Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

775 задач
КомбінаторикаКомбінаторна геометрія
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-004

Чотири центри триклітинкових прямокутників на прямій

Шахівницю розміром 9×99 \times 9 розділено в довільний спосіб на триклітинкові прямокутнички. Доведіть, що точки перетину діагоналей принаймні чотирьох таких прямокутничків обов'язково лежатимуть на одній прямій.
Розрізання, покриття та замощення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-005

Кольорові прямі з гарними та поганими перетинами

Назвемо пряму ll — кольоровою, якщо на ній існує точка PP, що розбиває пряму ll на два промені — один синього кольору, а інший — жовтого. Точка PP при цьому називається точкою поділу прямої ll. Назвемо перетин двох кольорових прямих гарним, якщо дві прямі мають однаковий колір у точці перетину, і поганим — у протилежному випадку. Визначте всі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, для яких існує набір із nn попарно різних кольорових прямих, що задовольняє такі умови: - серед прямих немає двох паралельних, та жодні три прямі не перетинаються в одній точці; - жодна з точок перетину двох прямих не є точкою поділу кожної з цих прямих; - для кожної лінії з набору кількість гарних та поганих перетинів відрізняється щонайбільше на 1.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-001

Монети на дошці m×n та ходи у квадратах 2×2

Нехай дано натуральні числа mm та nn, більші від 11. На кожному квадратику 1×11 \times 1 дошки розміром m×nm \times n лежить монета реверсом догори. Рух складається з таких кроків: - вибираємо деякий квадрат 2×22 \times 2 дошки; - перевертаємо на зворотний бік монети, що лежать у лівому верхньому та правому нижньому квадратиках; - перевертаємо на зворотний бік монету, що лежить у правому верхньому або лівому нижньому квадратику. Визначте всі пари чисел (m,n)(m, n), для яких за скінченну кількість рухів можна перевернути всі монети аверсом догори. Примітка. Реверс — зворотний бік монети або медалі. Аверс — лицьовий, головний бік монет і медалей, протилежний реверсу.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-011

Максимальна кількість гострокутних трикутників на двох прямих

На двох горизонтальних прямих вибрано n=2m+1n = 2m + 1 точка A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n. Ці nn точок відмічено на заданих прямих таким чином, щоб серед усіх трикутників із вершинами в цих точках AiAjAkA_iA_jA_k, 1⩽i<j<k⩽n1 \leqslant i < j < k \leqslant n, утворилася максимальна кількість гострокутних трикутників. Скільки гострокутних трикутників при цьому утворилося? Примітка. Вироджені трикутники, тобто трикутники, у яких усі три вершини лежать на одній прямій, не враховуємо.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-012

Найбільша кількість точок перетину діагоналей на оболонці

В опуклому nn-кутнику при n⩾5n \geqslant 5 провели деяку кількість діагоналей. Яку найбільшу кількість точок перетину цих діагоналей, відмінних від вершин nn-кутника, може мати опукла оболонка? Примітка. Опуклою оболонкою VV скінченної множини точок MM на площині називають найменший опуклий многокутник, що містить усі точки MM, тобто для будь-якого іншого многокутника UU, що містить усі точки множини MM, справджується включення M⊂V⊂UM \subset V \subset U.
10–11 класиОпуклі множини
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-002

Дошка 2021 на 2022 і сусідні стовпці з доміношками

Прямокутну дошку з 20212021 рядками та 20222022 стовпцями якось розбили на доміношки (прямокутники розміром 1×21 \times 2). Так сталося, що в разі будь-якого іншого розбиття цієї дошки на доміношки знайдеться доміношка, яка є і в даному розбитті. Доведіть, що в даному розбитті є два сусідніх стовпці, що заповнені 20212021 горизонтальними доміношками.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-001

Сума чисел 2^k у клітинках квадрата 600×600

Квадрат 600×600600 \times 600 поділено на фігурки чотирьох типів (рис. 5.1). У зафарбованих чорних клітинках фігурок двох типів, зображених на рисунку, записано число 2k2^k, де kk — номер стовпця, у якому знаходиться ця клітинка (стовпці пронумеровано зліва направо числами від 11 до 600600). Доведіть, що сума всіх записаних чисел ділиться на 99.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-005

Нумерація 2n точок і кути з рівними сумами

Олеся відмічає на площині 2n2n точок, n⩾2n \geqslant 2, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Після цього Андрій нумерує ці точки A1,A2,…,A2nA_1, A_2, \ldots, A_{2n} таким чином, що величина кожного з 2n2n кутів: A1A2A3A_1A_2A_3, A2A3A4A_2A_3A_4, …\ldots, A2n−2A2n−1A2nA_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n}, A2n−1A2nA1A_{2n-1}A_{2n}A_1 та A2nA1A2A_{2n}A_1A_2 знаходиться в межах від 0∘0^\circ до 180∘180^\circ. Доведіть, що за будь-якого розташування точок Андрій зможе їх пронумерувати в такий спосіб, що отримані 2n2n кутів можна буде розподілити на дві групи з рівними сумами величин кутів.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-004

Розфарбування розбитої на триміно дошки 3n × 3n

Дошку розміром 3n×3n3n \times 3n, де n⩾2018n \geqslant 2018, деяким чином розбили на прямокутники 1×31 \times 3. Доведіть, що обов’язково можна пофарбувати кожну одиничну клітинку 1×11 \times 1 дошки в один із трьох кольорів таким чином, щоб виконувалися умови: - клітинок кожного кольору є однакова кількість; - немає двох сусідніх по стороні клітинок одного кольору; - у кожному прямокутнику розбиття 1×31 \times 3 якогось кольору немає.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-012

2019 точок загального положення і трикутники найбільшої площі

Нехай на площині дано 20192019 точок загального положення. Серед усіх трикутників, що мають вершинами деякі три точки із даних, виберемо той, що має найбільшу площу SS. Назвемо кожний трикутник з вершинами в даних точках гарним, якщо він також має площу SS. Доведіть, що існує не більше ніж 20192019 гарних трикутників.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-004

Максимальна кількість прямокутних трикутників з вершинами в n точках

Нехай f(n)f(n) позначає максимальну кількість прямокутних трикутників з вершинами в nn точках. Доведіть, що f(n)⩽n2nf(n) \leqslant n^2 \sqrt{n}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-005

Сума квадратів відстаней між дванадцятьма точками

Знайдіть найменше додатне число λ\lambda таке, що для довільних 12 точок P1P_1, P2P_2, …, P12P_{12} на площині (точки можуть збігатися, а відстань між двома довільними з них не перевищує 1) виконується нерівність ∑1⩽i<j⩽12PiPj2⩽λ\sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant 12} P_iP_j^2 \leqslant \lambda.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-006

Найменше n для єдиного розбиття зі 101 синьою клітинкою

101 клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано синім кольором. Відомо, що існує єдине розбиття дошки по лініях сітки на прямокутники таким чином, що кожен прямокутник розбиття містить рівно одну синю клітинку. Знайдіть найменше значення nn, при якому це можливо.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-019

Двадцять точок і чотирикутники, що не перетинаються

На площині задано 2020 точок загального положення (жодні 33 не лежать на одній прямій). Яку максимальну кількість опуклих чотирикутників, що попарно не перетинаються, можна одержати з вершинами в заданих точках при будь-якому їхньому розташуванні на площині?
7–9 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-022

Найбільша чудова конфігурація точок на площині

Назвемо конфігурацію з nn пофарбованих точок на площині чудовою, якщо жодні три точки не лежать на одній прямій і в довільному трикутнику, який має кут, не менший за 120∘120^\circ, рівно дві вершини пофарбовано в один колір. Знайдіть найбільше можливе значення nn, для якого існує чудова конфігурація.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-012

Рівні відрізки в центрально-симетричній множині точок

На сторонах опуклого kk-кутника вибрали mm точок таким чином, що множина PP з n=m+kn = m + k точок (kk вершин многокутника і mm вибраних точок) центрально-симетрична. Нехай S(P)S(P) позначає максимальну кількість відрізків однакової довжини в множині PP. Доведіть, що максимальне значення, якого може набувати величина S(P)S(P) при фіксованому nn, дорівнює 2n−32n - 3.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-009

Точки з опуклим семикутником і точками всередині п'ятикутників

Множина MM складається з nn точок на площині й задовольняє умови: - у множині MM існують сім точок, що є вершинами опуклого семикутника; - для довільних п'яти точок із множини MM, що є вершинами опуклого п'ятикутника, існує точка, яка також належить MM і лежить усередині цього п'ятикутника. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати nn.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-006

Двоколірна дошка n × n з двома одноколірними шляхами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне натуральне число. Кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в жовтий або блакитний колір. Назвемо послідовність клітин S1,S2,…,SmS_1, S_2, \ldots, S_m шляхом, якщо всі вони одного кольору та клітинки SiS_i та SjS_j мають спільне ребро тоді і лише тоді, коли ∣i−j∣=1|i - j| = 1. Припустимо, що всі клітинки жовтого кольору утворюють шлях і всі клітинки блакитного кольору утворюють шлях. Доведіть, що один із двох шляхів починається або закінчується в центрі дошки.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-010

Точки загального положення і трикутники з однією точкою всередині

Знайдіть усі натуральні числа n⩾4n \geqslant 4, для яких існують nn точок загального положення на площині таких, що довільний трикутник з вершинами, які належать випуклій оболонці цих nn точок, містить усередині рівно одну з n−3n - 3 точок, що залишилися.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-012

Кількість гарних розфарбувань 4026 точок двох кольорів

На площині відмітили 40264026 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. При цьому 20132013 точок є вершинами опуклого многокутника, а інші 20132013 точок лежать усередині цього многокутника. Дозволено пофарбувати кожну точку в один із двох кольорів. Розфарбування буде гарним, якщо деякі пари точок можна сполучити відрізками з дотриманням таких умов: - кожен відрізок сполучає точки однакового кольору; - жодні два проведені відрізки не перетинаються у своїх внутрішніх точках; - для довільної пари точок однакового кольору існує шлях по проведених відрізках від однієї точки до іншої. Зверніть увагу, що сторони опуклого 20132013-кутника не є автоматично проведеними відрізками, хоча деякі з них (або й усі) за потреби можна провести. Доведіть, що загальна кількість гарних розфарбувань не залежить від конкретного розташування точок, і знайдіть цю кількість.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-010

Квадрат 1/(n+1) в частині одиничного квадрата, розрізаного n прямими

Одиничний квадрат розрізано nn прямими на частини. Доведіть, що хоча б в одній із цих частин можна повністю розмістити квадрат зі стороною 1n+1\dfrac{1}{n+1}.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-002

Розташування неб'ючих королів з 25 у рядку і стовпці

На шахівниці розміром 100×100100 \times 100 клітинок розташовано 25002500 королів таким чином, що виконуються дві умови: 1) жодні два королі не б'ють один одного (тобто немає двох королів, що стоять на клітинках хоча б з однією спільною вершиною); 2) кожен рядок та кожен стовпець містить рівно 2525 королів. Знайдіть кількість усіх таких розташувань, якщо два розташування, що утворюються одне з іншого поворотом або симетрією, вважають різними.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-012

Розфарбування сторін і діагоналей n-кутника в k кольорів

Сторони та діагоналі правильного nn-кутника розфарбовано в kk кольорів так, що для кожного кольору aa та кожної пари різних вершин AA і BB многокутника або існує третя вершина CC така, що відрізки ACAC і CBCB пофарбовано в колір aa або сам відрізок ABAB пофарбовано в колір aa, і не існує жодного трикутника з вершинами серед вершин даного nn-кутника, сторони якого пофарбовано в три різні кольори. Доведіть, що k≤2k \le 2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-003

Найбільша кількість триколірних точок з умовою всередині трикутників

Знайдіть найбільше ціле число nn, для якого в площині можна відмітити nn різних точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, і пофарбувати кожну з цих точок в один з трьох кольорів — червоний, зелений або жовтий — так, щоб одночасно: усередині кожного трикутника з трьома червоними вершинами містилася хоча б одна зелена точка; усередині кожного трикутника з трьома зеленими вершинами містилася хоча б одна жовта точка; усередині кожного трикутника з трьома жовтими вершинами містилася хоча б одна червона точка.
10–11 класиОпуклі множини
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-006

Плитки з однією вільною клітинкою в рядках і стовпцях

Клітчаста дошка має розміри 2025×20252025 \times 2025. Настя розкладає на дошці прямокутні плитки, можливо різних розмірів, у такий спосіб, щоб сторони кожної плитки лежали на лініях дошки і кожна комірка 1×11 \times 1 була накрита щонайбільше однією плиткою. Знайдіть найменшу кількість плиток, які має покласти Настя, щоб у кожному рядку і кожному стовпчику непокритою залишилася рівно одна комірка.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.