Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

66 задач
КомбінаторикаДвочасткові графи
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-007

Найменше фішок двох кольорів на n×n з парним набором

Для кожного натурального n⩾4n \geqslant 4 знайдіть найменше натуральне число kk, яке задовольняє таку властивість: для довільного розташування kk фішок двох кольорів по клітинках дошки розміром n×nn \times n (не більше однієї фішки в клітинці) з них можна вибрати такий непорожній набір, щоб у кожному рядку й у кожному стовпчику стояла парна (можливо, нульова) кількість фішок кожного кольору.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-023

Підмножина без фіксованої різниці

Нехай tt — ненульове дійсне число, а nn — натуральне число. Нехай a1,a2,…,a2n−1a_1, a_2, \dots, a_{2n-1} — дійсні числа (не обов’язково різні). Доведіть, що існують індекси i1<i2<⋯<ini_1 < i_2 < \dots < i_n такі, що aik−ail≠ta_{i_k} - a_{i_{l}} \neq t для будь-яких 1≤k,l≤n1 \le k, l \le n.
10–11 класиДвочасткові графи
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-003

Таблиця n × n з невід’ємними туровими сумами

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. В Елвіна є таблиця розміром n×nn \times n, що заповнена дійсними числами (у кожній клітинці рівно одне число). Назвемо туровою множину з nn клітинок, що розташовані в nn різних рядках та в nn різних стовпцях. Припустимо, що сума чисел у клітинках довільної турової множини невід’ємна. За один хід Елвін вибирає рядок і стовпець, а також дійсне число aa. Далі він додає до кожного числа у вибраному рядку число aa, віднімає від кожного числа вибраного стовпця число aa (тобто число, що розташоване на перетині рядка та стовпця, не змінюється). Доведіть, що за скінченну кількість ходів Елвін може досягти того, щоб усі числа в таблиці стали невід’ємними.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-023

Монотонні підмножини та середній розмір

У школі з nn учнями треба вибрати команду учнів для прибирання школи. Команда учнів називається хорошою, якщо директор школи вважає, що вони зможуть прибрати школу. Відомо, що принаймні одна команда є хорошою і що якщо команда є хорошою, то вона залишиться хорошою після долучення будь-якого іншого учня. Доведіть, що середня кількість учнів у хороших командах становить щонайменше n2\frac{n}{2}.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-003

Непарний замкнений маршрут з рейсами різних авіакомпаній

У країні є n⩾3n \geqslant 3 аеропортів та nn авіакомпаній, що здійснюють двосторонні рейси на певних авіалініях. Для кожної авіакомпанії є непарне число m⩾3m \geqslant 3 та mm різних аеропортів c1,…,cmc_1, \ldots, c_m, для яких усі рейси цієї авіакомпанії — це рейси між такими парами міст: c1c_1 та c2c_2, c2c_2 та c3c_3, …\ldots, cm−1c_{m-1} та cmc_m, cmc_m та c1c_1. Доведіть, що існує замкнений маршрут, що складається з непарної кількості рейсів, у якому жодні два рейси не здійснюються однією авіакомпанією.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-028

Червоний повний двочастковий підграф у розфарбованому графі

Граф має 20162016 вершин. Усі ребра графа пофарбовано в синій або червоний колір. Відомо, що граф не містить синього шляху на 10621062 вершинах. Доведіть, що можна вибрати дві неперетинні множини по 477477 вершин кожна, такі, що всі ребра між цими множинами червоні.
10–11 класиШляхи на графах
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-003

Найменша кількість блакитних клітинок таблиці 4m × 4m

Нехай mm — натуральне число. Розглянемо таблицю розміром 4m×4m4m \times 4m, що складається з одиничних клітинок. Дві різні клітинки назвемо пов’язаними одна з одною, якщо вони знаходяться в одному рядку чи в одному стовпчику. Жодна клітинка не є пов’язаною сама із собою. Деякі клітинки пофарбовані блакитним кольором так, що кожна клітинка дошки пов’язана хоча б із двома блакитними клітинками. Визначте найменшу можливу кількість блакитних клітинок.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-010

Перебудова ребер графа зі збереженням зв’язності

У місті є n⩾3n \geqslant 3 островів. Спочатку поромна компанія пропонує деякі маршрути між деякими парами островів так, що неможливо поділити острови на дві групи так, щоб жодні два острови з різних груп не були сполучені поромним маршрутом. Після кожного року поромна компанія закриватиме поромний маршрут між деякими двома островами XX і YY. Водночас, щоб підтримувати обслуговування, компанія відкриватиме нові маршрути за таким правилом: для будь-якого острова, який сполучений поромним маршрутом рівно з одним із XX і YY, додається новий маршрут між цим островом та іншим із XX і YY. Припустімо, що в будь-який момент, якщо ми розіб’ємо всі острови на дві непорожні групи будь-яким способом, то відомо, що поромна компанія через кілька років закриє певний маршрут, що сполучає два острови з цих двох груп. Доведіть, що через кілька років з’явиться острів, який буде сполучений поромними маршрутами з усіма іншими островами.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-030

Розфарбування шапок з обмеженням на степінь

Є великий натовп хлопців і дівчат. Чи завжди можна роздати їм шапки 100100 кольорів (кожен отримує одну шапку) так, що якщо деякий хлопець знайомий принаймні з 20142014 дівчатами, то ці дівчата мають шапки принаймні 22 кольорів, і те саме виконується для дівчат: якщо деяка дівчина знайома принаймні з 20142014 хлопцями, то ці хлопці мають шапки принаймні 22 кольорів?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-011

Перестановка фішок із циклічною зміною кольорів

Стовпці та рядки квадратної дошки 3n×3n3n \times 3n пронумеровано числами 1,2,…,3n1, 2, \ldots, 3n. Кожну клітинку (x,y)(x, y) з 1≤x,y≤3n1 \leq x, y \leq 3n пофарбовано у спаржевий, візантійський або цитриновий колір залежно від остачі за модулем 33 числа x+yx+y, яка дорівнює 00, 11 чи 22 відповідно. На кожну клітинку покладено по одній фішці спаржевого, візантійського або цитринового кольору так, що кожного кольору є 3n23n^{2} фішок. Припустимо, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше dd від свого початкового положення, кожна спаржева фішка замінить візантійську фішку, кожна візантійська фішка замінить цитринову фішку, а кожна цитринова фішка замінить спаржеву фішку. Доведіть, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше d+2d+2 від свого початкового положення, і кожна клітинка міститиме фішку того самого кольору, що й клітинка.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-022

Незалежні множини та розбиття на комітети

Парламент деякої країни складається з кількох осіб, деякі з них дружать між собою. Комп'ютер друкує всі списки членів парламенту такі, що жодні дві особи в одному списку не дружать між собою. Кількість цих списків (включно з порожнім списком) дорівнює MM. Члени парламенту хочуть утворити два комітети — старший комітет AA та молодший комітет BB, такі, що: 1) комітети можуть бути порожніми, можуть перетинатися або навіть збігатися; 2) наявність друзів усередині кожного комітету дозволена, але жодна особа з комітету AA не має друга в комітеті BB (вважаємо, що ніхто не дружить сам із собою); 3) на спільних засіданнях комітетів AA і BB усіх осіб можна поділити на дві групи так, щоб усередині кожної групи не було друзів. Доведіть, що кількість способів обрати ці комітети дорівнює M2M^2.
10–11 класиБієкції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-023

Максимальна множина з обмеженими попарними сумами

Знайдіть найбільше nn, для якого існує множина з nn чисел таких, що ці числа не діляться на 77, 1111 і 1313, але сума будь-яких двох з них ділиться або на 77, або на 1111, або на 1313.
10–11 класиДвочасткові графи
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2025-003

Збереження множин суперників при перестановці

Група з 4050 друзів грає в турнірі з відеоігор. Для цього є 2025 комп'ютерів в одній кімнаті, позначених a1,…,a2025a_1, \dots, a_{2025}, і 2025 комп'ютерів в іншій кімнаті, позначених b1,…,b2025b_1, \dots, b_{2025}. Гравець на комп'ютері aia_i завжди грає проти гравців на bib_i, bi+2b_{i+2}, bi+3b_{i+3} та bi+4b_{i+4} (зокрема, не проти bi+1b_{i+1}), причому комп'ютери нумеруються циклічно. Після першого раунду всі гравці обирають комп'ютер у своїй кімнаті для другого раунду. Потім вони помічають, що кожен у другому раунді має тих самих суперників, що й у першому раунді. Доведіть, що якщо хтось обрав той самий комп'ютер в обох раундах, то кожен обрав той самий комп'ютер в обох раундах.
10–11 класиДвочасткові графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-021

Покриття пар великими підмножинами

Нехай NN — натуральне число. Припустимо, що існують чотири підмножини A1A_{1}, A2A_{2}, A3A_{3} і A4A_{4} множини {1,…,N}\{1, \ldots, N\}, кожна потужності 500500, і припустимо, що для будь-яких x,yx, y з {1,…,N}\{1, \ldots, N\} існує індекс ii такий, що xx і yy містяться в AiA_{i}. Знайдіть найбільше можливе значення NN.
8–10 класиДвочасткові графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-050

Ідентифіковні команди з наборами кольорів

Перед чемпіонатом кожна команда-учасниця пропонує не більше tt різних кольорів для своєї форми. Множина SS команд називається ідентифіковною, якщо кожній команді з SS можна призначити колір, що зустрічається в її наборі пропозицій і не зустрічається в наборі кольорів жодної іншої команди. Якщо через nn позначено загальну кількість різних запропонованих кольорів, визначте найбільше ціле число g(n,t)g(n, t) таке, що завжди можна знайти ідентифіковну множину команд розміру щонайменше g(n,t)g(n, t).
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-138

Двоколірне розфарбування дошки з випадковими діагоналями

У кожній клітинці клітинної дошки 4×44 \times 4 одну з двох діагоналей проведено навмання рівномірно. Обчисліть імовірність того, що отримані 32 трикутні області можна пофарбувати в червоний і синій кольори так, щоб будь-які дві області зі спільним ребром мали різні кольори.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-039

Перестановки, що зберігають простоту сум

Обчисліть кількість перестановок π\pi множини {1,2,…,10}\{1,2, \ldots, 10\} таких, що для всіх (не обов'язково різних) m,n∈{1,2,…,10}m, n \in\{1,2, \ldots, 10\}, для яких m+nm+n — просте, сума π(m)+π(n)\pi(m)+\pi(n) також є простою.
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові тести на IMOTST-2022-015

Гра з монетами на графі з квотами вершин

Дано (простий) граф GG з n≥2n \geq 2 вершинами v1,v2,…,vnv_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} і m≥1m \geq 1 ребрами, Жоель і Роберт грають у таку гру з mm монетами: i) Спочатку Жоель приписує кожній вершині viv_{i} невід'ємне ціле число wiw_{i} таке, що w1+⋯+wn=mw_{1}+\cdots+w_{n}=m. ii) Потім Роберт вибирає (можливо, порожню) підмножину ребер, і для кожного вибраного ребра він кладе монету рівно на один із двох його кінців, а потім вилучає це ребро з графа. Коли він закінчить, кількість монет на кожній вершині viv_{i} має бути не більшою за wiw_{i}. iii) Потім Жоель робить те саме для всіх ребер, що залишилися. iv) Жоель перемагає, якщо кількість монет на кожній вершині viv_{i} дорівнює wiw_{i}. Визначте всі графи GG, для яких Жоель має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-005

Уникнення непарного циклу в грі на графі

Девід і Джейкоб грають у гру зі з’єднання n≥3n \geq 3 точок, намальованих на площині. Жодні три з точок не лежать на одній прямій. Кожного свого ходу гравець вибирає дві точки, щоб з’єднати їх новим відрізком. Гравець, який першим завершить цикл, що складається з непарної кількості відрізків, програє гру. (Обидва кінці кожного відрізка в циклі мають бути серед nn заданих точок, а не точками, які виникають пізніше як перетини відрізків.) Якщо Девід ходить першим, визначте всі nn, для яких він має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-055

Транзитивні відношення дружби й ворожнечі

На вечірці п'ятеро людей. Кожні двоє з них — друзі, вороги або френемі (що рівносильно тому, що вони одночасно і друзі, і вороги). Відомо, що для будь-яких трьох людей AA, BB, CC: - Якщо AA і BB — друзі, а BB і CC — друзі, то AA і CC — друзі; - Якщо AA і BB — вороги, а BB і CC — вороги, то AA і CC — друзі; - Якщо AA і BB — друзі, а BB і CC — вороги, то AA і CC — вороги. Скільки існує можливих конфігурацій стосунків між цими п'ятьма людьми?
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-005

Ациклічні орієнтації та непарні цикли

Нехай GG — неорієнтований простий граф. Нехай f(G)f(G) — кількість способів орієнтувати всі ребра графа GG в одному з двох можливих напрямів так, щоб утворений орієнтований граф не містив орієнтованих циклів. Доведіть, що f(G)f(G) кратне 33 тоді й лише тоді, коли GG має цикл непарної довжини.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-048

Графи без трикутників із 23 ребрами

Скільки існує графів на 1010 вершинах з мітками 1,2,…,101,2, \ldots, 10, які мають рівно 2323 ребра і не містять трикутників?
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2018-031

Орієнтований 2-регулярний граф і його 1-регулярні підграфи

У країні Однобамії деякі пари міст сполучені дорогами з одностороннім рухом. Кожна дорога сполучає рівно два міста (дорогам дозволено перетинатися, наприклад, через мости), а між кожною парою міст є не більше однієї дороги. Ба більше, з кожного міста виходять рівно дві дороги і в кожне місто входять рівно дві дороги. Ми хочемо закрити половину доріг Однобамії так, щоб з кожного міста виходила рівно одна дорога і в кожне місто входила рівно одна дорога. Доведіть, що кількість способів зробити це є степенем двійки, більшим за 1 (тобто має вигляд 2n2^n для деякого цілого числа n≥1n \ge 1).
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-066

Парування у двочастковому графі зі степенем 2

У кімнаті є 2017 жаб і 2017 ропух. Кожна жаба дружить рівно з 2 різними ропухами. Нехай NN — кількість способів розподілити всіх жаб у пари з дружніми їм ропухами так, щоб жодна ропуха не була в парі більш ніж з однією жабою. Нехай DD — кількість різних можливих значень NN, а SS — сума всіх можливих значень NN. Знайдіть впорядковану пару (D,S)(D, S).
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-086

Найбільша кількість придатних пар за єдиного парування

Є nn дівчат G1,…,GnG_{1}, \ldots, G_{n} і nn хлопців B1,…,BnB_{1}, \ldots, B_{n}. Пара (Gi,Bj)(G_{i}, B_{j}) називається придатною тоді й лише тоді, коли дівчина GiG_{i} готова вийти заміж за хлопця BjB_{j}. Відомо, що існує рівно один спосіб поставити кожну дівчину в пару з окремим хлопцем, за якого вона готова вийти заміж. Яка найбільша можлива кількість придатних пар?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.