Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-026

Подання 2ⁿ у вигляді 7x²+y²

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число, доведіть, що існують цілі числа xx і yy такі, що 7x2+y2=2n7 x^{2} + y^{2} = 2^{n}.
9–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-025

Сума підмножини, що ділиться на 1024

Доведіть, що серед 20482048 цілих чисел завжди можна знайти 10241024 таких, сума яких ділиться на 10241024.
9–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-086

Порядок перестановки свічеру

Мішель має слово з 2n2^{n} літер, яке може складатися з літер будь-якого алфавіту. Мішель виконує зі словом свічеру так: для кожного k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n-1 вона міняє місцями перші 2k2^{k} літер слова з наступними 2k2^{k} літерами слова. Наприклад, при n=3n = 3 Мішель за одне свічеру перетворює A B C D E F G H→B A C D E F G H→C D B A E F G H→E F G H C D B AA\ B\ C\ D\ E\ F\ G\ H \rightarrow B\ A\ C\ D\ E\ F\ G\ H \rightarrow C\ D\ B\ A\ E\ F\ G\ H \rightarrow E\ F\ G\ H\ C\ D\ B\ A Виразивши через nn, знайдіть найменше натуральне число mm таке, що після mm-кратного виконання Мішель операції свічеру над довільним словом довжини 2n2^{n} вона отримає початкове слово.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-133

Оптимальне переслідування на решітці

Сара стоїть у точці (0,0)(0,0), а Рейчел — у точці (6,8)(6,8) на евклідовій площині. Сара може рухатися лише на 1 одиницю в додатному напрямку xx чи yy, а Рейчел може рухатися лише на 1 одиницю у від'ємному напрямку xx чи yy. Щосекунди Сара й Рейчел бачать одна одну, незалежно й одночасно обирають напрямок руху та переходять у нове положення. Сара ловить Рейчел, якщо Сара й Рейчел коли-небудь опиняться в одній точці. Рейчел перемагає, якщо їй вдасться дістатися до (0,0)(0,0), не будучи спійманою; інакше перемагає Сара. Якщо обидві грають оптимально, максимізуючи власну ймовірність перемоги, то яка ймовірність того, що переможе Рейчел?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-045

Оптимальний вибір за повної інформації

Ви — перший щасливий гравець у дещо зміненому випуску шоу Deal or No Deal! Спочатку є шістнадцять кейсів під номерами 11 – 1616. Суми грошей у кейсах — це степені 22 від 21=22^{1} = 2 до 216=655362^{16} = 65536 у випадковому порядку. Гра триває вісім ходів. У кожному ході ви обираєте кейс і забираєте його собі, не відкриваючи його. Після цього один випадковий кейс із решти відкривають, показують вам, а потім вилучають з гри. Наприкінці гри всі вісім ваших кейсів відкривають, і ви виграєте всі гроші, що лежать у них. Проте ведучі не здогадуються, що у вас рентгенівський зір і ви бачите суму грошей у кожному кейсі! Яке математичне сподівання суми, яку ви виграєте, якщо гратимете оптимально?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові тести на IMOTST-2018-012

Різниці послідовності з квадратичними сумами

Нехай n≥0n \geq 0 — ціле число. Послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots цілих чисел визначається так: a0=na_{0}=n, а для k≥1k \geq 1 число aka_{k} є найменшим цілим числом, більшим за ak−1a_{k-1}, для якого ak+ak−1a_{k}+a_{k-1} є квадратом цілого числа. Доведіть, що існує рівно ⌊2n⌋\lfloor\sqrt{2 n}\rfloor додатних цілих чисел, які не можна записати у вигляді ak−aℓa_{k}-a_{\ell}, де k>ℓ≥0k>\ell \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-018

Розбиття чисел до квадрата з відношенням сум

Нехай nn — парне натуральне число. Розіб'ємо числа 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} на дві множини AA і BB однакового розміру так, щоб кожне з n2n^{2} чисел належало рівно одній з цих двох множин. Нехай SAS_{A} і SBS_{B} — суми всіх елементів у множинах AA і BB відповідно. Визначте всі nn, для яких існує таке розбиття, що SASB=3964\frac{S_{A}}{S_{B}}=\frac{39}{64}
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-042

Послідовність фібоначчієвого типу з рекурентною сумою

Послідовність додатних дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задовольняє an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} для всіх n≥3n \ge 3. Послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots задано рівностями b1=a1b_1 = a_1, bn=an+(b1+b2+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}) для парних n>1n > 1, bn=an+(b2+b4+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_2 + b_4 + \dots + b_{n-1}) для непарних n>1n > 1. Доведіть, що якщо n≥3n \ge 3, то 13<bnn⋅an<1\frac{1}{3} < \frac{b_n}{n \cdot a_n} < 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-035

Червоне розфарбування та парність кортежів

Нехай S={1,…,100}S = \{1, \dots, 100\}, і для кожного натурального числа nn визначимо Tn={(a1,…,an)∈Sn∣a1+⋯+an≡0(mod100)}.T_n = \{(a_1, \dots, a_n) \in S^n \mid a_1 + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{100}\}. Визначте, для яких nn виконується така властивість: якщо пофарбувати будь-які 75 елементів множини SS у червоний колір, то принаймні половина nn-елементних кортежів із TnT_n має парну кількість координат із червоними елементами.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2018-029

Квадратні значення добутку дільників у грі

Давид і Лінус грають у таку гру: Давид вибирає підмножину QQ множини {1,…,2018}\{1, \ldots, 2018\}. Потім Лінус вибирає натуральне число a1a_{1} і обчислює числа a2,…,a2018a_{2}, \ldots, a_{2018} рекурсивно, причому an+1a_{n+1} — це добуток додатних дільників числа ana_{n}. Нехай PP — множина натуральних чисел k∈{1,…,2018}k \in\{1, \ldots, 2018\}, для яких aka_{k} є квадратом. Лінус виграє, якщо P=QP=Q. Інакше виграє Давид. Хто має виграшну стратегію?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-009

Рекурентна послідовність, що перевищує квадрат

Нехай a1=1a_1 = 1, а для кожного n>1n > 1 нехай an=n⋅a⌊n2⌋a_n = n \cdot a_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}. Доведіть, що для кожного n≥12n \ge 12 виконується an>n2a_n > n^2.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-041

Задача Йосифа Флавія з кроком 2

У віддаленій Тортурії візир розставляє по колу nn засуджених, пронумерованих по порядку від 1 до nn. Невблаганно він відправляє до ката кожного другого засудженого: засуджених 2,4,…2,4, \ldots і так далі, рухаючись по колу та пропускаючи одну людину між двома стратами, доки не залишиться лише один. Обчисліть залежно від nn номер останнього засудженого, що залишився.
9–11 класиМетод математичної індукції
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-058

Нерівність для сум через добутки впорядкованих чисел

a) Нехай x1⩾x2>0x_{1} \geqslant x_{2}>0 і y1⩾y2>0y_{1} \geqslant y_{2}>0 — дійсні числа такі, що x1⩾y1 і x1x2⩾y1y2x_{1} \geqslant y_{1} \text{ і } x_{1} x_{2} \geqslant y_{1} y_{2} Доведіть, що x1+x2⩾y1+y2x_{1}+x_{2} \geqslant y_{1}+y_{2} b) Нехай x1⩾x2⩾…⩾xn>0x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant \ldots \geqslant x_{n}>0 і y1⩾y2⩾…⩾yn>0y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \ldots \geqslant y_{n}>0 — дійсні числа такі, що x1x2⋯xi⩾y1y2⋯yi для i=1,…,nx_{1} x_{2} \cdots x_{i} \geqslant y_{1} y_{2} \cdots y_{i} \text{ для } i=1, \ldots, n Доведіть, що x1+x2+⋯+xn⩾y1+y2+⋯+ynx_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geqslant y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}
9–11 класиІнші класичні нерівності2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-065

Випадкове блукання з відбивною межею

Емілі починає з порожнього відра. Щосекунди вона або кладе камінець у відро, або виймає камінець з відра, причому кожна з дій відбувається з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Якщо вона збирається вийняти камінець з відра, а відро в цей момент порожнє, то вона просто нічого не робить протягом цієї секунди (все одно з ймовірністю 12\frac{1}{2}). Яка ймовірність того, що після 2017 секунд у її відрі буде рівно 1337 камінців?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-025

Послідовність зі співвідношенням суми кубів і квадрата суми

Послідовність натуральних чисел a1,a2,…,a2017a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2017} має властивість, що для всіх цілих mm, для яких 1≤m≤20171 \leq m \leq 2017, виконується 3(∑i=1mai)2=∑i=1mai33\left(\sum_{i=1}^{m} a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}^{3}. Обчисліть a1337a_{1337}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2017-007

Складання стосів дисків з умовою видимості

Нехай nn — натуральне число. Дано круглі диски з радіусами 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Кожного розміру маємо два диски: один прозорий і один непрозорий. У кожному диску є отвір точно посередині, за допомогою якого ми можемо нанизувати диски на вертикальний стрижень. Ми хочемо тепер складати стоси, які задовольняють такі умови: - З кожного розміру в стосі лежить рівно один диск. - Якщо дивитися строго зверху, ми бачимо зовнішні краї всіх nn дисків у стосі. (Тобто якщо в стосі лежить непрозорий диск, то під ним не можуть лежати менші диски.) Визначте кількість різних стосів, які ми можемо скласти за цих умов. (Два стоси різні, якщо вони використовують не точно ту саму множину дисків, а також якщо вони використовують точно ту саму множину дисків, але не в тому самому порядку.)
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2017-016

Функціональне рівняння з простими числами

Задано функцію f:Z>0→Zf: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}, яка задовольняє властивості: (i) f(p)=1f(p)=1 для всіх простих чисел pp, (ii) f(xy)=yf(x)+xf(y)f(x y)=y f(x)+x f(y) для всіх x,y∈Z>0x, y \in \mathbb{Z}_{>0}. Знайдіть найменше n≥2016n \geq 2016, для якого f(n)=nf(n)=n.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-010

Нерівність із коренями з факторіалів

Доведіть, що для довільного цілого n≥2n \geq 2 маємо: ∑k=2n1(2k)!k≥n−12n+2\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt[k]{(2 k)!}} \geq \frac{n-1}{2 n+2} Зауваження. Якщо a>0a>0, то через ak\sqrt[k]{a} позначаємо єдине дійсне число b>0b>0 таке, що bk=ab^{k}=a.
9–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-005

Суми степенів не містять довгих арифметичних прогресій

Нехай S={a1,…,an}S=\{a_{1}, \ldots, a_{n}\} — скінченна множина натуральних чисел розміру n≥1n \geq 1, а TT — множина всіх натуральних чисел, які можна подати як суми досконалих степенів (включно з 11) різних чисел із SS, тобто T={∑i=1naiei∣e1,e2,…,en≥0}T=\left\{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{e_{i}} \mid e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n} \geq 0\right\} Доведіть, що існує натуральне число NN (яке залежить лише від nn), таке, що TT не містить жодної арифметичної прогресії довжини NN.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2016-024

Прості дільники степеня сімки плюс один

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що 77n+17^{7^{n}}+1 має принаймні 2n+32 n+3 не обов’язково різних простих дільників.
10–11 класиМетод математичної індукції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-001

Добуток f(n)f(f(n)) між (n-1)² і n² + n

Нехай N={1,2,3,… }\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції ff, визначені на N\mathbb{N} зі значеннями в N\mathbb{N}, такі, що (n−1)2<f(n)f(f(n))<n2+n(n - 1)^2 < f(n)f(f(n)) < n^2 + n для кожного натурального числа nn.
10–11 класиМетод математичної індукції
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-015

Експоненційне зростання чисел Фібоначчі

Винахідник показав королю нову захопливу настільну гру на клітинній дошці 9×109 \times 10. Король пообіцяв винагородити його одним рисовим зерном за першу клітинку, одним рисовим зерном за другу клітинку, а за кожну наступну клітинку — такою кількістю зерен, як за дві попередні клітинки разом. Доведіть, що за останню клітинку винахідник отримає щонайменше 201542015^4 зерен.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-018

Послідовність з умовою на локальні максимуми

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число і a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — дійсні числа. a. Припустимо, що ai<max⁡(ai−1,ai+1)a_{i}<\max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. Доведіть, що ai<max⁡(a1,an)a_{i}<\max \left(a_{1}, a_{n}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. b. Припустимо, що ai⩽max⁡(ai−1,ai+1)a_{i} \leqslant \max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. Чи правда, що ai⩽max⁡(a1,an)a_{i} \leqslant \max \left(a_{1}, a_{n}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}? Зауваження. Якщо xx і yy — два дійсні числа, то через max⁡(x,y)\max (x, y) позначають більше з цих двох чисел.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-026

Розливання пляшок у відра не більше ніж по літру

Нехай n⩾1n \geqslant 1. Маємо скінченну кількість пляшок, кожна з яких містить кількість води, меншу від 1 літра, причому загальна кількість води становить n2\frac{n}{2} літрів. Маємо також nn порожніх відер. Доведіть, що можна вилити кожну пляшку у відро (можна виливати кілька пляшок в одне й те саме відро, але не можна виливати одну пляшку частково в одне відро, а частково в інше) так, щоб у кожному відрі було не більше 1 літра води.
9–11 класиМетод математичної індукції
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-040

Розбиття чисел без суми-степеня двійки

Позначимо через SS множину цілих чисел від 11 до 20162016. Скільки існує способів розбити SS на дві підмножини AA і BB так, щоб ні AA, ні BB не містили двох цілих чисел, сума яких є степенем 22?
9–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.