Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

782 задачі
ГеометріяПлощі
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-004

Сума виразів з мінімумом і параметром

Нехай nn — натуральне число. Для будь-якого натурального числа jj і додатного дійсного числа rr визначимо fj(r)f_j(r) і gj(r)g_j(r) як fj(r)=min⁡(jr,n)+min⁡(jr,n),іgj(r)=min⁡(⌈jr⌉,n)+min⁡(⌈jr⌉,n),f_j(r) = \min(jr, n) + \min\left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text{і} \quad g_j(r) = \min(\lceil jr \rceil, n) + \min\left(\left\lceil \frac{j}{r} \right\rceil, n\right), де ⌈x⌉\lceil x \rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx. Доведіть, що ∑j=1nfj(r)≤n2+n≤∑j=1ngj(r)\sum_{j=1}^{n} f_j(r) \le n^2 + n \le \sum_{j=1}^{n} g_j(r) для всіх додатних дійсних чисел rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-123

Найменше k трикутника 6, 8, 10 над віссю x

Трикутник Джарріс грається на площині (x,y)(x, y). Нехай його найбільша координата yy дорівнює kk. Відомо, що довжини його сторін дорівнюють 66, 88 і 1010 і що жодна його частина не лежить нижче осі xx, знайдіть найменше можливе значення kk.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-075

Площа, заметена поворотом відрізків

Нехай точки AA, BB, CC на площині мають координати (0,0)(0,0), (0,1)(0,1) і (1,1)(1,1) відповідно. Нехай SS — об’єднання двох відрізків ABAB та BCBC. Нехай X1X_{1} — площа, заметена при повороті фігури SS проти годинникової стрілки на 4545 градусів навколо точки AA, який виконує Боббі. Нехай X2X_{2} — площа, заметена при повороті фігури SS за годинниковою стрілкою на 4545 градусів навколо точки AA, який виконує Келвін. Знайдіть X1+X22\frac{X_{1}+X_{2}}{2}.
10–11 класиПлоща кола і його частин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-125

Шестикутник з паралельними діагоналями та відношеннями площ

Нехай A1A2A3A4A5A6A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} — опуклий шестикутник такий, що AiAi+2∥Ai+3Ai+5A_{i} A_{i+2} \parallel A_{i+3} A_{i+5} для i=1,2,3i=1,2,3 (вважаємо Ai+6=AiA_{i+6}=A_{i} для кожного ii). Відрізок AiAi+2A_{i} A_{i+2} перетинає відрізок Ai+1Ai+3A_{i+1} A_{i+3} у точці BiB_{i} при 1≤i≤61 \leq i \leq 6, як показано. Крім того, припустимо, що △A1A3A5≅△A4A6A2\triangle A_{1} A_{3} A_{5} \cong \triangle A_{4} A_{6} A_{2}. Відомо, що [A1B5B6]=1[A_{1} B_{5} B_{6}]=1, [A2B6B1]=4[A_{2} B_{6} B_{1}]=4 і [A3B1B2]=9[A_{3} B_{1} B_{2}]=9 (через [XYZ][X Y Z] ми позначаємо площу △XYZ\triangle X Y Z), знайдіть площу шестикутника B1B2B3B4B5B6B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} B_{6}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-106

Рухомий трикутник з мінімальною площею

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AB=5AB = 5, BC=4BC = 4 і CA=3CA = 3. Спочатку в кожній вершині є по мурасі. Мурахи починають рухатися зі швидкістю 11 одиниця за секунду в напрямку A→B→C→AA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A (тобто мураха, що стартує з AA, рухається вздовж променя AB→\overrightarrow{AB} тощо). Для додатного дійсного числа tt меншого за 33 нехай A(t)A(t) — площа трикутника, вершинами якого є положення мурах через tt секунд після початку руху. Для якого додатного дійсного числа tt меншого за 33 площа A(t)A(t) є найменшою?
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-005

Нерівність опуклості для площі многокутника

а. Нехай XX — скінченна множина точок на площині, а fX(n)f_{X}(n) — найбільша можлива площа многокутника з не більше ніж nn вершинами, усі з яких є точками множини XX. Доведіть, що якщо m,nm, n — цілі числа, для яких m≥n>2m \geq n > 2, то fX(m)+fX(n)≥fX(m+1)+fX(n−1)f_{X}(m) + f_{X}(n) \geq f_{X}(m+1) + f_{X}(n-1). б. Нехай P0P_{0} — прямокутник 1 на 2 (разом із внутрішністю), а многокутник PiP_{i} індуктивно означається як результат згинання Pi−1P_{i-1} по деякій прямій, що розрізає Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини. Діаметром многокутника PiP_{i} називається найбільша відстань між двома точками PiP_{i}. Знайдіть найменший можливий діаметр многокутника P2013P_{2013}. (Іншими словами, для даного многокутника Pi−1P_{i-1} згин Pi−1P_{i-1} складається з прямої ll, яка ділить Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини AA і BB, а згорнутий многокутник має вигляд Pi=A∪BlP_{i} = A \cup B_{l}, де BlB_{l} — образ BB при симетрії відносно прямої ll.)
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-016

Площа області з обмеженням через цілу частину

Нехай RR — область у декартовій площині точок (x,y)(x, y), які задовольняють x≥0x \geq 0, y≥0y \geq 0 і x+y+⌊x⌋+⌊y⌋≤5x+y+\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq 5. Знайдіть площу області RR.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-017

Прямокутний трикутник із заданими площею та гіпотенузою

Прямокутний трикутник має площу 55 і гіпотенузу завдовжки 55. Знайдіть його периметр.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-082

Трикутник із заданими сторонами і кутами

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка на BCBC така, що AB=2AB = \sqrt{2}, AC=3AC = \sqrt{3}, ∠BAD=30∘\angle BAD = 30^{\circ} та ∠CAD=45∘\angle CAD = 45^{\circ}. Знайдіть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-024

Ітеративне розширення трикутника й межа площі

Весью — фермерка, і вона будує пасовище для цао (родича корови). Вона починає з трикутника A0A1A2A_{0} A_{1} A_{2}, у якому кут A0A_{0} становить 90∘90^{\circ}, кут A1A_{1} становить 60∘60^{\circ}, а A0A1A_{0} A_{1} дорівнює 11. Далі вона розширює пасовище. Спочатку вона продовжує A2A0A_{2} A_{0} до A3A_{3} так, щоб A3A0=12A2A0A_{3} A_{0} = \frac{1}{2} A_{2} A_{0}, і новим пасовищем стає трикутник A1A2A3A_{1} A_{2} A_{3}. Потім вона продовжує A3A1A_{3} A_{1} до A4A_{4} так, щоб A4A1=16A3A1A_{4} A_{1} = \frac{1}{6} A_{3} A_{1}. Вона продовжує далі, щоразу продовжуючи AnAn−2A_{n} A_{n-2} до An+1A_{n+1} так, щоб An+1An−2=12n−2AnAn−2A_{n+1} A_{n-2} = \frac{1}{2^{n} - 2} A_{n} A_{n-2}. Яке найменше KK таке, що її пасовище ніколи не перевищить площу KK?
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-046

Площа різниці об'єднання чотирьох кругів і круга O

Нехай AA, BB, CC та DD — чотири круги радіуса r>0r>0 з центрами в точках (0,r)(0, r), (r,0)(r, 0), (0,−r)(0,-r) і (−r,0)(-r, 0) на площині. Нехай OO — круг із центром у точці (0,0)(0,0) радіуса 2r2 r. Залежно від rr, чому дорівнює площа об'єднання кругів AA, BB, CC і DD мінус площа тієї частини круга OO, яка не міститься в об'єднанні AA, BB, CC і DD? (Об'єднання двох або більше областей на площині — це множина точок, що лежать хоча б в одній із цих областей.)
10–11 класиПлоща кола і його частин2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-049

Площа трикутника з конкурентними чевіанами

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому AB=8AB = 8, AD=11AD = 11 та ∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}. Нехай XX лежить на відрізку CDCD так, що CX/XD=1/3CX / XD = 1 / 3, а YY — на відрізку ADAD так, що AY/YD=1/2AY / YD = 1 / 2. Нехай ZZ лежить на відрізку ABAB так, що AXAX, BYBY і DZDZ перетинаються в одній точці. Знайдіть площу трикутника XYZXYZ.
10–11 класиТеорема Чеви
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-052

Геометричне місце з рівними сумами відстаней у трикутнику

Нехай pp — точка, а ll — відрізок, і нехай d(p,l)d(p, l) — відстань між ними. Нехай AA, BB і CC — точки на площині такі, що AB=6AB = 6, BC=8BC = 8, AC=10AC = 10. Чому дорівнює площа області в (x,y)(x, y)-площині, утвореної впорядкованими парами (x,y)(x, y) такими, що існує точка PP всередині трикутника ABCABC, для якої d(P,AB)+x=d(P,BC)+y=d(P,AC)d(P, AB) + x = d(P, BC) + y = d(P, AC)?
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-060

Рівносторонні трикутники, що заповнюють прямокутний трикутник

Нехай △XYZ\triangle X Y Z — прямокутний трикутник з ∠XYZ=90∘\angle X Y Z=90^{\circ}. Припустимо, існує нескінченна послідовність рівносторонніх трикутників X0Y0T0,X1Y1T1,…X_{0} Y_{0} T_{0}, X_{1} Y_{1} T_{1}, \ldots така, що X0=XX_{0}=X, Y0=YY_{0}=Y, XiX_{i} лежить на відрізку XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, YiY_{i} лежить на відрізку YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, XiYiX_{i} Y_{i} перпендикулярний до YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, TiT_{i} і YY розділені прямою XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, а XiX_{i} лежить на відрізку Yi−1Ti−1Y_{i-1} T_{i-1} при i≥1i \geq 1. Нехай P\mathcal{P} — об'єднання цих рівносторонніх трикутників. Якщо площа фігури P\mathcal{P} дорівнює площі трикутника XYZX Y Z, знайдіть XYYZ\frac{X Y}{Y Z}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-069

Площа потрійного перетину трикутників

На кожній стороні прямокутника 66 на 88 побудовано рівносторонній трикутник, для якого ця сторона є однією зі сторін, так, що внутрішність трикутника перетинається з внутрішністю прямокутника. Яка сумарна площа всіх областей, що містяться рівно в 33 із 44 рівносторонніх трикутників?
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Відбіркові тести на IMOTST-2013-006

Трапеція з трикутниками рівної площі

У трапеції ABCDA B C D виконується AB∥CDA B \| C D. Нехай MM — середина діагоналі ACA C. Припустимо, що трикутники ABMA B M і ACDA C D мають однакову площу. Доведіть, що DM∥BCD M \| B C.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2013-018

Трикутники з рівними площами та взаємно простими сторонами

Два нерівні трикутники ABCABC і XYZXYZ називають парою приятелів, якщо вони задовольняють такі умови: (a) ці два трикутники мають однакову площу; (b) нехай MM і WW — середини сторін BCBC і YZYZ відповідно. Набори довжин {AB,AM,AC}\{AB, AM, AC\} і {XY,XW,XZ}\{XY, XW, XZ\} є однаковими триелементними множинами попарно взаємно простих цілих чисел. Визначте, чи існує нескінченно багато пар трикутників, які є приятелями один одного.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-019

Пари трикутників з рівними площами та однаковими наборами довжин

Два нерівні трикутники ABCABC і XYZXYZ називають парою приятелів, якщо вони задовольняють такі умови: (a) трикутники мають однакову площу; (b) нехай MM і WW — середини сторін BCBC і YZYZ відповідно. Множини довжин {AB,AM,AC}\{AB, AM, AC\} і {XY,XW,XZ}\{XY, XW, XZ\} є однаковими триелементними множинами попарно взаємно простих цілих чисел. Визначте, чи існує нескінченно багато пар трикутників, які є приятелями один одного.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-009

Відношення площ при трисекції кута квадрата

Нехай ABCDABCD — квадрат, всередині якого проведено два відрізки, що ділять кут при AA на три рівні кути, а квадрат — на два рівні трикутники й чотирикутник. Чому дорівнює відношення площі чотирикутника до площі одного з двох трикутників? (A) 3−13\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}} (B) 23−12 \sqrt{3}-1 (C) 32\frac{3}{2} (D) 2 (E) 23−22 \sqrt{3}-2
9–11 класиПлоща трикутника
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-012

Найбільша площа чотирикутника із заданими сторонами

Маємо чотирикутник, сторони якого, у порядку обходу, дорівнюють 1,7,5,51, 7, 5, 5. Чому дорівнює найбільше можливе значення його площі? (A) 12 (B) 666 \sqrt{6} (C) 16 (D) 20 (E) Такого чотирикутника не існує.
9–11 класиПлоща чотирикутника
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-005

П'ятикутник, утворений перетином хорд

На колі радіуса 11 в указаному порядку розміщено точки A1A_1, A2A_2, A3A_3, A4A_4, A5A_5, які задовольняють умову ∠A5A2A4=∠A1A3A5=∠A2A4A1=∠A3A5A2=30∘.\angle A_5A_2A_4 = \angle A_1A_3A_5 = \angle A_2A_4A_1 = \angle A_3A_5A_2 = 30^{\circ}. Нехай B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5 — точки перетину відрізків A2A4A_2A_4 і A3A5A_3A_5, A3A5A_3A_5 і A4A1A_4A_1, A4A1A_4A_1 і A5A2A_5A_2, A5A2A_5A_2 і A1A3A_1A_3, A1A3A_1A_3 і A2A4A_2A_4 відповідно. Знайдіть площу п'ятикутника B1B2B3B4B5B_1B_2B_3B_4B_5.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-003

Геометрія згинання і розрізання паперу

Прямокутний аркуш паперу має основу 20 см20~\text{см} і висоту 10 см10~\text{см}. Цей аркуш згинають по пунктирних лініях, як показано на рисунку нижче, а наприкінці розрізають ножицями по вказаній лінії, яка паралельна основі й проходить на половині висоти трикутника. а) Після розрізання у вказаному місці на скільки частин поділився аркуш? б) Яка площа найбільшої частини?
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-093

DE за подвоєної площі AEDB з AB = 2

ABCABC — рівнобедрений трикутник з AB=2AB = 2 і ∡ABC=90∘\measuredangle ABC = 90^{\circ}. DD — середина сторони BCBC, а EE лежить на стороні ACAC так, що площа чотирикутника AEDBAEDB удвічі більша за площу трикутника ECDECD. Знайдіть довжину DEDE.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-038

Коло, що перетинає сторони прямокутника

ABCDABCD — прямокутник, у якому AB=20AB = 20 і BC=3BC = 3. Коло радіуса 55 з центром у середині сторони DCDC перетинає прямокутник у чотирьох точках: WW, XX, YY і ZZ. Знайдіть площу чотирикутника WXYZWXYZ.
10–11 класиПлоща чотирикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-005

Ймовірність для відношення випадкових величин

Пан Канада вибирає додатне дійсне число aa рівномірно випадково з проміжку (0,1](0,1], вибирає додатне дійсне число bb рівномірно випадково з проміжку (0,1](0,1], а потім покладає c=a/(a+b)c = a / (a + b). Яка ймовірність того, що cc лежить між 1/41/4 та 3/43/4?
10–11 класиРозбиття і перекидання площ

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.