Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-120

Міцний квадрат n×n з прямокутників m×1

Назвемо квадрат n×nn\times n, який розбито на прямокутники меншого розміру, міцним, якщо не існує прямої, яка розділяє квадрат на дві частини та при цьому не перетинає жодного маленького прямокутника у внутрішніх точках. Так, на рис. 4.1 зображено міцний квадрат 4×44\times4, а на рис. 4.2 — квадрат, який не є міцним. Для довільного заданого натурального mm з'ясуйте, при яких натуральних nn можна розбити квадрат n×nn\times n на прямокутники m×1m\times1 та 1×m1\times m так, щоб цей квадрат був міцним.
11 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-101

Розбиття опуклого і неопуклого семикутника на трикутники

а) Опуклий семикутник хочуть розбити на трикутники, проводячи діагоналі. Доведіть, що при цьому можна отримати 55 або 77 трикутників, але не можна дістати 66 трикутників. б) Доведіть, що існує неопуклий семикутник, який можна розбити внутрішніми діагоналями на 66 трикутників. Примітка. Внутрішньою діагоналлю многокутника називають відрізок, що сполучає дві його несусідні вершини та не виходить за межі многокутника.
8 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-109

Гра з фарбуванням чисел 1, 2, …, n

У рядок виписано числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n. При цьому числа 11 та nn пофарбовані в синій колір, а всі інші — у жовтий. Гравці Олеся та Андрій за чергою фарбують одне з жовтих чисел у синій колір за такими правилами: першим ходом Олеся (вона розпочинає) фарбує в синій колір будь-яке з жовтих чисел (позначимо його літерою kk). Тоді Андрій вибирає той із проміжків чисел (1,2,…,k)(1, 2, \ldots, k) або (k,k+1,…,n)(k, k + 1, \ldots, n), який містить більше жовтих чисел; якщо ці проміжки за кількістю жовтих чисел однакові, то будь-який із двох проміжків. Якщо, наприклад, більшим є проміжок (1,2,…,k)(1, 2, \ldots, k), то другий проміжок у подальшій грі участі не бере. Після цього Андрій фарбує в синій колір будь-яке з жовтих чисел нового проміжку. Тепер новий проміжок також розділився на два менших. Далі Олеся для свого ходу вибирає той із двох нових проміжків, що містить більше жовтих чисел, а другий проміжок залишається вже поза грою, і т. д. Перемагає той із гравців, кому вдасться пофарбувати в синій колір таке число, у якого сусідні числа, ліворуч та праворуч від нього, уже сині. Хто перемагає в разі правильної гри обох гравців?
9 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-111

2n попарно різних чисел з рівними сумою і добутком

Для яких натуральних nn існують 2n2n попарно різних натуральних чисел a1a_1, a2a_2, …, ana_n та b1b_1, b2b_2, …, bnb_n, що задовольняють рівності a1+a2+…+an=b1+b2+…+bna_1 + a_2 + \ldots + a_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n та a1a2…an=b1b2…bna_1 a_2 \ldots a_n = b_1 b_2 \ldots b_n?
9 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-116

Перерахунок очок чемпіонату та найменше число команд

До 1995 року в чемпіонатах України з футболу в усіх лігах за перемогу в матчі команда отримувала 2 очки, за нічию — 1 очко, за поразку очок не нараховували. З 1995 року стали нараховувати за перемогу 3 очки, за нічию та поразку, як і раніше, — 1 та 0 очок відповідно. Федерація футболу вирішила перерахувати результати всіх чемпіонатів, що проводилися в усіх лігах у попередні роки, за новою системою нарахування очок, припускаючи, що принципово розподіл місць не зміниться. Проте виявилося, що в чемпіонаті 1927 року в одній з регіональних ліг nn команд провели першість в одне коло, тобто кожна команда зіграла з кожною іншою один раз. При цьому команда «А» набрала найбільшу кількість очок, а команда «Б» — найменшу кількість очок. Але після перерахунку за новим правилом найбільшу кількість очок набрала команда «Б», а найменшу кількість очок — команда «А». При якому найменшому nn таке могло статися? Примітка. Твердження, що команда набрала найменшу чи найбільшу кількість очок, означає, що таку саму кількість очок не набрала більше жодна інша команда.
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-121

Маршрут через усі вишки в опуклому многокутнику

Територія держави Платон має форму опуклого многокутника, у вершинах якого розташовані прикордонні вишки. Дальнобійнику потрібно проїхати через усі вишки. При цьому за кожний кілометр він сплачує один пуйлик (валюта держави) шахраям з уряду (маршрут не обов'язково має бути замкненим, єдина умова — побувати на кожній вишці; їхати можна в будь-якому напрямі, не виходячи за межі території держави). Периметр території держави становить 30003000 км, а діаметр — 10001000 км. Скільки пуйликів гарантовано має сплатити дальнобійник шахраям? Примітка. Діаметром многокутника називають відстань між двома точками його межі, що знаходяться на найбільшій відстані.
11 класОпуклі множини
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-002

Гра з фішками і перпендикулярними відрізками до центра

На полі розміром 100×100100 \times 100 двоє гравців по черзі пересувають кожен свою фішку на сусідню по стороні клітинку дошки. Перший виграє, якщо після його ходу відрізок, що сполучає центр клітинки його фішки із центром дошки, стане перпендикулярним до відрізка, що сполучає центр клітинки фішки супротивника також із центром дошки. Доведіть, що перший гравець завжди може виграти, якщо на початку гри їхні фішки стоятимуть у протилежних кутах дошки.
8 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-024

Гарні і добрі послідовності від 1 до 1000000

Розглянемо зростаючі послідовності натуральних чисел з елементами від 11 до 1 000 0001\,000\,000. Послідовність називають гарною, якщо її перший елемент дорівнює 11 та кожний наступний елемент принаймні у два рази більший за попередній елемент. Послідовність називають доброю, якщо її останній елемент дорівнює 1 000 0001\,000\,000, а кожний елемент строго більший за суму всіх попередніх елементів. Яких послідовностей більше — гарних чи добрих?
10 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-005

Покриття квадрата n×n прямокутниками 1×4 у кілька шарів

Для яких натуральних nn квадрат розміром n×nn \times n можна покрити прямокутниками розміром 1×41 \times 4, можливо, у декілька шарів? Примітка. Покрити у декілька шарів у даному випадку означає, що кожна комірка 1×11 \times 1 покрита однаковою кількістю прямокутників. Жоден прямокутник не повинен виходити за межі дошки.
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-006

Велосипедисти на круглому треку і передача фляги

На круглому треку одночасно в одному напрямі почали рух з постійними, але попарно різними швидкостями n⩾3n \geqslant 3 велосипедистів. У одного з них є фляга з водою. У момент, коли зустрічаються два велосипедисти, у одного з яких є фляга, відбувається миттєва передача цієї фляги другому велосипедисту. Відомо, що зустріч трьох велосипедистів в одній точці неможлива. а) Чи може так трапитися, що існують два велосипедисти, до яких фляга жодного разу не перейде, як довго б не їздили велосипедисти? б) Чи може так трапитися, що існує один велосипедист, до якого фляга жодного разу не перейде, як довго б не їздили велосипедисти?
8 класКонструкція через періодичність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-019

Квадрат n×n і покриття Z-тетраміно в кілька шарів

Для яких натуральних nn квадрат розміром n×nn \times n можна покрити ZZ-тетраміно (рис. 3.1), можливо, у декілька шарів? Примітка. Покрити в декілька шарів у даному випадку означає, що кожна комірка 1×11 \times 1 покрита однаковою кількістю тетраміно, які можна повертати та перегортати в будь-якому напрямі. Жодна фігурка не повинна виходити за межі дошки.
9 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-031

Покриття квадрата n × n L-тетраміно в шарах

Для яких натуральних nn квадрат n×nn \times n можна покрити LL-тетраміно (рис. 3.2), можливо, у декілька шарів? Примітка. Покрити в декілька шарів у даному випадку означає, що кожна комірка розміром 1×11 \times 1 покрита однаковою кількістю тетраміно, які можна повертати та перегортати в будь-якому напрямі. Жодна фігурка не повинна виходити за межі дошки.
11 класРозрізання, покриття та замощення
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-009

Найменше число після заміни числа сумою множників

На дошці записано натуральне число nn. На кожному кроці можна замість цього числа записати суму двох чисел, добуток яких дорівнює записаному на дошці числу. Визначте найменше число, яке може з’явитися після скінченної кількості кроків.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-022

Обернення рівних частин намиста з pⁿ намистинок

Намисто складається з pnp^n намистинок, де pp — просте число, а n>2n > 2 — натуральне. За один хід дозволено розділити намисто на декілька рівних за кількістю намистинок частин, у кожному з яких порядок намистинок змінюється на протилежний, після чого частини з’єднують у початковому порядку в суцільні буси. Чи будь-який порядок послідовності намистинок можна одержати таким чином після скінченної кількості ходів?
9 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-034

Місто 7×7, дороги між будинками та відстань 14

Місто має форму квадрата розміром 7×77 \times 7, що розбитий на квадратики 1×11 \times 1. У кожній вершині квадратиків 1×11 \times 1 розташовані будинки (усього 6464). Сполучити дорогами можна лише будинки, що знаходяться на відстані 11. Скільки щонайменше доріг довжини 11 треба побудувати між домівками, щоб з кожного дому можна було потрапити в кожен інший, проїхавши дорогами відстань не більшу за 1414?
11 класДерева
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-015

Множина чисел від m до M з добутком-квадратом

Дано натуральне число mm, що має простий дільник pp, p>2m+1p > \sqrt{2m}+1. Знайдіть найменше натуральне число MM таке, що існує скінченна множина TT з різних натуральних чисел, які задовольняють умови: 1) mm є найменшим числом, а MM є найбільшим числом із множини TT; 2) добуток усіх чисел із множини TT є точним квадратом цілого числа.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-001

Два автомобілі на відстані 200 км та час

Два автомобілі рухаються однією дорогою на відстані 200200 км один від одного: перший — зі швидкістю 6060 км/год, другий — зі швидкістю 4040 км/год. Через який час відстань між ними може знову дорівнювати 200200 км? Укажіть усі можливі відповіді.
6 класРозбиття на випадки
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-002

Найбільша кількість прямокутників 1×5 у квадраті 13×13

Яку найбільшу кількість прямокутників розміром 1×51 \times 5 можна вирізати з квадрата розміром 13×1313 \times 13?
6 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-004

Гарантована група спортсменів з різними зростом і вагою

Є 1010 спортсменів різного зросту, а також інші 1010 спортсменів різної ваги. Яку найбільшу за кількістю групу спортсменів можна гарантовано вибрати із цих 2020 спортсменів таким чином, щоб у цій групі всі спортсмени мали водночас різну вагу та різний зріст?
6 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-008

Гра з гирями 1-9 г на перевищення 25 г

У наявності є дев’ять гир вагою 11 г, 22 г, …\ldots, 99 г. Андрій та Олеся по черзі беруть гирі та кладуть їх на ваги зі стрілкою, не знімаючи попередні. Якщо після чергової гирі стрілка покаже вагу більше 2525 г, то той, хто поклав цю гирю, програв. Хто може перемогти в цій грі, якщо перший хід робить Андрій?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-012

Дев’ять точок у ромбі зі стороною 6

Дано ромб, у якого сторона та одна з діагоналей дорівнюють 66 см. Усередині або на межі цього ромба вибирають довільним чином дев’ять точок. Доведіть, що принаймні дві з них знаходяться на відстані, не більшій від 33 см.
8 класПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-013

Найбільший дільник добутку попарних різниць чотирьох чисел

Нехай aa, bb, cc, dd — натуральні числа. На яке найбільше натуральне число обов’язково ділиться націло вираз (a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d)?(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d)?
8 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-017

Лампи 3×3 і найменша кількість натискань

Лампи розташовані у вигляді квадрата розміром 3×33 \times 3 (рис. 1.2). Лампи можуть бути у стані «горить» чи «не горить». Є дев’ять перемикачів, які відповідають кожній лампі. При цьому в разі натискання відповідного перемикача змінюють свій стан на протилежний («горить» на «не горить» та навпаки) усі лампи, що розташовані в одному рядку та одному стовпчику з відповідною лампою. Спочатку всі лампи «не горять». Яку найменшу кількість натискань перемикачів треба зробити, щоб усі лампи перейшли в стан «горить»?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-029

Хто перемагає у грі з трьома купками камінців

Є три купки камінців, у першій з них aa, у другій — bb і в третій — cc камінців, при цьому a⩾b⩾c>0a \geqslant b \geqslant c > 0. Андрій та Олеся грають у таку гру. Гравець, який має зробити хід, вибирає дві довільні купки та перекладає принаймні один камінець з меншої за кількістю камінців купки до більшої (якщо в купках однакова кількість камінців, то можна перекладати з будь-якої). Перемагає той, після ходу якого залишаться дві порожні купки. Перший хід робить Андрій. При яких початкових значеннях aa, bb, cc у цій грі перемагає Андрій, а при яких — Олеся?
11 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-032

Барвисті роки та ланцюжки з семи років поспіль

Назвемо номер року барвистим, якщо в його десятковому записі жодна цифра не повторюється. Наприклад, роки з 20132013-го по 20192019-й — барвисті, а 20202020-й — ні. а) Знайдіть, коли наступного разу утвориться ланцюжок із семи барвистих років поспіль. б) Чи може в майбутньому з’явитися такий ланцюжок, що містить більше семи барвистих років?
7 класРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.