Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-136

Шляхи на решітці, що обмежують область під прямою

Шлях угору-вправо між двома точками цілочисельної решітки PP і QQ — це шлях з PP до QQ, який складається з кроків довжини 1: або вгору, або вправо. Скільки існує шляхів угору-вправо з (0,0)(0,0) до (7,7)(7,7), які при зображенні на площині разом із прямою y=x−2.021y = x - 2.021 обмежують рівно одну обмежену область під цією прямою?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-033

Максимізація добутку при фіксованій сумі

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — послідовність різних натуральних чисел така, що a1+a2+⋯+an=2021a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=2021 і добуток a1a2⋯ana_{1} a_{2} \cdots a_{n} є найбільшим можливим. Якщо M=a1a2⋯anM=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}, обчисліть найбільше натуральне число kk таке, що 2k∣M2^{k} \mid M.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-034

Розфарбування дошки зі зв'язністю кольорів

Нехай n>1n>1 — натуральне число. Кожну клітинку дошки n×nn \times n пофарбовано в чорний або білий колір так, що виконуються такі умови: - будь-які дві чорні клітинки можна сполучити послідовністю чорних клітинок, у якій будь-які дві сусідні клітинки послідовності мають спільну сторону; - будь-які дві білі клітинки можна сполучити послідовністю білих клітинок, у якій будь-які дві сусідні клітинки послідовності мають спільну сторону; - будь-який підквадрат 2×22 \times 2 містить принаймні одну клітинку кожного кольору. Знайдіть з доведенням максимально можливу різницю між кількістю чорних і білих клітинок на цій дошці (залежно від nn).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-036

Маркування вершин куба з обмеженнями на відстань

Обчисліть кількість маркувань f:{0,1}3→{0,1,…,7}f:\{0,1\}^{3} \rightarrow \{0,1, \ldots, 7\} вершин одиничного куба таких, що ∣f(vi)−f(vj)∣≥d(vi,vj)2\left|f\left(v_{i}\right)-f\left(v_{j}\right)\right| \geq d\left(v_{i}, v_{j}\right)^{2} для всіх вершин vi,vjv_{i}, v_{j} одиничного куба, де d(vi,vj)d\left(v_{i}, v_{j}\right) позначає евклідову відстань між viv_{i} і vjv_{j}.
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-069

Сума очок трьох карт, кратна 10

Аліса витягає три карти зі стандартної колоди з 52 карт із поверненням. Туз і карти від 2 до 10 коштують відповідно від 1 до 10 очок, а фігурні карти Король, Дама та Валет коштують по 10 очок кожна. Ймовірність того, що сума кількості очок витягнутих карт кратна 10, можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-037

Ймовірність вибуття другої команди в останньому раунді

Турнір за участю 20212021 команд з рейтингом триває 20202020 раундів. У кожному раунді серед усіх команд, що залишилися, навмання обирають дві команди, які грають одна проти одної. Команда з кращим рейтингом завжди перемагає, а команда з гіршим рейтингом вибуває. Нехай pp — ймовірність того, що друга за рейтингом команда вибуде в останньому раунді. Обчисліть ⌊2021p⌋\lfloor 2021 p \rfloor.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-070

Дев'ять чисел 1, 12, … із взаємно простими сусідами

Знайдіть кількість способів, якими дев'ять чисел 1,12,123,1234,…,1234567891, 12, 123, 1234, \ldots, 123456789 можна розташувати в ряд так, щоб сусідні числа були взаємно простими.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-071

Дисбаланс кольорів квадрата на шахівниці

На шахівниці k×kk \times k множину SS з 25 клітинок, які утворюють квадрат 5×55 \times 5, вибирають навмання (усі варіанти рівноймовірні). Ймовірність того, що в SS чорних клітинок більше, ніж білих, становить 48%48\%. Знайдіть kk.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-042

Вибір кульок трьох різних кольорів

У Алмондайн є мішок, у якому NN кульок, кожна з яких червона, біла або синя. Якщо Алмондайн витягує три кульки з мішка без повернення, ймовірність того, що вона витягне по одній кульці кожного кольору, більша за 23 відсотки. Обчисліть найбільше можливе значення ⌊N3⌋\left\lfloor\frac{N}{3}\right\rfloor.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-077

Ферзі, що атакують один одного на шаховій дошці

На шаховій дошці ферзь атакує кожне поле, до якого він може дістатися зі свого поточного поля ходом уздовж рядка, стовпця або діагоналі, не проходячи через інше поле, зайняте шаховою фігурою. Знайдіть кількість способів, якими три нерозрізнювані ферзі можна розмістити на шаховій дошці 8×88 \times 8 так, щоб кожен ферзь атакував обох інших.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-044

Визначення попарно взаємно простих чисел запитами добутків

Боб знає, що Аліса має 20212021 таємних натуральних чисел x1,…,x2021x_{1}, \ldots, x_{2021}, які є попарно взаємно простими. Боб хоче дізнатися числа Аліси. Йому дозволено вибрати множину S⊆{1,2,…,2021}S \subseteq \{1,2, \ldots, 2021\} і запитати в неї добуток чисел xix_{i} для всіх i∈Si \in S. Аліса мусить правдиво відповідати на кожен запит Боба, а Боб може використовувати попередні відповіді Аліси для вибору наступного запиту. Обчисліть найменшу кількість запитів, потрібну Бобу, щоб гарантовано визначити кожне з чисел Аліси.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-079

Очікувана кількість ходів коня на дошці 4×4

На шахівниці 4×44 \times 4 вибирають дві різні клітинки, причому кожна пара клітинок рівноймовірна. На одну з клітинок ставлять коня. Математичне сподівання мінімальної кількості ходів, потрібної коню, щоб дістатися до іншої клітинки, можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — додатні цілі числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-047

Математичне сподівання периметра перерізу куба

Нехай PP — точка, обрана навмання рівномірно в кубі [0,1]3[0,1]^3. Площина, паралельна до площини x+y+z=0x+y+z=0, що проходить через PP, перетинає куб у двовимірній області R\mathcal{R}. Нехай tt — математичне сподівання периметра області R\mathcal{R}. Якщо t2t^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-080

Підмножини з вибором з пар і суміжними елементами

Знайдіть кількість підмножин SS множини {1,2,…,48}\{1,2, \ldots, 48\}, які мають обидві такі властивості: - Для кожного цілого 1≤k≤241 \leq k \leq 24 рівно одне з чисел 2k−12k-1 і 2k2k належить SS. - Існує рівно дев'ять цілих чисел 1≤m≤471 \leq m \leq 47 таких, що і mm, і m+1m+1 належать SS.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-048

Добутки підмножин за модулем 100

Нехай nn — натуральне число. Клаудіо має nn карток, кожна позначена різним числом від 11 до nn. Він бере підмножину цих карток і перемножує числа, написані на картках. Він зауважує, що для будь-якого натурального числа mm можна вибрати деяку підмножину карток так, щоб різниця між їхнім добутком і mm ділилася на 100100. Знайдіть найменше можливе значення nn.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-082

Двійкове дерево з мітками-степенями двійки

Нехай XX — кількість послідовностей цілих чисел a1,a2,…,a2047a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2047}, які задовольняють усі такі властивості: - Кожне aia_{i} дорівнює або 00, або степеню 22. - ai=a2i+a2i+1a_{i} = a_{2i} + a_{2i+1} при 1≤i≤10231 \leq i \leq 1023. - a1=1024a_{1} = 1024. Знайдіть остачу від ділення XX на 100100.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-085

Найбільша сума при замінах на НСД і НСК

Кевін записує на дошці натуральні числа 1,2,…,151, 2, \ldots, 15. Потім він неодноразово вибирає два довільні числа a,ba, b з дошки, стирає їх і записує замість них НСД(a,b)\text{НСД}(a, b) і НСК(a,b)\text{НСК}(a, b). Він робить це, доки набір чисел, записаних на дошці, вже не можна змінити. Знайдіть найбільшу можливу суму чисел на дошці після цього процесу.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-052

Порівну білих і чорних шкарпеток

Роджер спочатку має 20 шкарпеток у шухляді, кожна з яких або біла, або чорна. Він навмання (рівноймовірно) вибирає шкарпетку із шухляди і викидає її. Він повторює цю дію, доки не залишиться порівну білих і чорних шкарпеток. Припустимо, що ймовірність того, що він зупиниться до того, як шкарпетки закінчаться, дорівнює pp. Якщо сума всіх різних можливих значень pp за всіма початковими комбінаціями шкарпеток дорівнює ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-054

Найменше неподане натуральне число

Після завершення Guts-раунду організатори HMMT зберуть усі відповіді, подані на всі 66 запитань (зокрема й на це) в індивідуальних раундах і в Guts-раунді. Оцініть NN — найменше натуральне число, яке ніхто жодного разу не подасть протягом турніру. Оцінка EE отримає max⁡(0,24−4∣E−N∣)\max (0,24-4|E-N|) балів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-090

Ймовірність інверсії пар результатів

Припустімо, двох різних учасників змагання HMMT 2021 November обрано рівномірно навмання. Нехай pp — ймовірність того, що їх можна позначити AA і BB так, що результат AA у раунді General строго більший за результат BB, а результат BB у раунді Theme строго більший за результат AA. Оцініть P=⌊10000p⌋P = \lfloor 10000 p \rfloor. Оцінка EE принесе ⌊20min⁡(AE,EA)6⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{A}{E}, \frac{E}{A}\right)^{6}\right\rfloor балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-056

Випадкове блукання зі спадними кроками

Джефф гуляє числовою прямою протягом 40 хвилин, починаючи з точки 0. На nn-й хвилині він підкидає чесну монету. Якщо випадає герб, він проходить 1n\frac{1}{n} у додатному напрямі, а якщо випадає решка — проходить 1n\frac{1}{n} у від'ємному напрямі. Нехай pp — імовірність того, що він ніколи не покине проміжок [−2,2][-2,2]. Оцініть N=⌊104p⌋N=\left\lfloor 10^{4} p\right\rfloor. Оцінка EE отримає max⁡(0,⌊20−20(∣E−N∣160)1/3⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-20\left(\frac{|E-N|}{160}\right)^{1 / 3}\right\rfloor\right) балів.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-091

Групування блоків однакових літер

Нехай NN — кількість способів переставити літери в рядку «HMMTHMMTHMMTHMMTHMMTHMMT» («HMMT», повторене шість разів) так, щоб кожна літера стояла поруч з іншою копією тієї самої літери. Наприклад, «MMMMMMTTTTTTHHHHHHHHHHHH» має цю властивість, а «HMMTHMMTHMMTHMMTHMMTHMMT» — ні. Оцініть NN. Оцінка EE принесе ⌊20min⁡(NE,EN)4⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{4}\right\rfloor балів.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-026

Розфарбування вершин правильного 100-кутника

Нехай вершини правильного 100-кутника PP пофарбовано або в червоний, або в синій колір так, що кожен колір трапляється принаймні 24 рази. Доведіть, що існує 24 попарно неперетинні чотирикутники Q1,Q2,…,Q24Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є також вершинами PP, такі, що кожен чотирикутник QiQ_{i} має або одну, або три червоні вершини.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2021-028

Єдиність пари натуральних чисел для квадратного рівняння

Доведіть, що для кожного невід'ємного цілого числа zz існує рівно одна впорядкована пара (m,n)(m, n) натуральних чисел m,nm, n така, що виконується 2z=(m+n)2−m−3n2 z = (m+n)^2 - m - 3 n.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-005

Розфарбування покриття доміно за рядками

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких mnmn парне. Єтце збирається покрити дошку m×nm \times n (тобто таку, що складається з mm рядків і nn стовпців) кісточками доміно так, щоб кожна кісточка доміно покривала рівно дві клітинки, кісточки доміно не виступали за межі дошки і не перекривалися, а всі клітинки були покриті кісточкою доміно. Потім Мерлін пофарбує всі кісточки доміно на дошці в червоний або синій колір. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число VV (залежне від mm і nn) таке, що Мерлін завжди може забезпечити, щоб у кожному рядку кількість клітинок, покритих червоною кісточкою доміно, і кількість клітинок, покритих синьою кісточкою доміно, відрізнялися щонайбільше на VV, як би Єтце не покрив дошку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.