Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

59 задач
АлгебраДілення многочленів з остачею
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-002

Два непостійні многочлени з рівністю виразів

Чи існують два непостійних многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x)10+P(x)9=Q(x)21+Q(x)20?P(x)^{10} + P(x)^9 = Q(x)^{21} + Q(x)^{20}?
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-011

Функціональне рівняння для композиції многочленів

Чи існує натуральне число mm і многочлен P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами, для яких xm+x+2=P(P(x))x^m + x + 2 = P(P(x)) для всіх дійсних xx?
10–11 класиДілення многочленів з остачею2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-010

Подільність, що робить многочлен сталим

Нехай P(x)P(x) і Q(x)Q(x) — два многочлени з цілими коефіцієнтами, такі, що жоден несталий многочлен з раціональними коефіцієнтами не ділить одночасно P(x)P(x) і Q(x)Q(x). Припустимо, що для кожного натурального числа nn цілі числа P(n)P(n) і Q(n)Q(n) додатні, і 2Q(n)−12^{Q(n)}-1 ділить 3P(n)−13^{P(n)}-1. Доведіть, що Q(x)Q(x) — сталий многочлен.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-005

Многочлени зі спільним дільником

Знайдіть цілі числа aa, bb і cc такі, що многочлени P(x)=x9−x7−31x2−26x−17іQ(x)=x13−x11−ax2−bx−cP(x) = x^9 - x^7 - 31x^2 - 26x - 17 \quad \text{і} \quad Q(x) = x^{13} - x^{11} - a x^2 - b x - c мають спільний дільник.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-005

Ітерація многочлена та цілі t з Q(t) = t

Нехай P(x)P(x) — многочлен степеня n>1n > 1 з цілими коефіцієнтами, kk — довільне натуральне число. Розглянемо многочлен Q(x)=P(P(…P(P(x))…))Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots)) (тут PP застосовується kk разів). Доведіть, що існує не більше від nn цілих чисел tt таких, що Q(t)=tQ(t) = t.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2002-003

Цілі значення дробу з aᵐ та aⁿ

Знайдіть усі пари натуральних чисел m≥3m \ge 3, n≥3n \ge 3, для яких існує безліч натуральних чисел aa таких, що число am+a−1an+a2−1\dfrac{a^m + a - 1}{a^n + a^2 - 1} є цілим.
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Балтійський шляхBW-1992-009

Кубічний многочлен з трьома різними дійсними коренями

Многочлен f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c такий, що b<0b < 0 і ab=9ca b = 9 c. Доведіть, що многочлен має три різні дійсні корені.
10–11 класиМногочлени третього степеня
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2025-003

Сума n таких, що n + 2 ділить добуток

Знайдіть суму всіх додатних цілих чисел nn таких, що n+2n + 2 ділить добуток 3(n+3)(n2+9)3(n + 3)(n^2 + 9).
10–11 класиМіркування за модулем
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-003

Рефлексивний розклад добутку многочленів

Многочлен cdxd+cd−1xd−1+⋯+c1x+c0c_{d}x^{d} + c_{d - 1}x^{d - 1} + \dots + c_{1}x + c_{0} степеня dd називається рефлексивним, якщо існує ціле число n≥dn \geq d таке, що ci=cn−ic_{i} = c_{n - i} для кожного 0≤i≤n0 \leq i \leq n, де ci=0c_{i} = 0 при i>di > d. Нехай ℓ≥2\ell \geq 2 — ціле число, а p(x)p(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами. Доведіть, що існують рефлексивні многочлени q(x),r(x)q(x), r(x) із цілими коефіцієнтами такі, що (1+x+x2+⋯+xℓ−1)p(x)=q(x)+xℓr(x).(1 + x + x^{2} + \dots + x^{\ell -1})p(x) = q(x) + x^{\ell}r(x).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-007

Цілі корені послідовності многочленів

Нехай (Pn)n∈N\left(P_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — послідовність многочленів з цілими коефіцієнтами. Припустимо, що існує монічний многочлен з цілими коефіцієнтами QQ такий, що Pn+1−Pn=QP_{n+1}-P_{n}=Q для всіх n⩾0n \geqslant 0. Припустимо далі, що для всіх n⩾0n \geqslant 0 многочлен PnP_{n} має цілий корінь. Доведіть, що виконується один із двох наступних випадків: - P0P_{0} і QQ мають спільний цілий корінь - Існує многочлен з цілими коефіцієнтами RR такий, що P0=RQP_{0}=RQ і степінь RR дорівнює 1.
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-052

Функції на многочленах, що зберігають подільність

Нехай Z[X]\mathbb{Z}[X] — множина многочленів із цілими коефіцієнтами. Знайдіть усі функції f:Z[X]→Z[X]f: \mathbb{Z}[X] \rightarrow \mathbb{Z}[X] такі, що для всіх P,Q∈Z[X]P, Q \in \mathbb{Z}[X] і r∈Zr \in \mathbb{Z} виконується P(r)∣Q(r)⟺(f(P))(r)∣(f(Q))(r)P(r)|Q(r) \Longleftrightarrow (f(P))(r)|(f(Q))(r)
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2023-004

Образи множин дільників під дією многочлена

Нехай f(x)f(x) — неконстантний многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що f(1)≠1f(1) \neq 1. Для натурального числа nn позначимо через divs⁡(n)\operatorname{divs}(n) множину додатних дільників числа nn. Натуральне число mm є ff-крутим, якщо існує натуральне число nn, для якого f[divs⁡(m)]=divs⁡(n)f[\operatorname{divs}(m)]=\operatorname{divs}(n) Доведіть, що для будь-якого такого ff існує лише скінченна кількість ff-крутих чисел. (Позначення f[S]f[S] для деякої множини SS означає множину {f(s):s∈S}\{f(s): s \in S\}.)
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-099

Многочлени з оберненим функціональним рівнянням

Знайдіть з доведенням усі непостійні многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що для всіх ненульових дійсних чисел zz, для яких P(z)≠0P(z) \neq 0 і P(1z)≠0P\left(\frac{1}{z}\right) \neq 0 виконується 1P(z)+1P(1z)=z+1z\frac{1}{P(z)}+\frac{1}{P\left(\frac{1}{z}\right)}=z+\frac{1}{z}
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-051

Корені суми на одиничному колі

Обчисліть кількість комплексних чисел zz, для яких ∣z∣=1|z|=1 і виконується рівність 1+z5+z10+z15+z18+z21+z24+z27=01+z^{5}+z^{10}+z^{15}+z^{18}+z^{21}+z^{24}+z^{27}=0
10–11 класиМногочлени ділення кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-005

Монічний цілочисловий многочлен, кратний степеню простого числа

Нехай pp — просте число, mm — натуральне число. Знайдіть найменше ціле число dd таке, що існує монічний многочлен QQ степеня dd з цілими коефіцієнтами такий, що для кожного цілого числа nn виконується pm∣Q(n)p^{m} \mid Q(n).
8–10 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-036

Найменший степінь для подільності многочлена за модулем 3

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що многочлен (x+1)n−1(x+1)^{n}-1 «ділиться на x2+1x^{2}+1 за модулем 3», а точніше, виконується будь-яка з таких еквівалентних умов: - існують многочлени P,QP, Q з цілими коефіцієнтами такі, що (x+1)n−1=(x2+1)P(x)+3Q(x)(x+1)^{n}-1=\left(x^{2}+1\right) P(x)+3 Q(x); - або, більш концептуально, остача від ділення (многочлена) (x+1)n−1(x+1)^{n}-1 на (многочлен) x2+1x^{2}+1 є многочленом з (цілими) коефіцієнтами, усі з яких діляться на 3.
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-116

Рівність четвертого степеня для коренів квадратного рівняння

Знайдіть усі дійсні значення AA, для яких існують різні комплексні числа x1,x2x_{1}, x_{2} такі, що виконуються такі три рівності: x1(x1+1)=Ax2(x2+1)=Ax14+3x13+5x1=x24+3x23+5x2.\begin{aligned} x_{1}(x_{1}+1) & =A \\ x_{2}(x_{2}+1) & =A \\ x_{1}^{4}+3 x_{1}^{3}+5 x_{1} & =x_{2}^{4}+3 x_{2}^{3}+5 x_{2} . \end{aligned}
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-004

Частка від ділення многочленів

Джуліо пише многочлен P1(x)P_{1}(x) і інший многочлен P2(x)P_{2}(x), добуток множників першого степеня, що має степінь строго більший за попередній. Виконуючи ділення P2(x)P_{2}(x) на P1(x)P_{1}(x), одержуємо остачу 00. Нехай Q(x)Q(x) — частка від цього ділення. Яке з наступних тверджень завжди істинне? (A) Q(x)Q(x) може бути сталою (B) Якщо P2(a)=0P_{2}(a)=0, то Q(a)=0Q(a)=0 (C) Існує дійсне число aa таке, що P2(a)=Q(a)=0P_{2}(a)=Q(a)=0 (D) Q(x)Q(x) неодмінно має степінь менший за P1(x)P_{1}(x) (E) Якщо P1(a)=0P_{1}(a)=0, то Q(a)=0Q(a)=0.
9–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2010-004

Цілі значення многочленів на факторіальній послідовності

Нехай P(x)P(x) і Q(x)Q(x) — многочлени з цілими коефіцієнтами. Нехай an=n!+na_n = n! + n. Доведіть, що якщо P(an)/Q(an)P(a_n)/Q(a_n) є цілим числом для кожного nn, то P(n)/Q(n)P(n)/Q(n) є цілим числом для кожного цілого nn, такого, що Q(n)≠0Q(n) \neq 0.
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-076

Остача від ділення степеня бінома на квадратний тричлен

Яка остача від ділення (1+x)2010(1+x)^{2010} на 1+x+x21+x+x^{2}?
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Відбіркові тести на IMOTST-2010-029

Симетричний многочлен через підстановку

Нехай PP — дійсний многочлен, такий, що для всіх дійсних xx виконується рівність P(x)=P(1−x)P(x)=P(1-x). Доведіть, що існує дійсний многочлен QQ такий, що P(x)=Q(x(1−x))P(x)=Q(x(1-x))
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією3 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2009-015

Розклад многочлена на множники з цілими коефіцієнтами

Франческо хоче записати многочлен x16+xx^{16}+x як добуток кількох многочленів з цілими коефіцієнтами, кожен зі степенем принаймні 1. Скільки множників щонайбільше він зможе отримати? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5.
9–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-010

Многочлени, що задовольняють функціональне рівняння

Обидві функції f(x)f(x) та g(x)g(x) — многочлени з дійсними коефіцієнтами, які не є тотожно нульовими. Припустимо, що вони задовольняють таке функціональне рівняння: f(x3)+g(x)=f(x)+x5g(x)f(x^3) + g(x) = f(x) + x^5g(x) Наведіть приклад такої функції f(x)f(x) з найменшим можливим степенем.
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-003

Кубічний многочлен із симетричною подільністю

Знайдіть один із многочленів f(x,y,z)f(x, y, z) степеня 33 з дійсними коефіцієнтами, який задовольняє такі умови. • f(x,y,z)+xf(x, y, z) + x ділиться на y+zy + z • f(x,y,z)+yf(x, y, z) + y ділиться на z+xz + x • f(x,y,z)+zf(x, y, z) + z ділиться на x+yx + y Те, що многочлен P(x,y,z)P(x, y, z) ділиться на многочлен Q(x,y,z)Q(x, y, z), означає, що існує такий многочлен R(x,y,z)R(x, y, z), що виконується P(x,y,z)=Q(x,y,z)R(x,y,z)P(x, y, z) = Q(x, y, z)R(x, y, z).
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-110

Сума дійсних коренів рівняння шостого степеня

Обчисліть суму всіх дійсних чисел xx таких, що 2x6−3x5+3x4+x3−3x2+3x−1=02 x^{6}-3 x^{5}+3 x^{4}+x^{3}-3 x^{2}+3 x-1=0
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.