Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

592 задачі
КомбінаторикаГрафи
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-112

Поділ учнів на дві групи з обмеженням на друзів

У школі кожен учень дружить не більше ніж з nn учнями цієї школи. Натуральні числа aa та bb такі, що a+b=n−1a + b = n - 1. Доведіть, що учнів можна розділити на дві групи AA та BB таким чином, що кожен учень із групи AA має не більше ніж aa друзів серед учнів групи AA, а кожен учень із групи BB має не більше ніж bb друзів серед учнів групи BB.
11 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-023

Турнір восьми шахістів і кількість можливих результатів

У шаховому турнірі брали участь 88 гравців. Кожні двоє зіграли один з одним рівно один раз, при цьому не було жодної нічиєї. Переможця турніру визначили за такими правилами: - спочатку всі учасники деяким чином вишикуються зліва направо; - далі вони тричі виконують таку процедуру: розбиваються на пари зліва направо (11-й та 22-й, 33-й та 44-й, 55-й та 66-й, 77-й та 88-й), і переможці кожної пари роблять крок уперед, утворюючи нову лінію; - останній учасник стає переможцем. Відомо, що за будь-яких перестановок гравців переможцями можуть стати рівно двоє з 88 учасників. Скільки існує різних результатів турніру, за яких може справдитися ця умова?
10 класОрієнтовані графи
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-031

Компанія з 2017 людей та різниця кількості знайомих

Відомо, що в компанії з 20172017 людей деякі знайомі між собою. Відомо також, що для кожної пари є рівно одна людина, знайома обом членам пари (самих членів цієї пари не враховують). Якою може бути найбільша різниця між кількістю знайомих у людини, що має максимум знайомих, та кількістю знайомих у людини, що має мінімум знайомих у цій компанії?
11 класСтепені вершин
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-049

Односторонні дороги та місто, пов'язане з усіма

У країні була така система автошляхів, які перетиналися лише в містах і не перетиналися між містами. При цьому з кожного міста можна було дістатися до кожного іншого, якщо кожна дорога мала двосторонній рух. Між кожними двома містами не могло бути більше ніж однієї прямої дороги, що безпосередньо їх сполучала. Уряд вирішив кожну дорогу зробити з одностороннім рухом, тобто якщо міста AA та BB сполучено дорогою, то дістатися цією дорогою можна або з міста AA до міста BB, або навпаки. При цьому для кожного міста має існувати принаймні одна дорога, якою з нього можна було б виїхати, та принаймні одна дорога, якою в це місто можна було б заїхати. Чи обов’язково в цій країні виявиться місто, з якого можна було б дістатися до будь-якого другого (навіть через інші міста), або місто, до якого можна було б дістатися з будь-якого іншого міста (також, можливо, через інші міста)?
8 класОрієнтовані графи
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-091

Компанія без знайомих трійок і дві групи незнайомців

У компанії людей немає трьох попарно знайомих між собою, а серед будь-яких п'яти знайдуться троє, які мають спільного знайомого. Доведіть, що компанію можна розбити на дві групи попарно незнайомих людей.
8 класДвочасткові графи
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-109

Розфарбування сполучень міст без одноколірного трикутника

У деякій країні уряд вирішив сполучити міста залізницею або авіасполученням таким чином, щоб із кожного міста можна було безпосередньо дістатися не більше як до чотирьох інших міст. Доведіть, що завжди можна вибрати такий тип сполучення відповідних пар міст, щоб не існувало трьох міст, кожні два з яких сполучені одним видом транспорту.
10 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-117

Розбиття 2n людей з k знайомими на дві підгрупи

У групі з 2n2n людей є пари знайомих. Відомо, що кожна людина серед цієї групи має рівно k⩾1k \geqslant 1 знайомих (якщо А знайомий з Б, то й, навпаки, Б знайомий з А). Для яких значень kk цю групу завжди можна розбити на дві підгрупи по nn людей таким чином, щоб в обох підгрупах кожна людина мала принаймні одного знайомого?
11 класСтепені вершин
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-014

Чи вийдуть 2018 людей до саду за 10 хв

Комічні куплети зібралися послухати 20182018 людей, деякі з них спочатку товаришують між собою (під час прослуховування нових товаришів не заводять і не сваряться). Раз на хвилину виконавець куплетів містер Гарріс відправляє із зали до саду або всіх, у кого в залі лишилася парна кількість товаришів, або всіх, у кого в залі лишилася непарна кількість товаришів. Чи правда, що містер Гарріс напевно зможе відправити всіх до саду не більше ніж за 1010 хв?
9 класСтепені вершин
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-023

Мінімальна кількість стратегічно важливих міст серед 2017 міст

У країні є 20172017 міст. Між деякими з них здійснюються двосторонні авіаперельоти. Відомо, що від будь-якого міста можна долетіти до будь-якого іншого. Міністерство оборони хоче вибрати кілька міст і назвати їх стратегічно важливими таким чином, щоб від будь-якого з міст країни існував прямий авіапереліт до деякого стратегічно важливого. Якої мінімальної кількості стратегічно важливих міст гарантовано вистачить міністерству оборони?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-014

Односторонні залізниці та відокремлена частина міст

У деякій країні залізницю побудовано таким чином, що потяги їздять кожною лінією, яка сполучає два міста, лише в одному напрямку. У зворотному напрямку рух цією колією заборонено. Відомо, що не від кожного міста країни можна дістатися залізницею до кожного іншого міста, навіть шляхом через інші міста. Чи завжди можна відокремити частину міст у країні (може, навіть одне місто) таким чином, щоб із жодного міста іншої частини не можна було дістатися до жодного міста відокремленої частини?
8 класОрієнтовані графи
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-034

Кількість джентльменів з чотирма ворогами і ворогом друга

У клубі присутні декілька джентльменів. Кожні двоє — або друзі, або вороги. Відомо, що в кожного з джентльменів є рівно чотири вороги. Крім того, для кожного з них ворог його друга є його ворогом. Яка кількість джентльменів може бути присутня в клубі?
7 класСтепені вершин
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-065

Можливість знайомств з хлопчиком і дівчинкою в таборі

У табір на збори приїхали nn учнів. Відомо, що кожна дитина (хлопчик чи дівчинка) у таборі знайома рівно з одним хлопчиком та рівно з однією дівчинкою. Чи можлива така ситуація, якщо: а) n=2000n=2000; б) n=2018n=2018?
9 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-076

Кількість авіарейсів і найкоротші відстані між містами

Нехай є країна «У» з містами A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n, які сполучено авіарейсами таким чином, що від кожного міста можна дістатися до кожного іншого, можливо, з пересадками. При цьому di,jd_{i,j} — найменша кількість авіарейсів, які необхідно здійснити, щоб дістатися з міста AiA_i до міста AjA_j, dd — кількість усіх авіарейсів у країні, а D=d1,1+d1,2+…+d1,n+d2,3+d2,4+…+d2,n+…+dn−1,n.D=d_{1,1}+d_{1,2}+\ldots+d_{1,n}+d_{2,3}+d_{2,4}+\ldots+d_{2,n}+\ldots+d_{n-1,n}. Доведіть нерівність d+Dn−1⩽12(n+1)(n+2).d+\frac{D}{n-1}\leqslant\frac{1}{2}(n+1)(n+2).
10 класШляхи на графах
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-078

Найменша кількість авіарейсів між 30 містами

У країні є 3030 міст, деякі з них сполучено авіарейсами. При цьому сукупність усіх рейсів задовольняє таку умову: якщо з неї прибрати будь-які 2626 міст з усіма авіарейсами, що мають принаймні один із кінців у цих містах, то між чотирма містами, що лишилися, система авіарейсів буде такою, що з будь-якого міста пасажир дістанеться до будь-якого іншого, можливо, з пересадками. За якої найменшої кількості авіарейсів у початковій сукупності авіарейсів таке можливе?
10 класСтепені вершин
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-15-16-022

Розбиття 100 леді на дві кавові групи

У жіночому клубі є 100100 леді. Кожна з них протягом року пила каву рівно з 5656 іншими леді із цього клубу. У клубі є рада, до складу якої входять 5050 найповажніших леді. Відомо, що будь-які дві леді, які входять до ради, пили разом каву. Доведіть, що всіх леді в клубі можна розділити на дві групи так, що будь-які дві леді з однієї групи пили разом каву.
10 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-15-16-010

Мураха на кубі і різниця кількості маршрутів

Мураха стартує з вершини AA куба ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1. Вона блукає протягом 2015 хвилин, при цьому за кожну хвилину переходить уздовж одного ребра в сусідню вершину. Позначимо через mm кількість таких мандрівок, що закінчуються у вершині BB, а через nn — таких, що закінчуються у вершині C1C_1. Знайдіть величину m−nm - n.
8 класШляхи на графах
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-062

Куб з пронумерованими вершинами і найвіддаленіша вершина

Вершини куба деяким чином перенумерували числами 1;2;…;81; 2; \ldots; 8. Петрику повідомили для трьох із шести граней куба номери вершин, що їм відповідають: {1;4;6;8}\{1; 4; 6; 8\}, {1;2;6;7}\{1; 2; 6; 7\}, {1;2;5;8}\{1; 2; 5; 8\}. Чи зможе Петрик за цими даними сказати, який номер має вершина, найвіддаленіша від вершини з номером 55?
9 класСтепені вершин
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-073

Початковий стілець обходу стільців стрибками 5 і 8

Є 1212 стільців, розташованих в одну лінію та перенумерованих зліва направо числами 11; 22; …\ldots; 1212. Отець Федір може стрибати по цих стільцях за такими правилами: зі стільця з номером kk він може стрибнути на стілець з номером nn тоді й тільки тоді, коли ∣k−n∣=5|k - n| = 5 або ∣k−n∣=8|k - n| = 8. Відомо, що отець Федір, розпочавши з деякого стільця, зміг пострибати по них так, що побував на кожному стільці рівно один раз. Зі стільця з яким номером отець Федір мав почати стрибати?
10 класСтепені вершин
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-034

Місто 7×7, дороги між будинками та відстань 14

Місто має форму квадрата розміром 7×77 \times 7, що розбитий на квадратики 1×11 \times 1. У кожній вершині квадратиків 1×11 \times 1 розташовані будинки (усього 6464). Сполучити дорогами можна лише будинки, що знаходяться на відстані 11. Скільки щонайменше доріг довжини 11 треба побудувати між домівками, щоб з кожного дому можна було потрапити в кожен інший, проїхавши дорогами відстань не більшу за 1414?
11 класДерева
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-077

Найбільша кількість сполучень без маршрутів довших за три

У країні є 2015 міст, деякі з них сполучені двосторонніми авіалініями. Відомо, що для кожного n>3n > 3 не існує nn попарно різних міст A1A_1, A2A_2, …\ldots, AnA_n, для яких існував би замкнений маршрут перельотів A1→A2→…→An→A1A_1 \to A_2 \to \ldots \to A_n \to A_1 (для трьох міст такі маршрути можуть існувати). Яка найбільша кількість пар міст цієї країни може мати пряме авіасполучення?
11 класЗв’язність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-011

Дороги між містами зі сталою кількістю серед 98 міст

У країні Лапландії є всього 100100 міст. Кожні два з них або сполучені єдиною дорогою, або взагалі безпосередньо не сполучені. Відомо, що коли вибрати будь-які 9898 міст, то загальна кількість доріг, що існують між цими 9898 містами, є сталою величиною, яка не залежить від вибору цих 9898 міст. Якого значення може набувати NN — загальна кількість доріг у Лапландії?
8 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-009

Найменша кількість чхань глядачів у кінозалі

У малому залі кінотеатру є 1010 рядів по 88 крісел, які розставлені у вигляді прямокутника. На кожному місці сидить глядач, який має рівно 100100 гривень по 11 гривні. Якщо протягом сеансу хтось чихає, то він роздає по 11 гривні кожному із своїх сусідів. Сусідами вважають тих, хто сидить поруч зліва чи справа, або рівно позаду, або рівно попереду, тобто у кожного глядача є від 22 до 44 сусідів. Відомо, що Петрик чхнув протягом сеансу принаймні 11 раз. Яка найменша кількість чхань з урахуванням чхання Петрика могла бути протягом сеансу, якщо по завершенні в кожного глядача так і залишилося 100100 грн?
7 класЗв’язність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-040

Шість осіб, знайомі пари та попарно знайома трійка

Серед 66 осіб є рівно nn пар, знайомих між собою. Чи завжди можна серед них знайти трійку попарно знайомих, якщо: а) n=9n = 9; б) n=10n = 10?
7 класСтепені вершин
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-082

Обхід конем дошки 4 на 6 з поверненням

а) Чи можна обійти клітчасту дошку розміром 4×64 \times 6 ходом шахового коня таким чином, щоб побувати на кожному полі рівно один раз? б) Чи можна при цьому зробити це так, щоб з останнього поля можна було ходом коня попасти на початкове? Примітка. Шаховий кінь може піти на будь-яке поле дошки, якщо воно розташоване на іншому кінці української літери «Г», тобто спочатку кінь пересувається на дві клітини по горизонталі чи по вертикалі, а далі на одну клітину перпендикулярно до початкового напряму.
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-097

Найбільша можлива сума відстаней між вершинами графа

Нехай є зв'язний граф з вершинами A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n. Позначимо через di,jd_{i,j} найменшу кількість ребер, які необхідно пройти, щоб дістатися з вершини AiA_i у вершину AjA_j. Знайдіть найбільше можливе значення суми D=∑1⩽i<j⩽ndi,jD = \sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n} d_{i,j}.
10 класДерева

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.