Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

849 задач
ГеометріяПодібність (без кіл та площ)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-058

Сума відстаней до BC у трикутнику 13, 14, 15

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB=13, BC=14BC=14 і CA=15CA=15. Виберемо точки QQ і RR на сторонах ACAC та ABAB так, щоб ∠CBQ=∠BCR=90∘\angle CBQ=\angle BCR=90^{\circ}. Існують дві точки P1≠P2P_{1} \neq P_{2} у площині ABCABC такі, що △P1QR\triangle P_{1}QR, △P2QR\triangle P_{2}QR і △ABC\triangle ABC подібні (з відповідним порядком вершин). Обчисліть суму відстаней від P1P_{1} до прямої BCBC і від P2P_{2} до прямої BCBC.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-067

Рівні кути з внутрішньої точки

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCABC. Нехай прямі APAP, BPBP і CPCP перетинають сторони BCBC, CACA і ABAB у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай ∠APB=∠BPC=∠CPA\angle APB = \angle BPC = \angle CPA, PD=14PD = \frac{1}{4}, PE=15PE = \frac{1}{5} і PF=17PF = \frac{1}{7}. Обчисліть AP+BP+CPAP + BP + CP.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-015

Рівнобедрений трикутник з двома висотами

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник, у якому AB=ACAB = AC. Висота, проведена з AA, дорівнює 1515, а висота, проведена з BB, дорівнює 2424. Чому дорівнює площа трикутника ABCABC? (A) 180180 (B) 300300 (C) 2402240 \sqrt{2} (D) 2003200 \sqrt{3} (E) 320320
10–11 класиОзнаки подібності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-003

Чотирикутник з перпендикулярними прямими

Є опуклий чотирикутник ABCDABCD і точка PP всередині нього такі, що прямі APAP і ADAD перпендикулярні, а прямі BPBP і CDCD перпендикулярні. Якщо AB=7AB = 7, AP=3AP = 3, BP=6BP = 6, AD=5AD = 5, CD=10CD = 10, знайдіть площу трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворот
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-005

Рівнобедрений прямокутний трикутник із вписаним прямокутним трикутником

У рівнобедреному прямокутному трикутнику ABCABC з ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ та AB=AC=7AB = AC = 7 нехай DD, EE та FF — точки на сторонах BCBC, CACA та ABAB відповідно. Відомо, що ∠EDF=90∘\angle EDF = 90^\circ, DE=5DE = 5, DF=3DF = 3. Знайдіть довжину BDBD.
10–11 класиОзнаки подібності
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-008

Рівнобедрений трикутник з вписаними квадратами

У рівнобедрений трикутник вписано квадрат зі стороною 33, причому одна сторона квадрата лежить на основі трикутника. Квадрат зі стороною 22 має дві вершини на іншому квадраті, а дві інші — на сторонах трикутника, як показано на рисунку. Чому дорівнює площа трикутника? (A) 191419\frac{1}{4} (B) 201420\frac{1}{4} (C) 213421\frac{3}{4} (D) 221222\frac{1}{2} (E) 233423\frac{3}{4}
8–10 класиВідношення відрізків в подібних т…
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-010

Площа квадрата з перпендикулярними відрізками

У квадраті ABCDABCD точки PP і QQ лежать на сторонах AD‾\overline{AD} та AB‾\overline{AB} відповідно. Відрізки BP‾\overline{BP} і CQ‾\overline{CQ} перетинаються під прямим кутом у точці RR, причому BR=6BR = 6 і PR=7PR = 7. Чому дорівнює площа квадрата? (A) 85 (B) 93 (C) 100 (D) 117 (E) 125
8–10 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-027

Рівні кулі, що дотикаються всередині конуса

Усередині прямого кругового конуса, радіус основи якого 55, а висота 1212, розміщено три рівні кулі, кожна радіуса rr. Кожна куля дотикається двох інших куль, а також основи й бічної поверхні конуса. Чому дорівнює rr? (A) 32\frac{3}{2} (B) 90−40311\frac{90 - 40\sqrt{3}}{11} (C) 22 (D) 144−25344\frac{144 - 25\sqrt{3}}{44} (E) 52\frac{5}{2}
8–10 класиОсновна властивість бісектриси
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-020

Вписані в квадрат прямокутники

Прямокутник зі сторонами 11 і 33, квадрат зі стороною 11 і прямокутник RR вписані в більший квадрат, як показано на рисунку. Суму всіх можливих значень площі прямокутника RR можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Чому дорівнює m+nm + n? (A) 14 (B) 23 (C) 46 (D) 59 (E) 67
8–10 класиЛанцюжок подібних трикутників
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2021-016

Відстань між центрами кіл у прямокутному трикутнику

Прямокутний трикутник ABCABC має довжини сторін BC=6BC = 6, AC=8AC = 8 і AB=10AB = 10. Коло з центром OO дотикається до прямої BCBC у точці BB і проходить через AA. Коло з центром PP дотикається до прямої ACAC у точці AA і проходить через BB. Чому дорівнює довжина відрізка OPOP? (A) 238\frac{23}{8} (B) 2910\frac{29}{10} (C) 3512\frac{35}{12} (D) 7325\frac{73}{25} (E) 3
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-006

Подібні трикутники ABC і AED і довжина CF

Розглянемо трикутник ABCABC і точку DD на продовженні відрізка ABAB за точку BB. Точка EE лежить на стороні ACAC так, що кути ∠DBC\angle DBC і ∠DEC\angle DEC рівні. Перетин прямих DEDE і BCBC — це FF. Припустімо, що ∣BF∣=2|BF| = 2, ∣BD∣=3|BD| = 3, ∣AE∣=4|AE| = 4 і ∣AB∣=5|AB| = 5. (Увага: рисунок зображено не в масштабі.) a. Доведіть, що трикутники △ABC\triangle ABC і △AED\triangle AED подібні. b. Знайдіть ∣CF∣|CF|.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-018

Подібні трикутники із серединами та перпендикулярами

У трикутнику ABCABC маємо ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ. Точка MM — середина сторони ABAB. Пряма, що проходить через MM паралельно стороні BCBC, перетинає сторону ACAC в точці DD. Середина відрізка CDCD — точка EE. Прямі BDBD і CMCM перпендикулярні. Зауважте: рисунок виконано не в масштабі. a. Доведіть, що трикутники CMECME і ABDABD подібні. b. Доведіть, що прямі EMEM і ABAB перпендикулярні.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-003

Колінеарні точки в паралелограмі із серединами сторін

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Нехай EE — середина сторони ABAB, а FF — середина сторони CDCD. Точки PP і QQ лежать на відрізках EFEF і CFCF відповідно так, що AA, PP і QQ лежать на одній прямій. Відомо, що EP=5EP = 5, PF=3PF = 3 і QF=12QF = 12. Знайдіть довжину відрізка CQCQ.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-120

Середини відрізків у прямокутному трикутнику

Трикутник ABCA B C прямокутний з прямим кутом при CC, а DD — основа висоти, опущеної з CC на ABA B. Точки LL, MM і NN — середини відрізків ADA D, DCD C і CAC A відповідно. Якщо CL=7C L = 7 і BM=12B M = 12, обчисліть BN2B N^{2}.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-012

Перетин прямих, що сполучають відповідні вершини тетраедрів

Нехай A1A2A3A4A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}, B1B2B3B4B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} і C1C2C3C4C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} — три правильні тетраедри в тривимірному просторі, попарно нерівні. Припустимо, що для кожного i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точка CiC_{i} є серединою відрізка AiBiA_{i} B_{i}. Визначте, чи повинні чотири прямі A1B1A_{1} B_{1}, A2B2A_{2} B_{2}, A3B3A_{3} B_{3} і A4B4A_{4} B_{4} перетинатися в одній точці.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-024

Дотичні описані кола за кутових умов

У трикутнику ABCA B C нехай MM — середина сторони BCB C, а DD — точка на відрізку AMA M. На променях CA→\overrightarrow{C A} і BA→\overrightarrow{B A} відповідно вибрано різні точки YY і ZZ такі, що ∠DYC=∠DCB\angle D Y C = \angle D C B і ∠DBC=∠DZB\angle D B C = \angle D Z B. Доведіть, що описане коло трикутника △DYZ\triangle D Y Z дотикається до описаного кола трикутника △DBC\triangle D B C.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-030

Хорда вписаного кола і паралельність до сторони

Нехай різносторонній трикутник ABCA B C має центр описаного кола OO і інцентр II. Його вписане коло ω\omega дотикається до сторін BC,CAB C, C A і ABA B у точках D,ED, E і FF відповідно. Нехай PP — основа висоти з DD на пряму EFE F, а пряма DPD P перетинає ω\omega вдруге в точці Q≠DQ \neq D. Пряма OIO I перетинає висоту з AA на сторону BCB C у точці TT. За умови, що OI∥BCO I \parallel B C, доведіть, що PQ=PTP Q = P T.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-126

Трапеція з перетином діагоналі й описаного кола

Нехай ABCDABCD — трапеція з AB∥CDAB \parallel CD і AD=BDAD = BD. Нехай MM — середина сторони ABAB, а P≠CP \neq C — друга точка перетину описаного кола △BCD\triangle BCD з діагоналлю ACAC. Припустимо, що BC=27BC = 27, CD=25CD = 25 і AP=10AP = 10. Якщо MP=abMP = \frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКоло і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-067

Два суміжні квадрати і перетин прямої з основою

Квадрати ABCDABCD і DEFGDEFG мають довжини сторін 11 і 13\frac{1}{3} відповідно, де EE лежить на CD‾\overline{CD}, а точки AA, DD, GG лежать на одній прямій у такому порядку. Пряма CFCF перетинає пряму AGAG у точці XX. Довжину AXAX можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-038

Трикутник зі співвідношенням кутів і довжинами сторін

У трикутнику ABCABC, ∠A=2∠C\angle A = 2 \angle C. Нехай AC=6AC = 6, BC=8BC = 8, а AB=a−bAB = \sqrt{a} - b, де aa і bb — натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-078

Відношення площ у ромбі з вписаним колом

Коло ω\omega вписане в ромб HM1M2TH M_{1} M_{2} T так, що ω\omega дотикається до HM1‾\overline{H M_{1}} у точці AA, до M1M2‾\overline{M_{1} M_{2}} у точці II, до M2T‾\overline{M_{2} T} у точці MM і до TH‾\overline{T H} у точці EE. Відомо, що площа ромба HM1M2TH M_{1} M_{2} T дорівнює 14401440, а площа трикутника EMTE M T дорівнює 405405. Знайдіть площу чотирикутника AIMEA I M E.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-047

Математичне сподівання периметра перерізу куба

Нехай PP — точка, обрана навмання рівномірно в кубі [0,1]3[0,1]^3. Площина, паралельна до площини x+y+z=0x+y+z=0, що проходить через PP, перетинає куб у двовимірній області R\mathcal{R}. Нехай tt — математичне сподівання периметра області R\mathcal{R}. Якщо t2t^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2021-004

Бісектриса прямокутного трикутника з інцентром

Нехай ABCA B C — трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle B A C=90^{\circ}, з центром описаного кола OO та інцентром II. Бісектриса кута ∠BAC\angle B A C перетинає описане коло трикутника ABCA B C у точках AA і PP. Нехай QQ — проєкція точки PP на пряму ABA B, а RR — проєкція точки II на пряму PQP Q. Доведіть, що пряма ROR O ділить відрізок CIC I навпіл.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2021-021

Паралельна пряма, дотична до вписаного кола

Дано трикутник ABCA B C з властивістю, що ∣AB∣+∣AC∣=3∣BC∣|A B|+|A C|=3|B C|. Нехай TT — точка на відрізку ACA C така, що ∣AC∣=4∣AT∣|A C|=4|A T|. Нехай KK і LL — внутрішні точки відрізків ABA B і ACA C відповідно такі, що, по-перше, KL∥BCK L \| B C і, по-друге, KLK L дотикається до вписаного кола трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай SS — точка перетину відрізків BTB T і KLK L. Знайдіть відношення ∣SL∣∣KL∣\frac{|S L|}{|K L|}.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-010

Прямокутний трикутник з HD перпендикулярною BC і відношенням сторін

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом при BB. Нехай HH — основа висоти, проведеної з BB, а DD — перетин бісектриси кута при AA зі стороною BCBC. Припустімо, що відрізок HDHD перпендикулярний до BCBC. Чому дорівнює (ABBC)2\left(\frac{AB}{BC}\right)^2? (A) 52\frac{\sqrt{5}}{2} (B) 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} (C) 5\sqrt{5} (D) 5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2} (E) Такої конфігурації не існує.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.