Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

68 задач
Теорія чиселФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-096

Упорядковані пари з НСД і квадратичною сумою

Обчисліть кількість впорядкованих пар натуральних чисел (a,b)(a, b), які задовольняють рівняння НСД(a,b)⋅a+b2=10000.\text{НСД}(a, b) \cdot a + b^2 = 10000.
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-112

Сума за дільниками з функцією Ейлера

Нехай nn — добуток перших 10 простих чисел, і нехай S=∑xy∣nφ(x)⋅yS=\sum_{x y \mid n} \varphi(x) \cdot y де φ(x)\varphi(x) позначає кількість натуральних чисел, не більших за xx, які є взаємно простими з xx, а сума береться за всіма впорядкованими парами (x,y)(x, y) натуральних чисел, для яких xyx y ділить nn. Обчисліть Sn\frac{S}{n}.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-120

Сума кількості цифр степенів

Натуральне число NN називається пікантним, якщо існує натуральне число mm таке, що якщо nin_{i} позначає кількість цифр числа mim^{i} (у десятковому записі), то n1+n2+⋯+n10=Nn_{1}+n_{2}+\cdots+n_{10}=N. Нехай pMp_{M} позначає частку пікантних серед перших MM натуральних чисел. Знайдіть lim⁡M→∞pM\lim _{M \rightarrow \infty} p_{M}.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-033

Сума обернених чисел із цілою умовою на функцію Ейлера

Нехай φ(n)\varphi(n) позначає кількість натуральних чисел, не більших за nn, які взаємно прості з nn. Нехай SS — множина натуральних чисел nn таких, що 2nφ(n)\frac{2 n}{\varphi(n)} є цілим числом. Обчисліть суму ∑n∈S1n\sum_{n \in S} \frac{1}{n}
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-012

Пари з функцією Ейлера та НСД

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких a+b=φ(a)+φ(b)+НСД(a,b).a + b = \varphi(a) + \varphi(b) + \text{НСД}(a, b). Тут φ(n)\varphi(n) — кількість цілих чисел k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \dots, n\}, що задовольняють НСД(n,k)=1\text{НСД}(n, k) = 1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-018

Сума з функцією Ейлера

Нехай a0,a1,…,ada_{0}, a_{1}, \ldots, a_{d} — цілі числа такі, що НСД(a0,a1)=1\text{НСД}(a_{0}, a_{1})=1. Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 покладемо un=∑k=0dakφ(n+k)u_{n}=\sum_{k=0}^{d} a_{k} \varphi(n+k) Доведіть, що 1 — єдине натуральне число, яке ділить усі цілі числа unu_{n}. Нагадаємо, що φ(n+k)\varphi(n+k) — це кількість натуральних чисел ℓ<n+k\ell<n+k таких, що НСД(ℓ,n+k)=1\text{НСД}(\ell, n+k)=1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-010

Періодичні функції з модульним функціональним рівнянням

Нехай p=2017p=2017 — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — цілі числа за модулем pp. Функція f:Z→Fpf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{F}_p називається хорошою, якщо існує α∈Fp\alpha \in \mathbb{F}_p, α≢0( mod p)\alpha \not \equiv 0 (\bmod p), таке, що f(x)f(y)=f(x+y)+αyf(x−y)( mod p)f(x) f(y) = f(x+y) + \alpha^{y} f(x-y) \quad (\bmod p) для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. Скільки існує хороших функцій з найменшим періодом 20162016?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-079

Рівність значень функції Ейлера при множенні на 2019

Для заданого натурального числа nn визначимо φ(n)\varphi(n) як кількість натуральних чисел, не більших за nn, які не мають з nn спільних простих дільників. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких φ(2019n)=φ(n2)\varphi(2019 n)=\varphi\left(n^{2}\right)
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-089

Порядок за модулем і функція Ейлера

Для натуральних чисел aa і bb, таких, що aa взаємно просте з bb, визначимо ord⁡b(a)\operatorname{ord}_{b}(a) як найменше натуральне число kk таке, що b∣ak−1b \mid a^{k}-1, а φ(a)\varphi(a) — як кількість натуральних чисел, не більших за aa, які взаємно прості з aa. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що ord⁡n(m)<φ(n)10\operatorname{ord}_{n}(m)<\frac{\varphi(n)}{10} для всіх натуральних чисел mm, взаємно простих з nn.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-023

Факторіал як значення функції Ейлера

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що n!=φ(m)n! = \varphi(m), де φ\varphi — функція Ейлера. (Нагадаємо, що якщо m=p1α1⋯pkαkm = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}} де p1,…,pkp_{1}, \ldots, p_{k} — попарно різні прості числа, то φ(m)=m(1−1p1)⋯(1−1pk)\varphi(m) = m \left(1 - \frac{1}{p_{1}}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_{k}}\right).)
9–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2018-044

Прості многочлени з подільними значеннями

Простим многочленом назвемо многочлен P(x)P(x), коефіцієнти якого належать множині {−1,0,1}\{-1, 0, 1\}. Нехай nn — натуральне число, n>1n > 1. Знайдіть найменшу можливу кількість ненульових коефіцієнтів у простому многочлені nn-го степеня, значення якого при всіх цілих аргументах діляться на nn.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-063

Числа з умовою на суму функції Ейлера і кількості дільників

Для натурального числа nn позначимо через τ(n)\tau(n) кількість натуральних дільників числа nn, а через ϕ(n)\phi(n) — кількість натуральних чисел, що не перевищують nn і взаємно прості з nn. Назвемо натуральне число nn хорошим, якщо φ(n)+4τ(n)=n\varphi(n)+4 \tau(n)=n. Наприклад, число 4444 є хорошим, оскільки φ(44)+4τ(44)=44\varphi(44)+4 \tau(44)=44. Знайдіть суму всіх хороших натуральних чисел nn.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-071

Скінченність нерівності з функціями Ейлера та кількістю дільників

Нехай SS — множина натуральних чисел nn, для яких виконується нерівність ϕ(n)⋅τ(n)≥n33\phi(n) \cdot \tau(n) \geq \sqrt{\frac{n^{3}}{3}} де ϕ(n)\phi(n) — кількість натуральних чисел k≤nk \leq n, взаємно простих із nn, а τ(n)\tau(n) — кількість додатних дільників числа nn. Доведіть, що SS скінченна.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-072

Інтервали з взаємно простих пар і діофантових розв’язків

Нехай m,nm, n — натуральні числа з m≥nm \geq n. Нехай SS — множина пар (a,b)(a, b) взаємно простих натуральних чисел таких, що a,b≤ma, b \leq m і a+b>ma+b>m. Для кожної пари (a,b)∈S(a, b) \in S розглянемо невід’ємний цілочисельний розв’язок (u,v)(u, v) рівняння au−bv=na u-b v=n, вибраний з найменшим можливим v≥0v \geq 0, а через I(a,b)I(a, b) позначимо (відкритий) інтервал (v/a,u/b)(v / a, u / b). Доведіть, що I(a,b)⊆(0,1)I(a, b) \subseteq(0,1) для кожної пари (a,b)∈S(a, b) \in S, і що довільне фіксоване ірраціональне число α∈(0,1)\alpha \in(0,1) належить I(a,b)I(a, b) рівно для nn різних пар (a,b)∈S(a, b) \in S.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-084

Остачі ланцюга дільників за модулем 210

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна послідовність цілих чисел така, що aia_{i} ділить ai+1a_{i+1} для всіх i≥1i \geq 1, а bib_{i} — остача від ділення aia_{i} на 210210. Яка найбільша можлива кількість різних членів послідовності b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots?
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-014

Числа, взаємно прості з 200

Скільки натуральних чисел, менших за 100100, взаємно простих із 200200? (Два числа є взаємно простими, якщо їхній найбільший спільний дільник дорівнює 11.)
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-063

Рівняння з НСК із параметром

Скільки існує натуральних чисел kk таких, що k2013(a+b)=НСК(a,b)\frac{k}{2013}(a+b)=\text{НСК}(a, b) має розв'язок у натуральних числах (a,b)(a, b)?
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-064

Циклічна сума зі значеннями функції Ейлера

Для будь-якого натурального числа nn нехай N=φ(1)+φ(2)+…+φ(n)N=\varphi(1)+\varphi(2)+\ldots+\varphi(n). Доведіть, що існує послідовність a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N} яка містить рівно φ(k)\varphi(k) входжень числа kk для всіх натуральних чисел k≤nk \leq n така, що 1a1a2+1a2a3+⋯+1aNa1=1.\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{N} a_{1}}=1 .
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-065

Симетричні латинські квадрати та нижня оцінка

Для непарного натурального числа nn нехай f(n)f(n) позначає кількість матриць AA, що задовольняють такі умови: - AA — це n×nn \times n. - Кожен рядок і кожен стовпець містять кожне з 1,2,…,n1,2, \ldots, n рівно один раз у деякому порядку. - AT=AA^{T}=A. (Тобто елемент у рядку ii та стовпці jj дорівнює елементу в рядку jj та стовпці ii для всіх 1≤i,j≤n1 \leq i, j \leq n.) Доведіть, що f(n)≥n!(n−1)!φ(n)f(n) \geq \frac{n!(n-1)!}{\varphi(n)}.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-027

Комутативні нетривіальні перестановки множини

Нехай SS — множина {1,2,…,2012}\{1,2, \ldots, 2012\}. Перфектутацією назвемо бієктивну функцію hh з SS в себе таку, що існує a∈Sa \in S з h(a)≠ah(a) \neq a, і що для будь-якої пари цілих чисел a∈Sa \in S і b∈Sb \in S таких, що h(a)≠a,h(b)≠bh(a) \neq a, h(b) \neq b, існує натуральне число kk таке, що hk(a)=bh^{k}(a)=b. Нехай nn — кількість впорядкованих пар перфектутацій (f,g)(f, g) таких, що f(g(i))=g(f(i))f(g(i))=g(f(i)) для всіх i∈Si \in S, але f≠gf \neq g. Знайдіть остачу від ділення nn на 2011.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-034

Кількість різних коренів циклотомічного добутку

Нехай NN — кількість різних коренів многочлена ∏k=12012(xk−1)\prod_{k=1}^{2012}\left(x^{k}-1\right). Наведіть нижню та верхню межі LL і UU для NN. Якщо 0<L≤N≤U0<L \leq N \leq U, то ваш бал становитиме ⌊23(U/L)1.7⌋\left\lfloor\frac{23}{(U / L)^{1.7}}\right\rfloor. Інакше ваш бал дорівнюватиме 0.
10–11 класиФункція Мебіуса μ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-096

Оцінка ітерованої послідовності функції Ейлера

Нехай nn — натуральне число, а a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — набір натуральних чисел такий, що a1=2a_{1}=2 і am=φ(am+1)a_{m}=\varphi\left(a_{m+1}\right) для всіх 1≤m≤n−11 \leq m \leq n-1, де для всіх натуральних чисел kk через φ(k)\varphi(k) позначено кількість натуральних чисел, не більших за kk, які взаємно прості з kk. Доведіть, що an≥2n−1a_{n} \geq 2^{n-1}.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-103

Парність функції Ейлера

Нехай nn — натуральне число таке, що n>2n > 2. Доведіть, що φ(n)\varphi(n) є парним.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-104

Оцінка функції Ейлера для парних чисел

Нехай nn — парне натуральне число. Доведіть, що φ(n)≤n2\varphi(n) \leq \frac{n}{2}.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2010-002

Обгони ковзанярів з різними швидкостями

Троє ковзанярів влаштували дружні «перегони» на овальній ковзанці. Усі вони стартують з однієї точки й рухаються в одному напрямку, але з різними швидкостями, яких дотримуються протягом усієї гонки. Найповільніший ковзаняр робить 11 коло за хвилину, найшвидший — 3.143.14 кола за хвилину, а середній — LL кола за хвилину для деякого 1<L<3.141 < L < 3.14. Гонка завершується в момент, коли всі троє ковзанярів знову опиняються разом в одній точці овалу (яка може відрізнятися від стартової точки). Знайдіть, скільки існує різних варіантів вибору LL, за яких до кінця гонки відбувається рівно 117117 обгонів. (Обгоном вважається момент, коли один ковзаняр обганяє іншого. Початок і кінець гонки, коли всі троє ковзанярів разом, обгонами не вважаються.)
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.