Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 066 задач
Алгебра
Відбіркові тести на IMOTST-2019-008

Єдине подання дробів сумами обернених чисел

З’ясуйте, чи існує множина MM натуральних чисел, яка має таку властивість: для кожного додатного раціонального числа r<1r<1 існує рівно одна скінченна підмножина SS множини MM така, що ∑s∈S1/s=r\sum_{s \in S} 1 / s = r, тобто сума чисел, обернених до елементів SS дорівнює rr.
10–11 класиГеометрична прогресія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-028

Бієкції на кільці лишків з лінійними зсувами

Нехай Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} позначає множину цілих чисел за модулем nn (отже, Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} має nn елементів). Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує бієктивна функція g:Z/nZ→Z/nZg: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, така, що 101 функція g(x), g(x)+x, g(x)+2x, …, g(x)+100xg(x),\ g(x) + x,\ g(x) + 2x,\ \dots,\ g(x) + 100x є бієкціями на Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2019-036

Наближення лінійної форми від ірраціональностей

Нехай ε>0\varepsilon>0 задано. Доведіть, що існують цілі числа a,ba, b і cc, не всі з яких дорівнюють нулю, такі, що виконується нерівність ∣a2+b3+c5∣<ε|a \sqrt{2}+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}|<\varepsilon. Доведіть також, що в кожній трійці (a,b,c)≠(0,0,0)(a, b, c) \neq(0,0,0) цілих чисел, для якої виконується ця нерівність, принаймні одне з абсолютних значень ∣a∣,∣b∣,∣c∣|a|,|b|,|c| більше за ε−1/3/30\varepsilon^{-1 / 3} / \sqrt{30}.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-010

Нерівності зі степенями дійсних чисел

Нехай xx і yy — додатні дійсні числа. а) Доведіть: якщо x3−y3≥4xx^{3}-y^{3} \geq 4 x, то x2>2yx^{2}>2 y. б) Доведіть: якщо x5−y3≥2xx^{5}-y^{3} \geq 2 x, то x3≥2yx^{3} \geq 2 y.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2019-038

Урівноваження купок монет з обмеженими номіналами

Розглянемо монети з додатними дійсними номіналами, що не перевищують 11. Знайдіть найменше C>0C > 0, для якого виконується таке: якщо дано будь-які 100100 таких монет із сумарною вартістю 5050, то їх завжди можна розділити на дві купки по 5050 монет у кожній так, щоб модуль різниці між сумарними вартостями двох купок не перевищував CC.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-020

Виграшна стратегія у грі з двома купками

Нехай (a,b)(a, b) — пара натуральних чисел. Геннінг і Пауль грають у гру: спочатку на столі лежать дві купки з aa та bb камінців відповідно. Пара (a,b)(a, b) називається початковою конфігурацією гри. Гравці діють так: - Гравці ходять по черзі, причому починає Геннінг. - Кожного ходу гравець або забирає додатну кількість камінців з однієї з двох купок, або однакову додатну кількість камінців з обох купок. - Гравець, який забирає останній камінець зі столу, виграє гру. Нехай AA — множина всіх натуральних чисел aa, для яких існує натуральне число b<ab<a таке, що Пауль має виграшну стратегію для початкової конфігурації (a,b)(a, b). Впорядкуємо елементи множини AA за зростанням як a1<a2<…a_{1}<a_{2}<\ldots a. Доведіть, що множина AA нескінченна. b. Доведіть, що послідовність (mk)k≥1\left(m_{k}\right)_{k \geq 1}, визначена як mk:=ak+1−akm_{k}:=a_{k+1}-a_{k} для всіх k≥1k \geq 1, не є зрештою періодичною. Зауваження: Послідовність (xk)k≥1\left(x_{k}\right)_{k \geq 1} є зрештою періодичною, якщо існує ціле число k0≥0k_{0} \geq 0 таке, що послідовність (xk+k0)k≥1\left(x_{k+k_{0}}\right)_{k \geq 1} є періодичною.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-042

Многочлен, суми цифр значень якого не є числами Фібоначчі

Нехай PP — многочлен з цілими коефіцієнтами, такий, що для кожного натурального числа nn сума десяткових цифр числа ∣P(n)∣|P(n)| не є числом Фібоначчі. Чи обов'язково PP сталий? (Число Фібоначчі — це елемент послідовності F0,F1,…F_0, F_1, \dots, заданої рекурсивно співвідношеннями F0=0F_0 = 0, F1=1F_1 = 1 та Fk+2=Fk+1+FkF_{k+2} = F_{k+1} + F_k для k≥0k \ge 0.)
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-024

Нерівність для середніх з параметром

Нехай nn — натуральне число. Визначте, чи існує дійсне число ε>0\varepsilon>0 (залежне від nn), таке, що для всіх додатних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} виконується x1x2⋯xnn≤(1−ϵ)⋅x1+x2+⋯+xnn+ϵ⋅n1x1+1x2+⋯+1xn\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leq (1-\epsilon) \cdot \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}+\epsilon \cdot \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}}
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2019-025

Зображуваність сумою членів показникової послідовності

Означимо послідовність (an)n≥0\left(a_{n}\right)_{n \geq 0} цілих чисел формулою an:=2n+2⌊n/2⌋a_{n}:=2^{n}+2^{\lfloor n / 2\rfloor}. Доведіть, що існує нескінченно багато членів послідовності, які можна подати у вигляді суми принаймні двох різних членів послідовності, а також існує нескінченно багато членів послідовності, які в такому вигляді подати не можна.
10–11 класиСуми послідовностей
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-010

Послідовність зі сталою сумою чотирьох членів

Дано послідовність із 2019 чисел a1,a2,a3,…,a2019a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2019}. Відомо, що сума будь-яких 4 послідовних членів послідовності є сталою. Так само різниця за абсолютною величиною двох послідовних чисел є сталою (тобто ∣a1−a2∣=∣a2−a3∣=∣a3−a4∣=…\left|a_{1}-a_{2}\right|=\left|a_{2}-a_{3}\right|=\left|a_{3}-a_{4}\right|=\ldots). Крім того, відомо, що a1<a2<a3a_{1}<a_{2}<a_{3} і що a2=6a_{2}=6. Чому дорівнює сума всіх чисел послідовності? (A) 2019 (B) 2020 (C) 4038 (D) 12114 (E) Даних недостатньо, щоб її визначити
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-011

Числа з обмеженої послідовності кнопок

Калькулятор П'єріно має дисплей, на якому спочатку показано число 00, і дві кнопки: кнопку +1+1, яка додає 11 до числа на дисплеї, та кнопку ×3\times 3, яка множить число на дисплеї на 33. Якщо кнопку +1+1 натиснути двічі поспіль, калькулятор вибухає. Якщо дисплей калькулятора вміщує щонайбільше 55 цифр, скільки чисел П'єріно може отримати за допомогою відповідної послідовності натискань кнопок (не підірвавши калькулятор)? (A) 2048 (B) 2187 (C) 4096 (D) 6561 (E) 66666
10–11 класиСистеми числення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2019-006

Композиція многочленів з обмеженням на степені

Марчелла, граючись, зовсім випадково знаходить два многочлени p(x)p(x) і q(x)q(x), несталі й з цілими коефіцієнтами, які задовольняють співвідношення: p(q(x+1))=p(x3)q(x+1)5.p(q(x+1)) = p\left(x^{3}\right) q(x+1)^{5}. Що можна з упевненістю стверджувати про два многочлени, знайдені Марчеллою? (A) Старший коефіцієнт добутку p(x)q(x)p(x) q(x) додатний (B) Многочлен q(x)q(x) не має цілих коренів (C) Степінь многочлена q(x)q(x) не перевищує степеня многочлена p(x)p(x) (D) Сума коефіцієнтів многочлена p(x)p(x) непарна (E) Степінь добутку p(x)q(x)p(x) q(x) кратний 8
9–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-004

Трицифрові числа з простими цифрами

Назвемо натуральне число хорошим, якщо кожна його цифра є простим числом. Знайдіть усі хороші трицифрові числа, квадрати яких є хорошими п’ятицифровими числами.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-010

Квадратні многочлени з піфагоровою тотожністю

Нехай PP, QQ, RR — квадратні многочлени з цілими коефіцієнтами, які мають такі властивості: P(1)=P(2)=Q(3)=0P(1) = P(2) = Q(3) = 0. P(x)2+Q(x)2=R(x)2P(x)^2 + Q(x)^2 = R(x)^2 для всіх дійсних xx. Не існує цілого числа, не меншого за 22, яке ділить усі коефіцієнти многочленів PP, QQ, RR. Старші коефіцієнти многочленів PP і QQ відмінні від 00, а старший коефіцієнт многочлена RR додатний. Знайдіть усі можливі многочлени R(x)R(x), що задовольняють наведені вище умови.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-014

Кількість відображень підмножин шестиелементної множини з умовою

Нехай S={1,2,…,6}S = \{1, 2, \dots, 6\}. Нехай S\mathcal{S} — множина всіх підмножин SS. Скільки існує відображень F:S→SF: \mathcal{S} \to \mathcal{S}, які задовольняють таку умову: F(F(A)∪B)=A∩F(B) для будь-якої пари підмножин S.F(F(A) \cup B) = A \cap F(B) \text{ для будь-якої пари підмножин } S.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-002

Показникове рівняння з квадратною основою

Знайдіть усі дійсні розв'язки рівняння (x2+3x+1)x2−x−6=1.(x^{2} + 3x + 1)^{x^{2} - x - 6} = 1.
10–11 класиПоказникові та логарифмічні рівня…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-011

Степенева сума при фіксованій сумі

Нехай aa, bb і cc — додатні дійсні числа такі, що a+b+c=3a + b + c = 3. Доведіть, що aa+bb+cc≥3.a^{a} + b^{b} + c^{c} \geq 3.
10–11 класиПоказникові та логарифмічні функц…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-008

Нерівність для суми та добутку дійсних чисел

Нехай x1,x2,x3,…,xnx_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n} — дійсні числа між 00 і 11 із сумою ss. Доведіть, що ∑i=1nxis+1−xi+∏i=1n(1−xi)≤1.\sum_{i = 1}^{n} \frac{x_{i}}{s + 1 - x_{i}} + \prod_{i = 1}^{n}(1 - x_{i}) \leq 1.
10–11 класиНерівність Коші
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-027

Симетрична сума обернених значень

а) Знайдіть значення суми 11+1/x+11+x\frac{1}{1+1/x}+\frac{1}{1+x} б) Знайдіть значення суми 12019−2019+1+…+12019−1+1+120190+1+120191+1+…+120192019+1\frac{1}{2019^{-2019}+1}+\ldots+\frac{1}{2019^{-1}+1}+\frac{1}{2019^{0}+1}+\frac{1}{2019^{1}+1}+\ldots+\frac{1}{2019^{2019}+1}
10–11 класиПеретворення дробів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-004

Побудова квадрата й добутку дозволеними операціями

Спочатку на дошці записано число 11 і два додатні числа xx та yy. Кожним ходом гравець може вибрати два числа на дошці, не обов'язково різні, і записати на дошку їх суму або їх різницю. Також можна вибрати ненульове число на дошці й записати обернене до нього число. Опишіть, як за скінченну кількість ходів можна отримати такі числа: a) x2x^{2}. b) xyx y.
8–9 класиПеретворення дробів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-035

Симетричні вирази з додатними дійсними числами

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа і xyx+y=a,xzx+z=b,іyzy+z=c\frac{x y}{x+y}=a, \quad \frac{x z}{x+z}=b, \quad \text{і} \quad \frac{y z}{y+z}=c a) Доведіть, що x=ayy−ax=\frac{a y}{y-a} b) Доведіть, що x=2abcac+bc−abx=\frac{2 a b c}{a c+b c-a b}
10–11 класиПеретворення дробів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-036

Властивості магічного квадрата 3×3

Квадрат 3×33 \times 3 заповнено числами a,b,c,d,e,f,g,ha, b, c, d, e, f, g, h і ii у такий спосіб: | cc | ff | ii | |:--- |:--- |:--- | | bb | ee | hh | | aa | dd | gg | Відомо, що це магічний квадрат, тобто існує значення SS, яке дорівнює сумам чисел у кожному рядку, стовпці та кожній з двох діагоналей. Доведіть, що: a) 2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4e2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4 e. b) S=3eS=3 e. c) ac+ci+ag+gi=e(b+d+f+h)a c+c i+a g+g i=e(b+d+f+h). d) 2(a2+c2+g2+i2)=b2+d2+f2+h2+4e22\left(a^{2}+c^{2}+g^{2}+i^{2}\right)=b^{2}+d^{2}+f^{2}+h^{2}+4 e^{2}.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-011

Цифри перших ста квадратів та остання цифра суми

Шафки 2019 учнів школи пронумеровано квадратами перших 2019 натуральних чисел, тобто перша шафка має номер 12=11^{2}=1, друга шафка має номер 22=42^{2}=4, третя шафка має номер 32=93^{2}=9, і так далі аж до останньої шафки, яка має номер 20192=4 076 3612019^{2}=4\,076\,361. а) Скільки цифр було використано для фарбування перших ста шафок? б) Якою є цифра одиниць суми всіх номерів шафок?
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-038

Нерівність суми чотирьох сусідніх чисел на колі

По колу розташовано 100 різних дійсних чисел. Доведіть, що існують чотири послідовні числа на колі такі, що сума двох середніх чисел менша за суму двох інших чисел.
10–11 класиЧислові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-015

Косіння трави зі зміною швидкості

Бронкінья може скосити траву на своєму подвір’ї за 3 години, але якщо він вип’є фруктовий сік Gummy, то скошує її за 2 години. Певного дня Бронкінья почав косити траву о 10-й годині й у певний момент випив фруктовий сік Gummy, а закінчив косити о 12 годині 30 хвилин. О котрій годині Бронкінья випив фруктовий сік Gummy?
8–9 класиЛінійні рівняння та системи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.