Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-014

Периметри подібних трикутників із квадратичними площами

Дано декілька подібних трикутників. Їхні площі дорівнюють 12,32,52,…1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, \ldots, 49249^{2}. Якщо найменший трикутник має периметр 44, чому дорівнює сума периметрів усіх трикутників?
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-015

Найбільший кут з перпендикуляром до прямої

Точки AA, BB і CC лежать у такому порядку на прямій ℓ\ell, причому AB=3AB = 3 і BC=2BC = 2. Точка HH така, що відрізок CHCH перпендикулярний до прямої ℓ\ell. Знайдіть довжину CHCH, за якої ∠AHB\angle AHB є найбільшим.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-016

Максимум суми площ із паралельними прямими в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=7AB = 7, BC=9BC = 9 і CA=4CA = 4. Нехай DD — така точка, що AB∥CDAB \parallel CD і CA∥BDCA \parallel BD. Нехай RR — точка всередині трикутника BCDBCD. Прямі ℓ\ell і mm, що проходять через RR, паралельні прямим CACA і ABAB відповідно. Пряма ℓ\ell перетинає ABAB і BCBC у точках PP і P′P' відповідно, а mm перетинає CACA і BCBC у точках QQ і Q′Q' відповідно. Якщо SS позначає найбільше можливе значення суми площ трикутників BPP′BPP', RP′Q′RP'Q' і CQQ′CQQ', знайдіть значення S2S^2.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-017

Чотирикутник з рівними сторонами і прямими кутами

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має прямі кути ∠A\angle A і ∠C\angle C, причому AB=BCAB = BC і AD=CDAD = CD. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці MM. Точки PP і QQ лежать на описаному колі трикутника AMBAMB і на відрізку CDCD відповідно, причому точки PP, MM і QQ лежать на одній прямій. Припустимо, що m∠ABC=160∘m \angle ABC = 160^\circ і m∠QMC=40∘m \angle QMC = 40^\circ. Знайдіть MP⋅MQMP \cdot MQ, якщо MC=6MC = 6.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-021

Бісектриса і прямий кут у трикутнику

У трикутнику ABCABC кут ∠ABC\angle ABC — тупий. Точка DD лежить на стороні ACAC так, що ∠ABD\angle ABD — прямий, а точка EE лежить на стороні ACAC між AA і DD так, що BDBD — бісектриса ∠EBC\angle EBC. Знайдіть довжину відрізка CECE, якщо AC=35AC = 35, BC=7BC = 7 і BE=5BE = 5.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-024

Коло, дотичне до діагоналі вписаного чотирикутника

ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому AB=4AB = 4, BC=3BC = 3, CD=2CD = 2 і AD=5AD = 5. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX. Коло ω\omega проходить через AA і дотикається до діагоналі BDBD у точці XX. Коло ω\omega перетинає сторони ABAB і ADAD у точках YY і ZZ відповідно. Обчисліть відношення YZ/BDYZ / BD.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-026

Радіус кола вписаного шестикутника зі сторонами 2, 9, 12

Обчисліть радіус описаного кола вписаного шестикутника ABCDEFA B C D E F зі сторонами AB=BC=2A B = B C = 2, CD=DE=9C D = D E = 9 і EF=FA=12E F = F A = 12.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-028

Відношення відрізків основ перпендикулярів у вписаному чотирикутнику

ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому AB=3AB = 3, BC=5BC = 5, CD=6CD = 6 і AD=10AD = 10. MM, II і TT — основи перпендикулярів, опущених із точки DD на прямі ABAB, ACAC і BCBC відповідно. Знайдіть значення MI/ITMI / IT.
10–11 класиТеорема Менелая
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-030

Коло, дотичне до трьох описаних кіл трикутника

Трикутник ABCA B C має AB=4A B=4, BC=6B C=6 і AC=5A C=5. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCA B C. Коло Γ\Gamma дотикається до описаних кіл трикутників AOBA O B, BOCB O C і AOCA O C та охоплює їх. Знайдіть діаметр кола Γ\Gamma.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-034

Дотичні до вписаного кола і перетини кіл

Нехай ω\omega позначає вписане коло трикутника ABCABC. Відрізки BCBC, CACA і ABAB дотикаються до кола ω\omega у точках DD, EE і FF відповідно. Точка PP лежить на відрізку EFEF так, що відрізок PDPD перпендикулярний до сторони BCBC. Пряма APAP перетинає BCBC у точці QQ. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 проходять через BB і CC відповідно та дотикаються до прямої AQAQ у точці QQ; перше з них перетинає ABAB вдруге в точці XX, а друге перетинає ACAC вдруге в точці YY. Пряма XYXY перетинає BCBC у точці ZZ. Відомо, що AB=15AB=15, BC=14BC=14 і CA=13CA=13. Знайдіть ⌊XZ⋅YZ⌋\lfloor XZ \cdot YZ\rfloor.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові тести на IMOTST-2007-001

Вписаний чотирикутник у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD та AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на сторонах ABAB та CDCD відповідно, причому AKKB=DLLC\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{DL}{LC}. Точки PP і QQ лежать на відрізку KLKL так, що ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-009

Точка з рівними різницями кутів

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCA B C і задовольняє умову ∡BPC−∡BAC=∡CPA−∡CBA=∡APB−∡ACB.\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B . Доведіть, що тоді виконується: PA‾⋅BC‾=PB‾⋅AC‾=PC‾⋅AB‾\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B} Спочатку зауважимо, що ∡BPC=60∘+α,∡CPA=60∘+β,∡APB=60∘+γ\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma. З міркувань симетрії достатньо показати одну з двох стверджуваних рівностей. (Вказівка: для кута ∡XYZ\varangle X Y Z, де 0∘<∡XYZ<180∘0^{\circ}<\varangle X Y Z<180^{\circ}, у математично додатному напрямі покладемо ∡ZYX:=180∘−∡XYZ\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z. За цією домовленістю, наприклад, для чотирьох попарно різних точок W,X,Y,ZW, X, Y, Z на колі завжди ∡XYZ=∡XWZ\varangle X Y Z=\varangle X W Z).
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2007-012

Подібні трикутники у конструкції з дотичними

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Дотичні до кола ω\omega у точках BB і CC перетинаються в точці TT. Точка SS лежить на промені BCBC, причому AS⊥ATAS \perp AT. Точки B1B_1 і C1C_1 лежать на промені STST (причому C1C_1 лежить між B1B_1 і SS) так, що B1T=BT=C1TB_1T = BT = C_1T. Доведіть, що трикутники ABCABC і AB1C1AB_1C_1 подібні.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-017

П'ятикутник з рівними ланцюжками кутів

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник, для якого ∠BAC=∠CAD=∠DAE і ∠ABC=∠ACD=∠ADE\angle B A C=\angle C A D=\angle D A E \quad \text{ і } \quad \angle A B C=\angle A C D=\angle A D E Діагоналі BDB D і CEC E перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма APA P перетинає сторону CDC D в її середині.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-021

Дотик зовнівписаного кола й ортогональні проєкції

У трикутнику ABCA B C нехай JJ — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCB C у точці A1A_{1} та до продовжень сторін ACA C і ABA B у точках B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Пряма A1B1A_{1} B_{1} перетинає пряму ABA B під прямим кутом у точці DD. Нехай EE — проєкція точки C1C_{1} на пряму DJD J. Визначте величини кутів ∠BEA1\angle B E A_{1} і ∠AEB1\angle A E B_{1}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2007-001

Мінімізація сум відстаней у правильному шестикутнику

Нехай на площині задано правильний шестикутник. Для кожної точки PP площини позначимо через l(P)l(P) суму шести відстаней від PP до прямих, на яких лежать сторони шестикутника, а через v(P)v(P) — суму шести відстаней від PP до вершин шестикутника. a. Для яких точок PP площини l(P)l(P) є мінімальною? b. Для яких точок PP площини v(P)v(P) є мінімальною?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2007-011

Площа місячного серпа з кіл, що перетинаються

Прісциллі доручили підготувати декорації для шкільної вистави. Їй потрібен серп місяця, а з матеріалів у неї є картонний круг радіуса rr, з якого його можна вирізати; тоді вона ставить вістря циркуля на край круга, креслить дугу кола радіуса r2r \sqrt{2} і розрізає вздовж проведеної лінії. Чому дорівнює площа серпа місяця, який вона отримає? (A) r2r^{2} (B) 22πr2\frac{\sqrt{2}}{2} \pi r^{2} (C) 13πr2\frac{1}{3} \pi r^{2} (D) (π4+12)r2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right) r^{2} (E) (π4+1)r2\left(\frac{\pi}{4}+1\right) r^{2}
10–11 класиПлоща кола і його частин
Італійська математична олімпіадаITAMO-2007-005

Діаметр кола й паралельна хорда

Дано коло з діаметром ABA B і центром OO. Нехай CC — точка на колі (відмінна від AA і від BB), і проведено пряму rr, яка паралельна до ACA C і проходить через OO. Нехай DD — та точка перетину прямої rr з колом, яка лежить з протилежного від CC боку відносно прямої ABA B. i) Доведіть, що DOD O є бісектрисою кута C{^D}BC \widehat\{D\} B. ii) Доведіть, що трикутник CDBC D B подібний до трикутника AODA O D.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2007-001

Подібні трикутники з фіксованою основою

У рівнобедреному трикутнику ABCABC, у якому AC=BC≠ABAC = BC \neq AB, зафіксуємо точку PP на основі ABAB. Скільки положень може займати на площині точка QQ, якщо вимагати, щоб точки A,PA, P і QQ, узяті в довільному порядку, були вершинами трикутника, подібного до ABCABC? (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6.
9–11 класиОзнаки подібності
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2007-002

Трикутник із заданими довжинами медіан

Нехай ABCABC — трикутник, а DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Якщо AD=3AD = 3, BE=4BE = 4 і CF=5CF = 5, то чому дорівнює площа трикутника ABCABC?
7–9 класиТочка перетину медіан
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2007-003

Периметр чотирикутника з фіксованими діагоналями

Діагоналі ACAC і BDBD чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP всередині чотирикутника. Якщо AC=2AC = 2, BD=3BD = 3 і ∠APB=60∘\angle APB = 60^\circ, то яке найменше можливе значення суми AB+BC+CD+DAAB + BC + CD + DA?
7–9 класиНерівність трикутника
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-006

Чотирикутник з прямим кутом і заданими сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якого AB=3AB = 3, BC=4BC = 4, CD=5CD = 5, DA=6DA = 6 і ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ. Знайдіть площу чотирикутника ABCDABCD.
10–11 класиПлоща трикутника
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-018

Перетин в одній точці прямих через дотик напіввписаних кіл

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Нехай ΓA\Gamma_A — коло, яке дотикається до прямих ABAB, ACAC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, ΓB\Gamma_B — коло, яке дотикається до прямих ABAB, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, а ΓC\Gamma_C — коло, яке дотикається до прямих ACAC, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо. Нехай кола ΓA,ΓB,ΓC\Gamma_A, \Gamma_B, \Gamma_C дотикаються до кола Γ\Gamma у точках P,Q,RP, Q, R. Доведіть, що прямі AP,BQ,CRAP, BQ, CR перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-008

Добуток відстаней від точки до кінців відрізка

ABAB — відрізок на площині довжиною 77, а PP — точка така, що відстань між PP і прямою ABAB дорівнює 33. Знайдіть найменше можливе значення добутку AP×BPAP \times BP.
10–11 класиПлоща трикутника
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-019

Смуга, що покриває чотири точки площини

На площині смугою ширини dd називають множину всіх точок, відстань яких від деякої прямої менша або дорівнює d2\frac{d}{2}. На площині дано чотири точки AA, BB, CC, DD. Якщо вибрати будь-які три точки з них, то існує смуга ширини 11, яка їх містить. Доведіть, що існує смуга ширини 2\sqrt{2}, яка містить усі чотири точки.
10–11 класиПокриття, пакування, фарбування

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.