊22min⁡(N/E,E/N)⌋\lfloor 22 \min (N / E, E / N) \rfloor балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-073

Восьмизначні числа в трикутнику Паскаля

Оцініть AA — кількість появ восьмизначних чисел у трикутнику Паскаля. Оцінка EE приносить max⁡(0,⌊20−∣A−E∣/200⌋)\max (0,\lfloor 20-|A-E| / 200\rfloor) балів.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-074

Корінь многочлена з простими коефіцієнтами

Нехай pip_{i} — ii-те просте число. Нехай f(x)=∑i=150pixi−1=2+3x+⋯+229x49f(x)=\sum_{i=1}^{50} p_{i} x^{i-1}=2+3 x+\cdots+229 x^{49} Якщо aa — єдине додатне дійсне число, для якого f(a)=100f(a)=100, оцініть A=⌊100000a⌋A=\lfloor 100000 a\rfloor. Оцінка EE принесе max⁡(0,⌊20−∣A−E∣/250⌋)\max (0,\lfloor 20-|A-E| / 250\rfloor) балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-075

Випадкове блукання змійки на клітинній дошці

Змійка довжини kk — це тварина, яка займає впорядкований kk-набір (s1,…,sk)(s_{1}, \ldots, s_{k}) клітин на клітинній дошці n×nn \times n з квадратних одиничних клітин. Ці клітини мають бути попарно різними, а sis_{i} і si+1s_{i+1} повинні мати спільну сторону при i=1,…,k−1i=1, \ldots, k-1. Якщо змійка зараз займає (s1,…,sk)(s_{1}, \ldots, s_{k}), а ss — вільна клітина, що має спільну сторону з s1s_{1}, то змійка може зробити хід, після якого вона займає (s,s1,…,sk−1)(s, s_{1}, \ldots, s_{k-1}). Спочатку змійка довжини 4 перебуває на дошці {1,2,…,30}2\{1,2, \ldots, 30\}^{2} і займає позиції (1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), причому (1,1)(1,1) — її голова. Змійка раз у раз робить хід, вибираючи його навмання рівноймовірно серед дозволених ходів. Оцініть NN — математичне сподівання кількості ходів, які зробить змійка, доки в неї не залишиться жодного дозволеного ходу. Оцінка E>0E>0 принесе ⌊22min⁡(N/E,E/N)4⌋\left\lfloor 22 \min (N / E, E / N)^{4}\right\rfloor балів.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Відбіркові тести на IMOTST-2020-004

Стабільне розміщення чисел на колі з умовою добутку

Для натурального числа n≥3n \geq 3 розглянемо коло з nn точками на ньому. У кожній точці поставимо натуральне число, причому числа не обов'язково мають бути різними. Таке розміщення чисел називається стабільним, якщо будь-які три сусідні числа завжди мають добуток nn. Для скількох значень nn з 3≤n≤20203 \leq n \leq 2020 можна розмістити числа стабільним чином?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-003

Монотонність послідовності коренів многочленів

Нехай a1,a2,…,a2020a_1, a_2, \dots, a_{2020} — дійсні числа, не обов'язково різні. Для всіх n≥2020n \ge 2020 нехай an+1a_{n+1} — найменший дійсний корінь многочлена Pn(x)=x2n+a1x2n−2+a2x2n−4+⋯+an−1x2+an,P_n(x) = x^{2n} + a_1 x^{2n-2} + a_2 x^{2n-4} + \dots + a_{n-1} x^2 + a_n, якщо він існує. Припустимо, що an+1a_{n+1} існує для всіх n≥2020n \ge 2020. Доведіть, що an+1≤ana_{n+1} \le a_n для всіх n≥2021n \ge 2021.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-013

Функціональне рівняння з f(x²y) і f(y²)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють f(x2y)+2f(y2)=(x2+f(y))⋅f(y)f\left(x^{2} y\right)+2 f\left(y^{2}\right)=\left(x^{2}+f(y)\right) \cdot f(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-029

Трикутники з послідовними цілими сторонами і співвідношенням кутів

Назвемо невироджений трикутник з мірами кутів θ1,θ2,θ3\theta_1, \theta_2, \theta_3 примхливим, якщо існують цілі числа r1,r2,r3r_1, r_2, r_3, не всі нульові, такі, що r1θ1+r2θ2+r3θ3=0.r_1\theta_1 + r_2\theta_2 + r_3\theta_3 = 0. Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких трикутник зі сторонами n−1,n,n+1n-1, n, n+1 є примхливим.
10–11 класиІнші класи многочленів
Відбіркові тести на IMOTST-2020-023

Добуток степенів за модулем простого числа

Нехай p,qp, q — прості числа, а aa — ціле число таке, що p>2p > 2 і a≢1(modq)a \not\equiv 1 \pmod{q}, але ap≡1(modq)a^p \equiv 1 \pmod{q}. Доведіть, що (1+a1)(1+a2)…(1+ap−1)≡1(modq).(1+a^1)(1+a^2)\dots(1+a^{p-1}) \equiv 1 \pmod{q}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2020-035

Многочлени з коренями на одиничному колі

Знайдіть усі несталі многочлени P(z)P(z) з комплексними коефіцієнтами, для яких усі комплексні корені многочленів P(z)P(z) і P(z)−1P(z) - 1 мають модуль 11.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-005

Почергова послідовність із множенням і додаванням

Альберто і Барбара пишуть числа на дошці. Починає Альберто і пише дійсне число xx. Потім Барбара пише число 11. Далі вони чергуються, і кожним ходом пишуть по одному числу. Альберто своїм ходом множить останнє написане число на x2x^{2} і записує результат. Барбара своїм ходом додає до останнього написаного числа x+1x+1 і записує результат. Вони зупиняються, коли на дошці написано 20202020 чисел. Яке з наведених тверджень завжди істинне? (A) На дошці є принаймні одне від'ємне число (B) Усі числа, написані на дошці, додатні (C) Альберто написав лише додатні числа (D) Альберто написав лише від'ємні числа (E) Барбара написала лише додатні числа
10–11 класиГеометрична прогресія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-011

Кількість цифр у послідовних числах

Аїша пише на аркуші всі числа від 11 до 20202020. Чому дорівнює різниця між кількістю цифр «1» і кількістю цифр «0», які вона написала? (A) 7878 (B) 10101010 (C) 10891089 (D) 20202020 (E) 50055005
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-012

Зважена сума зі зсунутими кубічними коефіцієнтами

Дійсні числа x1,x2,x3,…,x30x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{30} задовольняють такі умови: {203x1+213x2+223x3+⋯+493x30=13213x1+223x2+233x3+⋯+503x30=1223x1+233x2+243x3+⋯+513x30=19\left\{\begin{array}{l} 20^{3} x_{1}+21^{3} x_{2}+22^{3} x_{3}+\cdots+49^{3} x_{30}=13 \\ 21^{3} x_{1}+22^{3} x_{2}+23^{3} x_{3}+\cdots+50^{3} x_{30}=1 \\ 22^{3} x_{1}+23^{3} x_{2}+24^{3} x_{3}+\cdots+51^{3} x_{30}=19 \end{array}\right. Чому дорівнює 21x1+22x2+23x3+⋯+50x3021 x_{1}+22 x_{2}+23 x_{3}+\cdots+50 x_{30}? (A) Є декілька допустимих значень (B) Система не має розв'язку (C) 1065 (D) 7 (E) 5
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-015

Степінь п'ятірки, що ділить зважену суму коефіцієнтів

Дано многочлен (x2+5x−19)50=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100,\left(x^{2}+5 x-19\right)^{50}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{100} x^{100}, розглянемо величину M=a0−a1+4a2−9a3+16a4−81a5+64a6−729a7+⋯+298a98−398a99+2100a100M=a_{0}-a_{1}+4 a_{2}-9 a_{3}+16 a_{4}-81 a_{5}+64 a_{6}-729 a_{7}+\cdots+2^{98} a_{98}-3^{98} a_{99}+2^{100} a_{100} в якій коефіцієнт при a2ka_{2 k} дорівнює 22k2^{2 k}, а коефіцієнт при a2k+1a_{2 k+1} дорівнює −32k-3^{2 k}. Який найбільший степінь числа 5 ділить MM? (A) 505^{0} (B) 515^{1} (C) 555^{5} (D) 5505^{50} (E) 51005^{100}
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-016

Многочлени, що задовольняють квадратичне функціональне рівняння

Скільки існує многочленів p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, степінь яких від 1 до 2020 включно, для яких існує дійсне число α\alpha таке, що рівність p(x)2=p(x2)+αp(x)p(x)^2 = p\left(x^2\right) + \alpha p(x) виконується для кожного дійсного числа xx?
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-008

Квадрат кореня x³ - 2x + 1

Нехай P(x)=x3−2x+1P(x) = x^{3} - 2x + 1 і нехай Q(x)=x3−4x2+4x−1Q(x) = x^{3} - 4x^{2} + 4x - 1. Доведіть, що якщо P(r)=0P(r) = 0, то Q(r2)=0Q(r^{2}) = 0
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.