Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-054

Комірка Вороного у зрізаному октаедрі

Нехай PP — многогранник, усі грані якого — правильні многокутники, а всі ребра мають довжину 11. У кожній вершині многогранника PP сходяться два правильні шестикутники й один квадрат. Виберемо вершину VV цього многогранника. Знайдіть об'єм множини всіх точок многогранника PP, які містяться ближче до VV, ніж до будь-якої іншої його вершини.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-056

Система з оберненими координатами

Нехай (x,y)(x, y) — пара дійсних чисел, яка задовольняє 56x+33y=−yx2+y2, і 33x−56y=xx2+y256 x + 33 y = \frac{-y}{x^{2} + y^{2}}, \quad \text{ і } \quad 33 x - 56 y = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} Знайдіть значення ∣x∣+∣y∣|x| + |y|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-057

Кут у трикутнику з умовами на довжини

Трикутник ABCABC задовольняє AB=2ACAB = 2AC і ∠BAC=120∘\angle BAC = 120^\circ. Точки PP і QQ лежать на відрізку BCBC так, що AB2+BC⋅CP=BC23AC2+2BC⋅CQ=BC2\begin{aligned} AB^2 + BC \cdot CP &= BC^2 \\ 3AC^2 + 2BC \cdot CQ &= BC^2 \end{aligned} Знайдіть ∠PAQ\angle PAQ у градусах.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-058

Чевіани в рівносторонньому трикутнику

У Аліси є рівносторонній трикутник ABCA B C площею 11. Нехай DD — точка на стороні BCB C, EE — на стороні CAC A, а FF — на стороні ABA B, причому BD=DCB D = D C, CE=2EAC E = 2 E A і 2AF=FB2 A F = F B. Зауважимо, що відрізки ADA D, BEB E і CFC F перетинаються в одній точці MM. Знайдіть площу трикутника EMCE M C.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-061

Радіус описаного кола вписаного п'ятикутника

Вписаний п'ятикутник ABCDEABCD E має довжини сторін AB=BC=5AB = BC = 5, CD=DE=12CD = DE = 12 і AE=14AE = 14. Знайдіть радіус його описаного кола.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-067

Максимальний трикутник у правильному семикутнику

Знайдіть max⁡{периметр(T)}\max \{\text{периметр}(T)\} для TT — трикутника, що міститься в правильному семикутнику (7-сторонній фігурі) з одиничною довжиною сторони. Запишіть вашу відповідь NN з 2 знаками після коми. Якщо правильна відповідь, округлена до 2 знаків після коми, дорівнює AA, ви отримаєте 0 балів, якщо N<AN<A, і ⌊max⁡{0,25−50⋅(N−A)}⌋\lfloor\max \{0,25-50 \cdot(N-A)\}\rfloor балів у протилежному випадку.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Відбіркові тести на IMOTST-2008-006

Діагоналі трапеції та рівність кутів

Дано (довільну) трапецію ABCDABCD, діагоналі якої перетинаються в точці PP. Точка QQ лежить між паралельними прямими ABAB і DCDC так, що ∡AQB=∡CQD\varangle AQB = \varangle CQD і пряма BCBC проходить між PP і QQ. Доведіть, що ∡DQP=∡BAQ\varangle DQP = \varangle BAQ.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2008-007

Циклічний чотирикутник у рівнобічній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція з AB∥CDAB \parallel CD і BC‾=AD‾\overline{BC} = \overline{AD}. Пряма, паралельна ADAD, що проходить через BB, перетинає перпендикуляр до ADAD, що проходить через DD, в точці XX. Крім того, пряма, що проходить через AA паралельно BDBD, перетинає перпендикуляр до BDBD, що проходить через DD, в точці YY. Доведіть, що точки C,X,DC, X, D і YY лежать на спільному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2008-004

Рівносторонній трикутник, вписаний у трикутник

Нехай PP, QQ і RR — точки на сторонах BCBC, CACA і ABAB гострокутного трикутника ABCABC такі, що трикутник PQRPQR рівносторонній і має найменшу площу серед усіх таких рівносторонніх трикутників. Доведіть, що перпендикуляри, опущені з AA на пряму QRQR, з BB на пряму RPRP і з CC на пряму PQPQ, перетинаються в одній точці.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2008-009

Хорда вписаного кола і середина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠ABC≠∠BCA\angle ABC \neq \angle BCA. Вписане коло kk трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках DD, EE та FF. Відрізок ADAD перетинає kk ще раз у точці PP. Нехай QQ — точка перетину прямої EFEF з перпендикуляром до прямої ADAD через PP. Нехай XX та YY — точки перетину прямої AQAQ з прямими DEDE та DFDF відповідно. Доведіть, що AA — середина відрізка XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2008-013

Дотичні та паралельні прямі у колах, що перетинаються

Два кола k1k_{1} і k2k_{2} перетинаються в точках AA і BB. Нехай rr — пряма через BB, яка перетинає k1k_{1} у точці CC, а k2k_{2} — у точці DD, так, що BB лежить між CC і DD. Нехай ss — пряма, паралельна до прямої ADA D, яка дотикається до кола k1k_{1} у точці EE і має найменшу можливу відстань до прямої ADA D. Пряма AEA E перетинає k2k_{2} у точці FF. Нехай tt — дотична до кола k2k_{2} через FF. Доведіть, що виконується: (a) Пряма tt паралельна до прямої ACA C. (b) Прямі r,sr, s і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2008-019

Фіксована точка перетину кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка всередині відрізка BCBC. Нехай XX — інша точка всередині відрізка BCBC, відмінна від DD, а YY — точка перетину прямої AXAX з описаним колом трикутника ABCABC. Нехай PP — друга точка перетину описаних кіл трикутників ABCABC і DXYDXY. Доведіть, що PP не залежить від вибору XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-001

Коло через вершини дванадцятикутника та перетин діагоналей

Нехай ABCDEFGHILMNA B C D E F G H I L M N — правильний дванадцятикутник. Нехай PP — точка перетину діагоналей AFA F і DHD H. Нехай SS — коло, що проходить через AA і HH, конгруентне описаному навколо дванадцятикутника колу і відмінне від нього. Доведіть, що: (a) PP належить колу SS; (b) центр кола SS належить діагоналі HNH N; (c) довжина відрізка PEP E дорівнює стороні дванадцятикутника.
10–11 класиПаралельний перенос
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-009

Площа рівнобічної трапеції за відношенням частин діагоналей

У рівнобічній трапеції ABCDABCD з більшою основою ABAB діагоналі діляться точкою їх перетину OO на частини, пропорційні числам 1 і 3. Відомо, що площа трикутника BOCBOC дорівнює 15. Чому дорівнює площа всієї трапеції? (A) 60 (B) 75 (C) 80 (D) 90 (E) 105.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-004

Квадрати зі спільною вершиною всередині трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого більші за 45∘45^{\circ} і менші за 90∘90^{\circ}. a. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC можна розмістити три квадрати з такими властивостями: - усі три квадрати мають однакову сторону; - усі три квадрати мають спільну вершину KK, внутрішню для трикутника; - будь-які два квадрати не мають спільних точок, крім KK; - кожен із квадратів має дві протилежні вершини на периметрі трикутника ABCABC, а решта цілком лежить усередині трикутника ABCABC. b. Нехай PP — центр квадрата зі стороною ABAB і зовнішнього відносно ABCABC. Нехай rCr_{C} — пряма, симетрична до прямої, що проходить через CC і KK, відносно бісектриси кута AC^BA\widehat{C}B, що виходить із CC. Доведіть, що PP належить прямій rCr_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-013

Площа зони, обмеженої дугами кіл

Всередині круга радіуса 11 проведено 33 дуги кіл, також радіуса 11, з центрами у вершинах рівностороннього трикутника, вписаного в коло. Чому дорівнює площа заштрихованої зони? (A) 34π\frac{\sqrt{3}}{4} \pi (B) π−334\pi-\frac{3 \sqrt{3}}{4} (C) π−332\pi-\frac{3 \sqrt{3}}{2} (D) 332\frac{3 \sqrt{3}}{2} (E) 6−π6-\pi.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-014

Радіус сфери за довжиною тіні

У сонячний день сфера лежить на горизонтальній землі. У певну мить тінь сфери сягає відстані 10 метрів від точки, у якій сфера дотикається до землі. У ту саму мить жердина завдовжки 1 метр, поставлена вертикально до землі, відкидає тінь завдовжки 2 метри. Чому дорівнює радіус сфери в метрах? (A) 52\frac{5}{2} (B) 9−459-4 \sqrt{5} (C) 105−2010 \sqrt{5}-20 (D) 810−238 \sqrt{10}-23 (E) 6−156-\sqrt{15}.
10–11 класиОзнаки подібності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-007

Ортоцентр у колі з відношенням хорди

Нехай ABAB — хорда кола, а PP — внутрішня точка відрізка ABAB така, що AP=2PBAP = 2PB. Нехай DEDE — хорда, що проходить через PP і перпендикулярна до ABAB. Доведіть, що середина QQ відрізка APAP є ортоцентром трикутника ADEADE.
10–11 класиТочка перетину висот
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-004

Площа області, утвореної дугами кіл

Усередині круга радіуса 11 проведено 33 дуги кіл, які також мають радіус 11, з центрами у вершинах рівностороннього трикутника, вписаного в це коло. Чому дорівнює площа заштрихованої області? (A) 34π\frac{\sqrt{3}}{4} \pi (B) π−334\pi-\frac{3 \sqrt{3}}{4} (C) π−332\pi-\frac{3 \sqrt{3}}{2} (D) 332\frac{3 \sqrt{3}}{2} (E) 6−π6-\pi.
9–11 класиРозбиття і перекидання площ
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-009

Прямокутник із проєкцій у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у AA, у якому ∠ABC=15∘\angle ABC = 15^\circ. Нехай HH — основа висоти, проведеної з AA, а J,KJ, K — проєкції HH на сторони ABAB і ACAC. Відомо, що площа чотирикутника AJHKAJHK дорівнює 45 см245~\text{см}^2. Чому в см2\text{см}^2 дорівнює добуток BJ⋅CKBJ \cdot CK?
9–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2008-003

Коло з рівними сусідніми дугами

На колі розміщено в указаному порядку 6 точок AA, BB, CC, DD, EE, FF так, щоб виконувалися такі умови: дуга ABAB і дуга BCBC, дуга CDCD і дуга DEDE, а також дуга EFEF і дуга FAFA мають відповідно однакові довжини. Знайдіть величину кута ∠BFD\angle BFD, якщо ∠ACE=68∘\angle ACE = 68^\circ. (Увага: наведений нижче рисунок може бути неточним.)
7–9 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2008-007

Порівняння площ чотирикутника на дошці 3×3

Розглянемо квадрат, що складається з 9 маленьких квадратів зі стороною 11, розташованих у 33 ряди та 33 стовпці, як показано на рисунку нижче. Пронумеруємо маленькі квадрати так, як вказано на рисунку. | ① | ② | ③ | |----|----|----| | ⑧ | | ④ | | ⑦ | ⑥ | ⑤ | Нехай AA, BB, CC, DD — точки, вибрані зсередини (не на межі) квадратів 11, 33, 55, 77 відповідно. Позначимо через XX суму площ перетинів чотирикутника ABCDABCD з квадратами 11, 33, 55 і 77. Позначимо також через YY суму площ перетинів чотирикутника ABCDABCD з квадратами 22, 44, 66 і 88. Доведіть, що виконується нерівність X<YX < Y.
7–9 класиВідношення площ трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-002

Площа трикутника з дотичною до кола

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 11. Нехай OO — коло, побудоване на стороні ADAD квадрата як на діаметрі, а точка EE на стороні ABAB квадрата вибрана так, що пряма CECE дотикається до кола OO. Знайдіть площу трикутника CBECBE.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-012

Коло через вершину і центр описаного кола

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Коло, що проходить через точки A,OA, O, перетинає прямі ABAB і ACAC у точках P,QP, Q, відмінних від AA, відповідно. Якщо довжини відрізків PQPQ і BCBC рівні, чому дорівнює величина кута, утвореного прямими PQPQ і BCBC і меншого за 90∘90^\circ?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-001

Вписаний шестикутник з рівністю відрізків

Дано вписаний шестикутник ABCDEFABCDEF, нехай прямі BDBD і CFCF перетинаються в точці GG, прямі ACAC і BEBE перетинаються в точці HH, а прямі ADAD і CECE перетинаються в точці II. Припустімо, що пряма BDBD перпендикулярна до прямої CFCF і AI=CIAI = CI. Доведіть, що CH=AH+DECH = AH + DE тоді й лише тоді, коли GH⋅BD=BC⋅DEGH \cdot BD = BC \cdot DE.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.