Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-017

Рекурентна послідовність сум у ряду

Ахмед, Бабет, Каспер, Дан, Еміне і Фрек сидять в ряд у такому порядку. Ахмед і Бабет записують по натуральному числу на аркуші паперу. Потім Каспер додає числа на аркушах Ахмеда і Бабет та записує результат на своєму аркуші. Після цього Дан додає числа на аркушах Бабет і Каспера та записує результат на своєму аркуші. Потім Еміне додає числа на аркушах Каспера і Дана та записує результат на своєму аркуші. Нарешті Фрек додає числа на аркушах Дана і Еміне та записує результат на своєму аркуші. Припустімо, що Еміне написала на своєму аркуші число 19. Яке число отримаємо, якщо додати числа на всіх аркушах?
7–9 класиЛінійні рекурентні послідовності
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-019

Солодкі та гіркі цукерки

Лізелотта має колекцію зі 100100 цукерок, кожна з яких або солодка, або гірка. Вона хоче вибрати між такими можливостями. I) Вона з'їдає половину солодких цукерок. Решта залишається в пакеті. II) Вона з'їдає половину гірких цукерок. Решта залишається в пакеті. Частка гірких цукерок серед решти у випадку I утричі більша за частку гірких цукерок серед решти у випадку II. Скільки гірких цукерок містить пакет (до того, як Лізелотта з'їсть хоч одну)?
7–9 класиЛінійні рівняння та системи
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-016

Суми цифр чисел, кратних 7

Фаріда складає список цілих чисел від 11 до 10 00010\,000, які діляться на 77. Для кожного числа зі списку вона додає цифри цього числа. Яке найменше число вона може отримати? A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 55
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-015

Годинник із переплутаними швидкостями стрілок

Годинникар встановив велику й малу стрілки годинника неправильно. Через це мала стрілка рухається зі швидкістю великої стрілки, а велика — зі швидкістю малої. Відомо, що щодня о 8:008{:}00 годинник показує правильний час. Скільки разів на добу (2424 години) годинник показує правильний час? A) 11 B) 22 C) 66 D) 2222 E) 2424
7–9 класиПеріодичні функції
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-004

Сума цифр добутку чисел з дев’яток

Ми обчислюємо добуток двох чисел, 99…99×99…99,99\ldots99 \times 99\ldots99, де перше число складається з 20 дев’яток, а друге — з 21 дев’ятки. Яке число одержимо, якщо додати цифри результату цього множення?
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-014

Навздогін за сестрами зі сталими швидкостями

Після сніданку сестри Анна і Біргіт вирушають до школи, кожна до своєї школи. Їхній будинок стоїть поруч із велосипедною доріжкою, яка сполучає дві школи. Анна їде на велосипеді зі сталою швидкістю 1212 км/год, а Біргіт іде в протилежному напрямку зі сталою швидкістю 44 км/год. Вони вирушають одночасно. Невдовзі після їхнього відходу мама помічає, що дівчата забули свій обід, і вирішує наздогнати їх. Рівно через 1010 хвилин після того, як Анна і Біргіт вирушили, мама виїжджає на своєму електровелосипеді. Спочатку вона наздоганяє Анну. Вона передає їй ланчбокс, одразу розвертається і їде навздогін за Біргіт. Наздогнавши Біргіт, вона передає їй ланчбокс і одразу їде назад додому. Мама весь час їде зі сталою швидкістю 2424 км/год. Через скільки хвилин після відходу Анни і Біргіт мама повернеться додому?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-013

Однаковий час поїздки за різної швидкості та відстані

Щодня Мауріц їде велосипедом до школи. Він може обирати між двома різними маршрутами. Маршрут BB на 1.51.5 км довший за маршрут AA. Однак, оскільки на ньому менше світлофорів, його середня швидкість на маршруті BB на 22 км/год вища, ніж на маршруті AA. Тому поїздка обома маршрутами триває однаково довго. Скільки часу потрібно Мауріцу, щоб доїхати велосипедом до школи?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-015

Найменше число із сумою з фрагментом

Фрагментом натурального числа називаємо будь-яке додатне число, отримане викресленням однієї або кількох цифр з його початку та/або кінця. Наприклад: числа 22, 11, 99, 2020, 1919 і 201201 — це фрагменти числа 20192019. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що існує фрагмент числа nn, який у сумі із самим nn дає 20192019.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-016

Вибір чисел, що утворюють трикутник

У високому капелюсі є сто папірців, пронумерованих від 11 до 100100. Ви хочете мати такі три папірці, що кожне з трьох чисел на них менше за суму двох інших. Наприклад, три папірці з номерами 1010, 1515 і 2020 були б придатними (оскільки 10<15+2010 < 15 + 20, 15<10+2015 < 10 + 20 і 20<10+1520 < 10 + 15), а папірці з номерами 33, 44 і 77 — ні (оскільки 77 не менше за 3+43 + 4). Ви можете (не дивлячись на числа на папірцях) взяти кілька папірців із капелюха. Яка найменша кількість папірців, яку треба взяти, щоб напевно мати три папірці, які задовольняють цю умову?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-004

Сума обернених добутків чисел Фібоначчі

Послідовність чисел Фібоначчі F0,F1,F2,…F_0, F_1, F_2, \ldots задано умовами F0=F1=1F_0 = F_1 = 1 і Fn+2=Fn+Fn+1F_{n+2} = F_n + F_{n+1} для всіх n≥0n \ge 0. Наприклад, маємо F2=F0+F1=2,F3=F1+F2=3,F4=F2+F3=5,F5=8.F_2 = F_0 + F_1 = 2, \quad F_3 = F_1 + F_2 = 3, \quad F_4 = F_2 + F_3 = 5, \quad F_5 = 8. Послідовність a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots задано формулою an=1FnFn+2для всіх n≥0.a_n = \frac{1}{F_n F_{n+2}} \quad \text{для всіх } n \ge 0. Доведіть, що для всіх m≥0m \ge 0 виконується: a0+a1+a2+⋯+am<1.a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_m < 1.
10–11 класиСуми послідовностей
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-034

Сума дійсних чисел з кубічною нерівністю

Нехай aa і bb — два дійсні числа такі, що ab⩾a3+b3a b \geqslant a^{3}+b^{3}. Доведіть, що a+b⩽1a+b \leqslant 1.
9–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-028

Модульне зрівнювання на дошці 3 на 3

Карін і Сіріл грають у таку гру. Спочатку Сіріл вибирає ціле число n⩾1n \geqslant 1. Потім у кожну клітинку дошки 3×33 \times 3 (схожої на поле для гри в хрестики-нулики) він записує ціле число. Далі хід Карін. Вона може стільки разів, скільки забажає, виконувати таку операцію: вона вибирає клітинку c\mathbf{c}, потім збільшує на 1 значення в клітинці c\mathbf{c} та в її сусідах (тобто клітинок, які мають спільну сторону з клітинкою cc). Карін виграє партію, якщо їй вдасться зробити так, що всі 9 цілих чисел стануть рівними за модулем nn. Хто з гравців має виграшну стратегію?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-009

Циклічна сума дробів з чисельниками 5 + 2b + c²

Нехай a,b,ca, b, c — невід'ємні дійсні числа такі, що a+b+c=1a+b+c=1. Доведіть, що 5+2b+c21+a+5+2c+a21+b+5+2a+b21+c⩾13\frac{5+2 b+c^{2}}{1+a}+\frac{5+2 c+a^{2}}{1+b}+\frac{5+2 a+b^{2}}{1+c} \geqslant 13
8–10 класиІнші класичні нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-031

Розфарбування раціональних чисел з умовою на суму

Розфарбування Q\mathbb{Q} полягає у фарбуванні кожного раціонального числа або в червоний, або в синій колір. Кажуть, що розфарбування Q\mathbb{Q} є гармонійним, якщо для всіх раціональних чисел xx і yy одного кольору раціональне число x+yx+y також має той самий колір. Знайдіть усі розфарбування Q\mathbb{Q}, які є гармонійними.
9–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-029

Функціональне рівняння f(x²+x+f(y)) = y+f(x)+f(x)²

Знайдіть усі функції f:R↦Rf: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} такі, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується: f(x2+x+f(y))=y+f(x)+f(x)2f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-032

Рівність многочленів із циклічної композиції

Нехай P1,P2,…,P2019P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2019} — несталі многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P1(P2(x))=P2(P3(x))=…=P2019(P1(x))P_{1}\left(P_{2}(x)\right)=P_{2}\left(P_{3}(x)\right)=\ldots=P_{2019}\left(P_{1}(x)\right) для всіх дійсних xx. Доведіть, що P1=P2=…=P2019P_{1}=P_{2}=\ldots=P_{2019}.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-014

Обмеженість і рекурентне співвідношення дають сталу функцію

Нехай f:Z→Rf: \mathbb{Z} \to \mathbb{R} — функція така, що f(n+2)=(f(n+1)+f(n))/2f(n+2) = (f(n+1) + f(n)) / 2 для всіх цілих nn. Припустімо, що ff обмежена, тобто існує дійсне число FF таке, що −F⩽f(n)⩽F-F \leqslant f(n) \leqslant F для всіх nn. Доведіть, що ff — стала функція.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-025

Функції на N зі значенням в x² + y²

Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x2+y2)x f(y)+y f(x)=(x+y) f\left(x^{2}+y^{2}\right) для всіх натуральних чисел xx і yy. Зауваження: нагадаємо, що N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел, тобто N={0,1,2,…}\mathbb{N}=\{0,1,2, \ldots\}.
8–10 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-023

Максимальна координата за умови нульової суми

Нехай n⩾2n \geqslant 2 і нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — дійсні числа такі, що x1+x2+⋯+xn=0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 та x12+x22+⋯+xn2=1x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1. Доведіть, що існує ii таке, що xi⩾1n(n−1)x_{i} \geqslant \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-002

Послідовність з рекурсією через модуль різниці

Нехай (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} — послідовність дійсних чисел. Припустимо, що an=∣an+1−an+2∣a_{n}=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right| для кожного натурального числа nn. Крім того, a0a_{0} і a1a_{1} додатні та різні. Доведіть, що послідовність (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} необмежена.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-001

Функція на кортежах, залежна від однієї координати

Нехай S={1,…,n}S=\{1, \ldots, n\}, де n⩾3n \geqslant 3 — ціле число, а kk — додатне ціле число. Позначимо через SkS^{k} множину kk-наборів з елементів SS. Нехай f:Sk→Sf: S^{k} \rightarrow S — функція така, що якщо x=(x1,…,xk)∈Skx=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in S^{k} та y=(y1,…,yk)∈Sky=\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \in S^{k}, причому xi≠yix_{i} \neq y_{i} для всіх 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k, то f(x)≠f(y)f(x) \neq f(y). Доведіть, що існує ℓ\ell, 1⩽ℓ⩽k1 \leqslant \ell \leqslant k, та функція g:S→Sg: S \rightarrow S, для яких при всіх x1,…,xk∈Sx_{1}, \ldots, x_{k} \in S виконується f(x1,…,xk)=g(xℓ)f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=g\left(x_{\ell}\right).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-104

Частки суміші та кількість людей

Кожен мешканець Кембриджа випиває 12-унційну суміш води та яблучного соку (у кожного вона може бути іншою), причому в кожному напої міститься додатна кількість обох рідин. Марк Макговерн, мер Кембриджа, випиває 16\frac{1}{6} загальної кількості випитої води та 18\frac{1}{8} загальної кількості випитого яблучного соку. Скільки людей у Кембриджі?
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-114

Подвоєння частки маршмелоу додаванням

На сніданок Мігір завжди їсть миску пластівців Lucky Charms, які складаються з вівсяних шматочків і шматочків маршмелоу. Він визначає вдалість миски пластівців як відношення кількості шматочків маршмелоу до загальної кількості шматочків. Одного дня Мігір помічає, що його сніданкові пластівці містять рівно 9090 вівсяних шматочків і 99 шматочків маршмелоу, і вигукує: «Яка ж невдала миска!» Скільки шматочків маршмелоу потрібно додати Мігіру до своєї миски, щоб подвоїти її вдалість?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-018

Найменший квадратний корінь числа виду ESCAPE

Нехай S,P,A,C,ES, P, A, C, E — (не обов’язково різні) десяткові цифри, де E≠0E \neq 0. Відомо, що N=ESCAPE‾N=\sqrt{\overline{E S C A P E}} — натуральне число. Знайдіть найменше можливе значення NN.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-122

Сума двох паліндромних чисел

Знайдіть найменше натуральне число, яке не можна подати у вигляді суми двох невід'ємних паліндромних цілих чисел. (Ціле число є паліндромним, якщо послідовність його десяткових цифр однаково читається у прямому й зворотному напрямках.)
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.