Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

6 505 задач
Теорія чисел
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-051

Шлях жабки з двійковими стрибками

Жабка Ашвін подорожує площиною xyxy серією з 22017−12^{2017}-1 кроків, починаючи з початку координат. На nn-му кроці, якщо nn непарне, то Ашвін стрибає на одну одиницю праворуч. Якщо nn парне, то Ашвін стрибає на mm одиниць вгору, де mm — найбільше ціле число таке, що 2m2^{m} ділить nn. Якщо Ашвін починає з початку координат, чому дорівнює площа многокутника, обмеженого шляхом Ашвіна, прямою x=22016x=2^{2016} і віссю xx?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-046

Сума за впорядкованими трійками з фіксованим добутком

Одного разу Жабчик Кельвін так нудьгував на уроці математики, що записав на аркуші паперу всі впорядковані трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, які задовольняють умову abc=2310a b c = 2310. Знайдіть суму всіх чисел, які він записав. Іншими словами, обчисліть ∑abc=2310a,b,c∈N(a+b+c)\sum_{\substack{a b c = 2310 \\ a, b, c \in \mathbb{N}}} (a + b + c) де N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-065

Випадкове блукання з відбивною межею

Емілі починає з порожнього відра. Щосекунди вона або кладе камінець у відро, або виймає камінець з відра, причому кожна з дій відбувається з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Якщо вона збирається вийняти камінець з відра, а відро в цей момент порожнє, то вона просто нічого не робить протягом цієї секунди (так само з ймовірністю 12\frac{1}{2}). Яка ймовірність того, що після 2017 секунд у її відрі буде рівно 1337 камінців?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-038

Ряди трикутника Паскаля за модулем простого числа

Нехай pp — просте число. Повною системою лишків за модулем pp називають множину, що містить щонайменше один елемент, конгруентний до k(modp)k \pmod{p}, для кожного kk. а. Доведіть, що існує таке nn, що nn-й рядок трикутника Паскаля утворює повну систему лишків за модулем pp. б. Доведіть, що існує таке n≤p2n \leq p^{2}, що nn-й рядок трикутника Паскаля утворює повну систему лишків за модулем pp.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-054

Четвірки цілих чисел, що задовольняють рівняння четвертого степеня

Знайдіть кількість четвірок (a,b,c,d)(a, b, c, d) цілих чисел, модуль кожного з яких не перевищує 55, таких, що (a2+b2+c2+d2)2=(a+b+c+d)(a−b+c−d)((a−c)2+(b−d)2)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)^{2}=(a+b+c+d)(a-b+c-d)\left((a-c)^{2}+(b-d)^{2}\right)
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-039

Степені ірраціонального числа з періодичними остачами

Чи існує ірраціональне число α>1\alpha>1 таке, що ⌊αn⌋≡0( mod 2017)\left\lfloor\alpha^{n}\right\rfloor \equiv 0 \quad(\bmod 2017) для всіх цілих чисел n≥1n \geq 1?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-049

Ціле відношення із симетричною сумою

Розглянемо всі впорядковані пари цілих чисел (a,b)(a, b), для яких 1≤a≤b≤1001 \leq a \leq b \leq 100 і (a+b)(a+b+1)ab\frac{(a+b)(a+b+1)}{a b} є цілим числом. Серед цих пар знайдіть ту, у якій значення bb найбільше. Якщо кілька пар мають це найбільше значення bb, оберіть ту, у якій найбільше значення aa. Наприклад, оберіть (3,85)(3,85), а не (2,85)(2,85) і не (4,84)(4,84). Зауважте, що відповідь має бути впорядкованою парою.
10–11 класиСтрибки Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-050

Період чисел Фібоначчі за модулем 127

Послідовність Фібоначчі визначається так: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для всіх цілих чисел n≥2n \geq 2. Знайдіть найменше натуральне число mm таке, що Fm≡0(mod127)F_{m} \equiv 0 \pmod{127} і Fm+1≡1(mod127)F_{m+1} \equiv 1 \pmod{127}.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-014

Налаштування часу натисканнями кнопок

Несправний цифровий годинник показує час 9:57 AM9:57\ \mathrm{AM}; проте правильний час — 10:10 AM10:10\ \mathrm{AM}. На годиннику є дві кнопки, одна з яких збільшує показаний час на 9 хвилин, а інша зменшує його на 20 хвилин. Яка найменша кількість натискань кнопок необхідна, щоб правильно встановити годинник на правильний час?
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-040

Добре центровані підмногокутники та прості дільники

Нехай nn — непарне натуральне число, більше за 22, і розглянемо правильний nn-кутник G\mathcal{G} на площині з центром у початку координат. Підмногокутником G′\mathcal{G}' назвемо многокутник щонайменше з 33 вершинами, множина вершин якого є підмножиною множини вершин G\mathcal{G}. Назвемо G′\mathcal{G}' добре центрованим, якщо його центроїд збігається з початком координат. Назвемо G′\mathcal{G}' розкладним, якщо його множину вершин можна записати як диз'юнктне об'єднання правильних многокутників щонайменше з 33 вершинами. Доведіть, що всі добре центровані підмногокутники розкладні тоді й лише тоді, коли nn має не більше двох різних простих дільників.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-051

Періодична функція з квадратичною конгруенцією

Нехай N\mathbb{N} позначає натуральні числа. Обчисліть кількість функцій f:N→{0,1,…,16}f: \mathbb{N} \rightarrow \{0,1, \ldots, 16\} таких, що f(x+17)=f(x)іf(x2)≡f(x)2+15(mod17)f(x+17)=f(x) \quad \text{і} \quad f\left(x^{2}\right) \equiv f(x)^{2}+15 \pmod{17} для всіх цілих x≥1x \geq 1.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-019

Непарні коефіцієнти у симетричному добутку

Знайдіть (залежно від n≥1n \geq 1) кількість доданків із непарними коефіцієнтами після розкриття добутку: ∏1≤i<j≤n(xi+xj)\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}+x_{j}\right) наприклад, для n=3n=3 розкритий добуток має вигляд x12x2+x12x3+x22x3+x22x1+x32x1+x32x2+2x1x2x3x_{1}^{2} x_{2}+x_{1}^{2} x_{3}+x_{2}^{2} x_{3}+x_{2}^{2} x_{1}+x_{3}^{2} x_{1}+x_{3}^{2} x_{2}+2 x_{1} x_{2} x_{3}, тож відповідь дорівнювала б 6.
10–11 класиМіркування за модулем
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-020

Порівняння остач за модулями 1000 і 1001

Для натуральних чисел aa і NN позначимо через r(a,N)∈{0,1,…,N−1}r(a, N) \in \{0,1, \ldots, N-1\} остачу від ділення aa на NN. Визначте кількість натуральних чисел n≤1000000n \leq 1000000, для яких r(n,1000)>r(n,1001)r(n, 1000)>r(n, 1001)
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-021

Найбільше ціле значення P²/A для примітивного прямокутного трикутника

Нехай PP і AA позначають відповідно периметр і площу прямокутного трикутника зі взаємно простими цілими довжинами сторін. Знайдіть найбільше можливе ціле значення P2A\frac{P^{2}}{A}.
10–11 класиПіфагорові трійки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-025

Послідовність зі співвідношенням суми кубів і квадрата суми

Послідовність натуральних чисел a1,a2,…,a2017a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2017} така, що для всіх цілих mm, 1≤m≤20171 \leq m \leq 2017, виконується рівність 3(∑i=1mai)2=∑i=1mai33\left(\sum_{i=1}^{m} a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}^{3}. Обчисліть a1337a_{1337}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-023

Просте число з умовою на показник за модулем

Нещодавно на математичному змаганні Евана попросили знайти 22016(modp)2^{2016} \pmod{p} для заданого простого числа pp, де 100<p<500100 < p < 500. Еван забув, яким було просте число pp, але досі пам’ятає, як він розв’язував цю задачу: - Спершу Еван спробував звести 20162016 за модулем p−1p-1, але отримав значення ee, яке більше за 100100. - Однак Еван зауважив, що e−12(p−1)=21e - \frac{1}{2}(p-1) = 21, і тоді зрозумів, що відповідь дорівнює −221(modp)-2^{21} \pmod{p}. Яким було просте число pp?
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-026

Найменший розв'язок рівняння Пелля

Знайдіть найменше можливе значення x+yx+y, де x,y≥1x, y \geq 1, а xx і yy — цілі числа, які задовольняють рівняння x2−29y2=1x^{2}-29 y^{2}=1.
10–11 класиРівняння Пелля
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-035

Значення многочлена з цілими коефіцієнтами

Нехай PP — многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що P(0)+P(90)=2018P(0)+P(90)=2018. Знайдіть найменше можливе значення ∣P(20)+P(70)∣|P(20)+P(70)|.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-008

Приписування степенів п'ятірки

Чи існують два додатні степені числа 55, такі, що число, отримане записуванням одного після іншого, також є степенем числа 55?
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2017-007

Складання стосів дисків з умовою видимості

Нехай nn — натуральне число. Дано круглі диски з радіусами 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Кожного розміру маємо два диски: один прозорий і один непрозорий. У кожному диску є отвір точно посередині, за допомогою якого ми можемо нанизувати диски на вертикальний стрижень. Потрібно складати стоси, які задовольняють такі умови: - У стосі є рівно один диск кожного розміру. - Якщо дивитися прямо зверху, ми бачимо зовнішні краї всіх nn дисків у стосі. (Тобто якщо в стосі лежить непрозорий диск, то під ним не можуть лежати менші диски.) Визначте кількість різних стосів, які можна скласти за цих умов. (Два стоси різні, якщо вони використовують не точно ту саму множину дисків, а також якщо вони використовують точно ту саму множину дисків, але не в тому самому порядку.)
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2017-006

Квадратичні та кубічні остачі за простим модулем

Нехай aa, bb і cc — натуральні числа, усі різні, і припустимо, що p=ab+bc+cap = a b + b c + c a — просте число. а) Доведіть, що a2a^{2}, b2b^{2} і c2c^{2} дають різні остачі при діленні на pp. б) Доведіть, що a3a^{3}, b3b^{3} і c3c^{3} дають різні остачі при діленні на pp.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-001

Цілочислова функція з умовою подільності на прості числа

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що: (i) f(p)>0f(p)>0 для будь-якого простого числа pp, (ii) p∣(f(x)+f(p))f(p)−xp \mid (f(x)+f(p))^{f(p)}-x для будь-якого простого числа pp і для будь-якого x∈Zx \in \mathbb{Z}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-013

Перестановка з обмеженими різницями

Нехай dd — натуральне число і задано послідовність (ai)i=1,2,3,…\left(a_{i}\right)_{i=1,2,3, \ldots} натуральних чисел. Припустимо, що виконано такі дві умови: - Кожне натуральне число трапляється в послідовності рівно один раз. - Для всіх індексів i≥10100i \geq 10^{100} виконується ∣ai+1−ai∣≤2d\left|a_{i+1}-a_{i}\right| \leq 2 d. Доведіть, що існує нескінченно багато індексів jj, для яких виконується ∣aj−j∣<d\left|a_{j}-j\right|<d.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-017

Прості прямокутні суми у правильному 2n-кутнику

Нехай n≥4n \geq 4 — ціле число. Розглянемо правильний 2n2n-кутник, у якому кожній вершині приписано ціле число, яке ми називаємо значенням цієї вершини. Якщо чотири різні вершини цього 2n2n-кутника утворюють прямокутник, то суму значень цих вершин ми називаємо прямокутною сумою. Визначте, для яких цілих (не обов'язково додатних) mm числа m+1,m+2,…,m+2nm+1, m+2, \ldots, m+2n можна приписати вершинам (у якомусь порядку) так, щоб кожна прямокутна сума була простим числом. (Прості числа за означенням додатні.)
10–11 класиПарність та непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2017-016

Функціональне рівняння з простими числами

Задано функцію f:Z>0→Zf: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}, яка задовольняє властивості: (i) f(p)=1f(p)=1 для всіх простих чисел pp, (ii) f(xy)=yf(x)+xf(y)f(x y)=y f(x)+x f(y) для всіх x,y∈Z>0x, y \in \mathbb{Z}_{>0}. Знайдіть найменше n≥2016n \geq 2016, для якого f(n)=nf(n)=n.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.