Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-016

Відстань між протилежними гранями октаедра

Правильний октаедр має довжину ребра 11. Знайдіть відстань між двома протилежними гранями.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-019

Проєкція тетраедра з рівнобедреним чотирикутником

Правильний тетраедр ABCDA B C D проєктують на площину, при цьому A,B,CA, B, C і DD переходять відповідно в A′,B′,C′A', B', C' і D′D'. Припустімо, що A′B′C′D′A' B' C' D' — опуклий чотирикутник з A′B′=A′D′A' B' = A' D' і C′B′=C′D′C' B' = C' D', а площа A′B′C′D′=4A' B' C' D' = 4. За цих умов множина можливих значень довжини ребра ABA B складається з усіх дійсних чисел з проміжку [a,b)[a, b). Обчисліть bb.
10–11 класиПлоща чотирикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-021

Площа трикутника за відрізками висоти

У трикутнику ABCABC з висотою ADAD відомо, що ∠BAC=45∘\angle BAC = 45^{\circ}, DB=3DB = 3 і CD=2CD = 2. Знайдіть площу трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-023

Відношення площ після трисекції шестикутника

Сторони правильного шестикутника поділено на три рівні частини, у результаті отримано 18 точок, включно з вершинами. Ці точки, починаючи з вершини, за годинниковою стрілкою позначено через A1,A2,…,A18A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{18}. Відрізок AkAk+4A_{k} A_{k+4} проведено для k=1,4,7,10,13,16k=1,4,7,10,13,16, де індекси беруться за модулем 18. Ці відрізки обмежують область, що містить центр шестикутника. Знайдіть відношення площі цієї області до площі великого шестикутника.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-026

Відношення площ у трикутнику з бісектрисою

У трикутнику ABCABC, AC=3ABAC = 3 AB. Нехай ADAD — бісектриса кута AA, причому точка DD лежить на стороні BCBC, а EE — основа перпендикуляра з CC на ADAD. Знайдіть [ABD]/[CDE][ABD]/[CDE]. (Тут [XYZ][XYZ] позначає площу трикутника XYZXYZ.)
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-030

Об'єм кубоктаедра з одиничним ребром

Кубоктаедр — це многогранник, гранями якого є квадрати й рівносторонні трикутники, причому навколо кожної вершини чергуються два квадрати і два трикутники, як показано. Чому дорівнює об'єм кубоктаедра з довжиною ребра 11?
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-033

Точки дотику вписаного кола та відображені перетини

Трикутник ABCABC має вписане коло ω\omega, яке дотикається до сторони ABAB у точці C1C_1, до сторони BCBC у точці A1A_1 і до сторони CACA у точці B1B_1. Нехай A2A_2 — точка, симетрична A1A_1 відносно середини сторони BCBC, а точки B2B_2 і C2C_2 означено аналогічно. Нехай A3A_3 — точка перетину відрізка AA2AA_2 з колом ω\omega, ближча до AA, а точки B3B_3 і C3C_3 означено аналогічно. Якщо AB=9AB=9, BC=10BC=10 і CA=13CA=13, знайдіть [A3B3C3]/[ABC]\left[A_3 B_3 C_3\right] / [ABC]. (Тут [XYZ][XYZ] позначає площу трикутника XYZXYZ.)
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-034

Ікосаедр, вписаний в октаедр

Дано правильний октаедр ABCDEFA B C D E F такий, що відрізки ADA D, BEB E і CFC F перпендикулярні. Нехай GG, HH і II лежать на ребрах ABA B, BCB C і CAC A відповідно так, що AGGB=BHHC=CIIA=ρ\frac{A G}{G B}=\frac{B H}{H C}=\frac{C I}{I A}=\rho. Для деякого ρ>1\rho>1 відрізки GHG H, HIH I і IGI G є трьома ребрами правильного ікосаедра, вісім граней якого вписані в грані октаедра ABCDEFA B C D E F. Знайдіть ρ\rho.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-037

Розфарбування цілочисельної решітки з умовою симетрії

Скільки існує способів розфарбувати множину впорядкованих пар цілих чисел у червоний і синій кольори так, щоб для всіх aa і bb точки (a,b)(a, b), (−1−b,a+1)(-1-b, a+1) і (1−b,a−1)(1-b, a-1) були одного кольору?
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-038

Області площини, обмежені кривою шостого степеня

Скільки областей площини обмежує графік рівняння x6−x5+3x4y2+10x3y2+3x2y4−5xy4+y6=0?x^{6}-x^{5}+3 x^{4} y^{2}+10 x^{3} y^{2}+3 x^{2} y^{4}-5 x y^{4}+y^{6}=0 ?
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2005-004

Найкоротша мережа для точок решітки

Нехай E={−1,0,1}E=\{-1,0,1\} і MM — множина точок цілочисельної решітки площини. Точки множини MM з'єднано між собою мережею відрізків (S)(S) так, що від кожної точки з MM до кожної іншої точки з MM можна дістатися, не виходячи з мережі (S)(S). При цьому відрізки мережі, крім точок решітки, можуть містити також інші кінцеві точки. Знайти найменшу загальну довжину мережі відрізків, якщо: a) M={(i,j)∣i,j∈EM=\{(i, j) \mid i, j \in E і i⋅j=0}i \cdot j=0\} b) M={(i,j)∣i,j∈E}M=\{(i, j) \mid i, j \in E\}
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2005-017

Симетричний образ точки кола відносно діаметра

Нехай дано коло KK і пряму gg, які не мають спільних точок. Нехай далі AB‾\overline{AB} — діаметр кола KK, перпендикулярний до прямої gg, причому BB лежить ближче до gg, ніж AA. Нехай далі задано довільну точку CC, відмінну від AA і BB, на колі KK. Пряма ACAC перетинає gg в точці DD; пряма DEDE дотикається до кола KK в точці EE, причому BB і EE лежать з одного боку від прямої ACAC. Нарешті BEBE перетинає пряму gg у точці FF, а AFAF перетинає коло KK, окрім AA, у точці GG. Доведіть, що точка, симетрична GG відносно осі ABAB, лежить на прямій CFCF.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2005-005

Розбиття правильного многокутника на паралелограми

Нехай n≥1n \geq 1 — натуральне число. Правильний 4n4 n-кутник довільним чином розбито на скінченну кількість паралелограмів. a. Доведіть, що принаймні один з паралелограмів розбиття є прямокутником. b. Знайдіть суму площ усіх прямокутників розбиття.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2005-007

Спільна дотична до двох дотичних кіл усередині третього

Нехай k1k_{1} і k2k_{2} — два кола, які зовнішньо дотикаються в точці PP. Третє коло kk дотикається до k1k_{1} у точці BB і до k2k_{2} у точці CC, так що k1k_{1} і k2k_{2} лежать усередині кола kk. Нехай AA — одна з точок перетину кола kk зі спільною дотичною до кіл k1k_{1} і k2k_{2}, проведеною через PP. Прямі ABA B і ACA C вдруге перетинають кола k1k_{1} і k2k_{2} відповідно в точках RR і SS. Доведіть, що пряма RSR S — спільна дотична до кіл k1k_{1} і k2k_{2}.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2005-012

Сума кутів у побудові з правильним многокутником

Нехай A1A2…AnA_{1} A_{2} \ldots A_{n} — правильний nn-кутник. Точки B1,…,Bn−1B_{1}, \ldots, B_{n-1} визначено так: - Для i=1i=1 або i=n−1i=n-1 точка BiB_{i} — середина сторони AiAi+1A_{i} A_{i+1}; - Для i≠1,i≠n−1i \neq 1, i \neq n-1 нехай SS — точка перетину відрізків A1Ai+1A_{1} A_{i+1} і AnAiA_{n} A_{i}. Точка BiB_{i} — це тоді точка перетину бісектриси кута ∡AiSAi+1\Varangle A_{i} S A_{i+1} зі стороною AiAi+1A_{i} A_{i+1}. Доведіть, що виконується ∡A1B1An+∡A1B2An+…+∡A1Bn−1An=180∘\Varangle A_{1} B_{1} A_{n}+\Varangle A_{1} B_{2} A_{n}+\ldots+\Varangle A_{1} B_{n-1} A_{n}=180^{\circ}
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2005-013

Вписаний чотирикутник із проєкцій на сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH, а MM і NN — дві точки на прямій BCBC, такі, що MN→=BC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}. Нехай PP і QQ — проєкції точок MM і NN відповідно на прямі ACAC і ABAB. Доведіть, що APHQAPHQ — вписаний чотирикутник.
10–11 класиПаралельний перенос
Італійська математична олімпіадаITAMO-2005-001

Рівні відрізки у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у AA, причому AB>ACAB > AC; нехай AHAH — висота, проведена до гіпотенузи. На прямій BCBC візьмемо точку DD таку, що HH — середина відрізка BDBD; нехай далі EE — основа перпендикуляра, проведеного з CC до прямої ADAD. Доведіть, що EH=AHEH = AH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-003

Нерівності трикутника при фіксованій сумі

a, b, c — три додатні дійсні числа такі, що a+b+c=1a+b+c=1. Яка з наведених нижче умов рівносильна тому, що a,b,ca, b, c є довжинами сторін невиродженого трикутника? (A) 0<∣b−a∣<12, 0<∣c−b∣<12, 0<∣c−a∣<120<|b-a|<\frac{1}{2},\ 0<|c-b|<\frac{1}{2},\ 0<|c-a|<\frac{1}{2} (B) a<12, b<12, c<12a<\frac{1}{2},\ b<\frac{1}{2},\ c<\frac{1}{2} (C) a+b<12, b+c<12, c+a<12a+b<\frac{1}{2},\ \quad b+c<\frac{1}{2},\ \quad c+a<\frac{1}{2} (D) a≤13, b≤13, c≤13a \leq \frac{1}{3},\ b \leq \frac{1}{3},\ c \leq \frac{1}{3} (E) жодна з попередніх.
9–11 класиНерівність трикутника
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-006

Площа об'єднання околів двох відрізків

ABAB і CDCD — два відрізки, обидва завдовжки 44, зі спільною серединою MM і такі, що BM^D=60∘B \widehat{M} D = 60^\circ. Позначимо через XX множину всіх і лише тих точок, які знаходяться на відстані не більше 11 від принаймні одного з двох відрізків. Чому дорівнює площа множини XX? (A) 8−4338 - \frac{4}{3} \sqrt{3} (B) 16−83316 - \frac{8}{3} \sqrt{3} (C) 16−433+π16 - \frac{4}{3} \sqrt{3} + \pi (D) 16−833+2π16 - \frac{8}{3} \sqrt{3} + 2\pi (E) 8+2π8 + 2\pi.
9–11 класиПлоща кола і його частин
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-009

Куб, розрізаний двома площинами

Дано куб з ребром одиничної довжини (див. рисунок). Розглянемо площину, якій належать ребра ABAB і CDCD, і ту, якій належать ребра AEAE і FDFD. Ці дві площини розрізають куб на чотири частини. Який найбільший з об'ємів цих частин? (A) 14\frac{1}{4} (B) 13\frac{1}{3} (C) 24\frac{\sqrt{2}}{4} (D) 38\frac{3}{8} (E) 12\frac{1}{2}.
9–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-013

Кут C з рівностями AC'=AB' та BC'=BA'

ABCABC — трикутник з AC=BCAC = BC і ∠ACB<60∘\angle ACB < 60^{\circ}. Нехай A′A' і B′B' — дві точки на сторонах BCBC і ACAC відповідно такі, що AA′=BB′=ABAA' = BB' = AB. Нехай C′C' — перетин відрізків AA′AA' і BB′BB'. Відомо, що AC′=AB′AC' = AB' і BC′=BA′BC' = BA'. Чому дорівнює градусна міра кута ∠ACB\angle ACB?
9–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-015

Дотичні в точці дотику зовні дотичних кіл

Два кола C1C_{1} і C2C_{2} з центрами AA і BB дотикаються зовні в точці TT. Нехай BDB D — відрізок, дотичний до кола C1C_{1} в точці DD, а TCT C — відрізок, дотичний до обох кіл у точці TT, причому C∈BDC \in B D. Якщо ATA T дорівнює 80, а BTB T дорівнює 90, знайдіть довжину відрізка CDC D.
9–11 класиОзнаки подібності
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2005-001

Трапеція, утворена серединами сторін прямокутника

Нехай ABCDABCD — прямокутник, у якому ∣AD∣≤∣AB∣|AD| \leq |AB|. Нехай MM — середина відрізка ADAD, а NN — середина відрізка BCBC. Точка EE — проєкція точки BB на пряму CMCM. a. Доведіть, що чотирикутник ANEMANEM — рівнобічна трапеція. b. Доведіть, що площа чотирикутника ABNEABNE вдвічі менша за площу прямокутника ABCDABCD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2005-004

Проєкції внутрішньої точки при куті 60 градусів

Нехай ABCABC — трикутник із ∡BAC=60∘\Varangle BAC = 60^\circ. Знайдіть усі точки PP всередині цього трикутника з такою властивістю: Якщо DD — проєкція PP на пряму BCBC, EE — проєкція PP на пряму CACA і FF — проєкція PP на пряму ABAB, то ∡EDF=30∘\Varangle EDF = 30^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2005-008

Перетин кіл на діаметрах і ортоцентр

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. MM і NN — довільні точки на сторонах ABAB і ACAC відповідно. Кола з діаметрами BNBN і CMCM перетинаються в точках PP і QQ. Доведіть, що точки PP, QQ і ортоцентр трикутника ABCABC лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.