Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

592 задачі
КомбінаторикаГрафи
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-018

Оцінка кількості пар знайомих у зібранні

Нехай nn і pp — цілі числа ⩾1\geqslant 1. На зібранні з nn осіб будь-які дві особи мають не більше ніж pp спільних знайомих; звісно, якщо AA знає BB, то BB знає AA. Доведіть, що кількість невпорядкованих пар {A,B}\{A, B\} осіб, які знають одна одну, не перевищує pn3\sqrt{\mathrm{p}n^{3}}.
8–10 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2014-008

Трикутники зі спільною крайньою стороною

Розглянемо 6 точок площини, розташованих так, що трикутник, утворений будь-якими трьома з них, має три сторони попарно різної довжини. Доведіть, що існує трикутник, найкоротша сторона якого є водночас найдовшою стороною іншого трикутника.
9–11 класиКласичні теореми теорії графів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-086

Найбільша кількість придатних пар за єдиного парування

Є nn дівчат G1,…,GnG_{1}, \ldots, G_{n} і nn хлопців B1,…,BnB_{1}, \ldots, B_{n}. Пара (Gi,Bj)(G_{i}, B_{j}) називається придатною тоді й лише тоді, коли дівчина GiG_{i} готова вийти заміж за хлопця BjB_{j}. Відомо, що існує рівно один спосіб поставити кожну дівчину в пару з окремим хлопцем, за якого вона готова вийти заміж. Яка найбільша можлива кількість придатних пар?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-091

Зв’язні дводольні графи на п’яти вершинах

Нехай A,B,C,D,EA, B, C, D, E — п’ять точок на колі; між точками проведено деякі відрізки так, що кожна з (52)=10\binom{5}{2}=10 пар точок сполучена або жодним, або одним відрізком. Визначте кількість наборів відрізків, які можна провести так, щоб: - можна було дістатися з будь-якої з п’яти точок до будь-якої іншої з п’яти точок уздовж проведених відрізків. - можна було поділити п’ять точок на дві непорожні множини SS і TT так, щоб кожен відрізок мав один кінець у множині SS, а другий — у множині TT.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-133

Ранжування турніру з властивістю домінування

Шість різних гравців беруть участь у тенісному турнірі. Кожен гравець грає один матч проти кожного іншого гравця. Нічиїх у цьому турнірі немає — кожен тенісний матч завершується перемогою одного гравця та поразкою іншого. Припустімо, що щоразу, коли AA і BB — гравці турніру такі, що AA здобуває строго більше перемог, ніж BB за весь турнір, виконується також, що AA перемагає BB в їхньому очному матчі турніру. Скількома способами міг завершитися турнір?
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-071

Зв’язні графи на колі з десятьма точками

Десять точок рівномірно розміщено на колі. Граф — це множина відрізків (можливо, порожня), проведених між парами точок, так, що будь-які дві точки з’єднано або жодним, або одним відрізком. Два графи вважаються однаковими, якщо один можна отримати з іншого перестановкою точок. Нехай NN позначає кількість графів з властивістю, що для будь-яких двох точок існує шлях від однієї до іншої серед відрізків графа. Оцініть значення NN. Якщо ваша відповідь — натуральне число AA, ваш результат за цю задачу дорівнюватиме більшому з 0 і ⌊20−5∣ln⁡(A/N)∣⌋\lfloor 20-5|\ln (A / N)|\rfloor. Інакше ваш результат дорівнюватиме нулю.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-016

Дружні пари у щільному графі

Нехай nn — парне натуральне число, а GG — граф на nn вершинах з рівно n24\frac{n^2}{4} ребрами, без петель і кратних ребер (кожну невпорядковану пару різних вершин з'єднано 0 або 1 ребром). Невпорядковану пару різних вершин {x,y}\{x, y\} називають дружньою, якщо вони мають спільного сусіда (існує вершина zz, така, що xzxz і yzyz — обидва ребра). Доведіть, що GG має принаймні 2(n/22)2\binom{n/2}{2} невпорядкованих пар вершин, які є дружніми.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2014-041

Остовні дерева з забороненими ребрами

Країна має nn міст, позначених 11, 22, 33, …\dots, nn. Вона хоче прокласти рівно n−1n-1 доріг між деякими парами міст так, щоб з кожного міста можна було потрапити до кожного іншого певною послідовністю доріг. Однак не дозволяється прокладати дороги між парами міст, номери яких відрізняються рівно на 11, і так само не дозволяється прокладати дорогу між містами 11 і nn. Нехай TnT_n — загальна кількість можливих способів прокласти ці дороги. a. Для всіх непарних nn доведіть, що TnT_n ділиться на nn. b. Для всіх парних nn доведіть, що TnT_n ділиться на n/2n/2.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-016

Шляхи коня на шаховій дошці 3 на 3

Кінь стоїть у кутовій клітинці шахової дошки 3×33 \times 3. Хід полягає в переміщенні коня в клітинку, досяжну двома кроками по горизонталі з подальшим одним кроком по вертикалі, або двома кроками по вертикалі з подальшим одним кроком по горизонталі. Скількома способами можна перемістити його в протилежну кутову клітинку рівно за 12 ходів?
9–11 класиШляхи на графах
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-009

Розподіл підкомітетів за вподобаннями

У певній школі є комітет, що складається з 4 членів. Для цього комітету є 4 підкомітети, і кожному членові комітету буде запропоновано очолити окремий підкомітет. Припустімо, що кожен член комітету має 2 підкомітети, які він волів би очолювати. Відомо, що існує рівно 2 способи розподілити підкомітети між членами так, щоб задовольнити вподобання всіх членів. Скільки можливих комбінацій вподобань усіх чотирьох членів є в цій ситуації?
10–11 класиСтепені вершин
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-005

Еквівалентні умови оборони замків

На континенті є скінченна кількість замків, і кожен замок належить рівно одній з двох країн AA і BB. У кожному замку є один генерал. Будемо казати, що два замки сусідні, якщо між цими двома замками є шлях. Також будемо казати, що замок PP і множина замків QQ сусідні, якщо PP є сусіднім з деяким замком із QQ. Доведіть, що такі дві умови рівносильні: 1. Якщо деякі генерали з країни BB перейдуть у деякі сусідні замки й атакують, генерали з країни AA можуть перейти у деякі сусідні замки так, щоб у кожному замку з країни AA кількість генералів з AA була не меншою за кількість генералів з BB. 2. Якщо XX — множина замків з країни AA, то кількість генералів з AA, які перебувають у XX або в замках, сусідніх з XX, не менша за кількість генералів з BB, які перебувають у замках, сусідніх з XX.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-019

Один вид транспорту сполучає всі міста

У країні є nn міст. Будь-які два міста завжди сполучені або автострадою, або залізницею. Доведіть, що один із двох видів транспорту дозволяє дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого.
10–11 класиЗв’язність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-017

Внутрішній квартал у поділеному прямокутнику

Місто Готем-Сіті — це великий прямокутник, поділений на менші прямокутні квартали вулицями, паралельними краям міста. Припускається, що є принаймні одна вулиця і що жодна вулиця не перетинає місто наскрізь. Доведіть, що існує квартал, який не дотикається до краю міста.
8–10 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-001

Вибір з двоелементних підмножин з рівною частотою

Нехай S\mathcal{S} — множина розміру nn, а kk — натуральне число. Для кожного 1≤i≤kn1 \leq i \leq k n задано підмножину Si⊂SS_{i} \subset \mathcal{S} таку, що ∣Si∣=2|S_{i}|=2. Крім того, для кожного e∈Se \in \mathcal{S} існує рівно 2k2 k значень ii таких, що e∈Sie \in S_{i}. Доведіть, що можна вибрати по одному елементу з множини SiS_{i} для кожного 1≤i≤kn1 \leq i \leq k n так, щоб кожен елемент множини S\mathcal{S} було вибрано рівно kk разів.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-097

Недоміновані розподіли іграшок та улюблений вибір

Є nn дітей і nn іграшок, причому кожна дитина має строге впорядкування іграшок за бажаністю. Ми хочемо роздати іграшки: кажемо, що розподіл AA домінує над розподілом B≠AB \neq A, якщо в розподілі AA кожна дитина отримує не менш бажану іграшку, ніж у розподілі BB. Доведіть, що якщо над деяким розподілом не домінує жоден інший, то в цьому розподілі принаймні одна дитина отримує свою улюблену іграшку.
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-026

Гамільтонові цикли у трикутній решітці

У Девіда є одиничний трикутний масив із 10 точок, по 4 на кожній стороні. Замкнений шлях — це послідовність A1,A2,…,A10A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{10}, що містить кожну з 10 точок рівно один раз, така, що AiA_{i} і Ai+1A_{i+1} є сусідніми (перебувають на відстані рівно 1 одиниця) при i=1,2,…,10i=1,2, \ldots, 10. (Тут A11=A1A_{11}=A_{1}.) Знайдіть кількість замкнених шляхів у цьому масиві.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2013-001

Максимізація триколірних трикутників у клубі

У соціальному клубі 2k+12k + 1 членів, кожен з яких вільно володіє тими самими kk мовами. Будь-яка пара членів завжди розмовляє між собою лише однією мовою. Припустимо, що не існує трьох членів, які між собою користуються лише однією мовою. Нехай AA — кількість підмножин із трьох членів, у яких три різні пари розмовляють різними мовами. Знайдіть найбільше можливе значення AA.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2013-033

Граф зі щільними з'єднаннями четвірок

У Дивокраї є принаймні 5 міст. Деякі міста з'єднані безпосередньо дорогами або залізницями. Кожне місто з'єднане принаймні з одним іншим містом, і для будь-яких чотирьох міст існує безпосереднє сполучення принаймні між трьома парами міст серед цих чотирьох. Коли мандрівник входить до мережі громадського транспорту цієї країни, він повинен вкинути одну золоту монету в автомат, який дозволяє йому скористатися безпосереднім сполученням, щоб дістатися до наступного міста. Але якщо мандрівник продовжує рух з деякого міста тим самим видом транспорту, яким він туди прибув, і він заплатив золоту монету, щоб дістатися до цього міста, то переїзд до наступного міста нічого не коштує, а натомість мандрівник отримує назад монету, яку він використав останньою. В інших випадках він повинен платити так само, як на початку подорожі. Доведіть, що можна дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого міста, використавши не більше 2 золотих монет.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-044

Стабільні трикутні таблиці із заданими сумами рядків

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо трикутну таблицю з невід'ємних цілих чисел такого вигляду: Назвемо таку трикутну таблицю стабільною, якщо для всіх 0≤i<j<k≤n0 \le i < j < k \le n виконується ai,j+aj,k≤ai,k≤ai,j+aj,k+1.a_{i,j} + a_{j,k} \le a_{i,k} \le a_{i,j} + a_{j,k} + 1. Для будь-якої неспадної послідовності невід'ємних цілих чисел s1,…,sns_1, \dots, s_n доведіть, що існує єдина стабільна трикутна таблиця, у якій сума всіх елементів у рядку kk дорівнює sks_k.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2013-045

Класи еквівалентності повних рядків за простої операції

Нехай SS — множина з nn змінних, бінарна операція ×\times на SS називається простою, якщо вона задовольняє (x×y)×z=x×(y×z)(x \times y) \times z = x \times (y \times z) для всіх x,y,z∈Sx, y, z \in S і x×y∈{x,y}x \times y \in \{x, y\} для всіх x,y∈Sx, y \in S. Для простої операції ×\times на SS будь-який рядок з елементів SS можна звести до одного елемента, наприклад xyz→x×(y×z)xyz \rightarrow x \times (y \times z). Рядок зі змінних з SS називається повним, якщо він містить кожну змінну з SS принаймні один раз, а два рядки називаються еквівалентними, якщо вони дають ту саму змінну незалежно від того, яку просту операцію ×\times обрано. Наприклад, xxxxxx, xxxx і xx еквівалентні, але вони повні лише якщо n=1n = 1. Нехай TT — множина рядків така, що будь-який повний рядок еквівалентний рівно одному елементу з TT. Визначте кількість елементів множини TT.
10–11 класиПерестановки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-017

Перетини ортогональної замкненої ламаної

Нехай nn — натуральне число. Точки P1,P2,…,P4nP_1, P_2, \dots, P_{4n} розміщено на площині так, що жодні 3 точки серед них не лежать на одній прямій. Крім того, для кожного i=1,2,…,4ni = 1, 2, \dots, 4n, якщо півпряму PiPi−1P_i P_{i-1} з початком у точці PiP_i повернути навколо точки PiP_i на 90∘90^\circ за годинниковою стрілкою, то вона перейде у півпряму PiPi+1P_i P_{i+1} з початком у точці PiP_i. Визначте найбільшу можливу кількість пар (i,j)(i, j), для яких відрізки PiPi+1P_i P_{i+1} і PjPj+1P_j P_{j+1} перетинаються в точці, відмінній від кінців цих відрізків. Тут покладаємо P0=P4n,P4n+1=P1P_0 = P_{4n}, P_{4n+1} = P_1 і вважаємо, що 1≤i<j≤4n1 \le i < j \le 4n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-011

Довжина гамільтонового шляху в кубі

На рисунку нижче показано куб з ребром 1. а) Яка найменша можлива довжина шляху, утвореного ребрами куба, що проходить через усі 8 вершин? На рисунку нижче показано куб з ребром 1, в якому проведено всі 12 діагоналей граней. Таким чином, створено мережу з 14 вершинами (8 вершин куба та 6 центрів граней) і 36 ребрами (12 ребер куба та ще по 4 на кожній із 6 граней). б) Яка найменша можлива довжина шляху, утвореного ребрами цієї мережі, що проходить через усі 14 вершин?
10–11 класиШляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-016

Дружні зв'язки в групі з п'яти учнів

Арналдо, Берналдо, Серналдо, Дерналдо й Ерналдо — учні з різних частин Бразилії, яких обрали представляти свою країну на міжнародних олімпіадах. Після кількох тижнів тренувань між ними зав'язалася дружба. Тоді ми запитали в кожного з них, скільки друзів він знайшов у групі. Арналдо, Берналдо, Серналдо і Дерналдо відповіли відповідно, що знайшли всередині групи 1, 2, 3 і 4 друзів. Скільки учасників групи дружать з Ерналдо?
10–11 класиСтепені вершин
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-015

Найменша кількість цифр для відкриття кодового замка

Кодовий замок відкривається, щойно набрано єдину правильну комбінацію з 4 цифр (яка може містити повторення). Наприклад, якщо набрати послідовність цифр 000125, замок відкриється, якщо код — це або 0001, або 0012, або 0125. Малий Петрик не знає коду. Скільки цифр як мінімум йому потрібно набрати, щоб напевно відкрити замок?
9–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-110

Випадкове блукання на комплексних перетвореннях

Джейкоб починає з деякого комплексного числа x0x_{0}, відмінного від 00 і 11. Він неодноразово підкидає чесну монету. Якщо n-теn^{\text{-те}} підкидання випадає гербом, він покладає xn=1−xn−1x_{n} = 1 - x_{n-1}, а якщо випадає решкою — xn=1xn−1x_{n} = \frac{1}{x_{n-1}}. Для всіх можливих виборів x0x_{0} знайдіть усі можливі значення ймовірності того, що x2012=x0x_{2012} = x_{0}.
10–11 класиШляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.