Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-079

Хто має виграшну стратегію на дошці m × n

Петрик і Василь грають у гру на дошці розміром m×nm \times n. Вони роблять ходи почергово, розпочинає Петрик. Він ставить пішака в будь-яку вільну клітинку дошки. Василь на своєму ході має поставити пішака на вільну клітинку, що є сусідньою по стороні з клітинкою, у яку Петрик поставив пішака останнім ходом. Василь ви́грає, якщо вся дошка буде заповнена пішаками. Петрик ви́грає, якщо після його ходу Василь не зможе зробити хід за зазначеними правилами та на дошці ще будуть вільні клітинки. Якщо кожен прагне перемогти, то хто має виграшну стратегію залежно від значень mm, nn?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-089

Чорна та дві білі фішки на дошці m × n

У лівій нижній кутовій клітинці 1×11 \times 1 дошки розміром m×nm \times n (m,n⩾3)(m, n \geqslant 3) стоїть чорна фішка, а в лівій верхній та правій нижній клітинках стоять білі фішки. Петрик за один хід двічі поспіль пересуває чорну фішку на сусідню по стороні клітинку, а Василь може або одну з білих фішок двічі поспіль пересунути на сусідню по стороні клітинку, або кожну з двох білих фішок окремо пересунути на сусідню по стороні клітинку. Фішки не можна ставити на клітинки, у яких уже побувала фішка іншого кольору. Василь перемагає, якщо в певний момент через скінченну кількість ходів обидві білі фішки опиняться в одній клітинці. Якщо Василь прагне перемогти, а Петрик прагне не дати йому такої можливості, то за яких умов для mm та nn переможе Василь? Першим ходить Петрик.
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-091

Чорна і дві білі фішки на дошці 2022×2023

У лівій нижній кутовій клітинці 1×11 \times 1 дошки розміром 2022×20232022 \times 2023 клітинки стоїть чорна фішка, а в лівій верхній і правій нижній клітинках стоять білі фішки. Петрик за один хід двічі поспіль пересуває чорну фішку на сусідню по стороні клітинку, а Василь може або одну з білих фішок двічі поспіль пересунути на сусідню по стороні клітинку, або кожну з двох білих фішок окремо пересунути на сусідню по стороні клітинку. Фішки не можна ставити на клітинки, у яких уже побувала фішка іншого кольору. Василь переможе, якщо в певний момент через скінченну кількість ходів обидві білі фішки опиняться в одній клітинці. Доведіть, що за правильної гри Петрика, який робить перший хід, Василь перемогти не зможе.
10 класКласичні ігри
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-058

Гра з трьома купками камінців 100, 101, 102

У Федька та Михайлика є три купки камінців: у першій — 100100 камінців, у другій — 101101 камінець, а в третій — 102102 камінці. Хлопці грають за такими правилами: ходи роблять почергово, на своєму ході кожен вибирає дві довільні купки, що містять, скажімо, aa та bb камінців відповідно, та з кожної забирає камінці, кількість яких дорівнює найбільшому спільному дільнику чисел aa та bb. Перемагає той гравець, після ходу якого вперше лишилося менше ніж три купки камінців. Хто може перемогти за таких умов, якщо перший хід робить Федько й кожен прагне виграти?
7 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-071

Найменша кількість застосувань програми Три для рівних чисел

Петрик використовує комп’ютерну програму «Три», яка перетворює записані на дисплеї числа. Для одного застосування цієї програми Петрик вибирає п’ять чисел із записаних, а програма збільшує кожне із цих п’яти чисел у 33 рази. На початку на дисплеї записано такі 2020 чисел: 1,31,32,…,3191, 3^1, 3^2, \ldots, 3^{19}. За яку найменшу кількість застосувань цієї програми Петрик зможе отримати на дисплеї набір рівних чисел?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-103

Многочлени у пам’яті комп’ютера та многочлен P(x)

На початку роботи в пам’яті комп’ютера був єдиний многочлен x2−1x^2-1. Щохвилини комп’ютер або вибирає зі своєї пам’яті довільний многочлен f(x)f(x) та запам’ятовує ще й многочлени f2(x)−1f^2(x)-1 та f(x2−1)f(x^2-1), або вибирає будь-які два різних многочлени g(x)g(x) та h(x)h(x) та ще й запам’ятовує многочлен 12(g(x)+h(x))\frac{1}{2}(g(x)+h(x)). Чи може за деякий час у пам’яті комп’ютера бути записаний многочлен P(x)=11024(x2−1)2048−1?P(x)=\frac{1}{1024}(x^2-1)^{2048}-1?
11 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-004

Відношення початкових чисел у грі з відніманням

Два гравці грають у гру із записаними числами на дошці. Якщо на дошці записано натуральні числа A⩾BA \geqslant B, то гравець, чий хід за чергою, вибирає натуральне число kk, що задовольняє умову A−kB⩾0A - kB \geqslant 0, витирає число AA та замість нього записує число A−kBA - kB. Перемагає той, хто вперше запише на дошці число 00. При якому відношенні l=A:Bl = A : B початкових чисел в разі правильної гри переможе гравець, котрий робить перший хід?
8 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-005

Числа 7 і 2020 та гарне фарбування многокутника

Натуральне число nn називають гарним, якщо всі сторони та діагоналі правильного nn-кутника можна пофарбувати в декілька кольорів так, щоб для кожної пари вершин AA і BB існувала рівно одна вершина CC, відмінна від точок AA і BB і така, що всі сторони трикутника ABCABC були пофарбовані в однаковий колір. З’ясуйте, яке із чисел — n=7n = 7 чи n=2020n = 2020 — є гарним.
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-002

Гра з периметром прямокутників у прямокутнику 2 на 1

Андрій та Олеся по черзі (починає Андрій) у прямокутнику розміром 2×12 \times 1 проводять горизонтальні відрізки довжиною 22 чи вертикальні довжиною 11, як показано на рис. 2.1. Після кожного ходу вони підраховують сумарний периметр PP усіх малих прямокутників, що при цьому утворилися (тобто таких, усередині яких не проходить жодний інший відрізок). Перемагає той із них, після чийого ходу значення PP ділиться націло на 20212021. Хто переможе, якщо кожен із гравців прагне перемогти?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-020

Гра з діленням числа 2021! на добуток простих

На дошці записано число 2021!=1⋅2⋅3⋅…⋅20212021! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021. Олеся та Андрій грають у гру, роблячи ходи по черзі (розпочинає Олеся). Хід полягає в тому, що гравець має поділити записане на дошці число на довільне число вигляду P=p1p2…pkP = p_1 p_2 \ldots p_k, яке складається з добутку декількох попарно різних простих чисел, і записати одержане число на дошці замість попереднього. Програє той, після чийого ходу на дошці буде записане неціле число. Хто виграє в цій грі, якщо кожен прагне перемогти?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-060

Перетворення відсортованого масиву з відніманням індексів

Дано натуральне число NN і відсортований масив цілих чисел A0=[a1,a2,…,aN]A^0=[a_1, a_2, \ldots, a_N], для яких виконується умова 0=a1⩽a2⩽…⩽aN⩽N0=a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_N \leqslant N. Масив Ai+1A^{i+1} отримують з масиву AiA^i так: для кожного jj від 11 до NN від jj-го елемента AiA^i віднімають jj, отриманий масив сортують знову в порядку неспадання, після чого до всіх чисел додають деяку константу так, щоб мінімальне число в масиві стало рівним 00 — отриманий масив є масивом Ai+1A^{i+1}. Наприклад: A0=[0,0,1,2]→[−1,−2,−2,−2]→[−2,−2,−2,−1]→A1=[0,0,0,1]→[−1,−2,−3,−3]→[−3,−3,−2,−1]→A2=[0,0,1,2].A^0=[0, 0, 1, 2] \to [-1, -2, -2, -2] \to [-2, -2, -2, -1] \to A^1=[0, 0, 0, 1] \to [-1, -2, -3, -3] \to [-3, -3, -2, -1] \to A^2=[0, 0, 1, 2]. Доведіть, що для i⩾N−1i \geqslant N-1 справджується умова Ai=Ai+2A^i=A^{i+2}.
11 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-064

Слова довільної довжини без поганого розрізу

Абетка племені которас складається з 1111 букв. Відомо, що для довільного натурального kk є рівно п'ять kk-буквених поганих слів у мові цього племені. Доведіть, що мовою которас можна придумати слово з довільної кількості букв, яке не можна розрізати на два менших слова, з яких хоча б одне буде поганим.
8 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-071

Гра з двома купами камінців починає Богдан

Олексій і Богдан грають у гру з двома купами камінців. На початку одна з куп містить 20212021 камінець, а друга — порожня. За один хід кожен із хлопців має забрати парну кількість камінців (більшу за нуль) з довільної купи, після чого перекласти половину з узятих камінців до іншої купи, а другу половину вилучити з гри. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто переможе в цій грі, якщо обидва гравці прагнуть перемогти, а починає Богдан?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-069

Почергова розстановка чисел від 1 до n у таблиці

Андрій і Богдан по черзі розставляють числа від 11 до nn у клітинках таблиці n×nn \times n так, щоб у жодному рядку та стовпці не було двох рівних чисел. Андрій ходить першим, а програє той, хто не зможе зробити хід. Хто, залежно від nn, має виграшну стратегію?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-034

Поїздка студентів з найкращими друзями до Рима і Парижу

На кожному курсі вишу навчається непарна кількість студентів. Кожний студент має найкращого друга, можливо, не зі свого курсу, при цьому взаємини були такі: якщо для студента AA найкращий друг — студент BB, то й навпаки. Кожний студент вибирає, куди поїхати в подорож — до Рима чи Парижу. Доведіть, що студенти можуть розподілитися по напрямках таким чином, що: - кожний студент їде в одне місце зі своїм найкращим другом; - для кожного курсу кількість тих, хто поїхав до Парижу, відрізняється на 11 від кількості тих, хто поїхав до Рима (у більший чи менший бік).
11 класШляхи на графах
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-072

Математики на відрізку та рукостискання з менеджерами

Менеджери двох компаній перебувають у двох точках на відстані 10001000 м. На відрізку, що їх сполучає, розташовані nn точок, у кожній з яких стоїть математик. Щосекунди кожен з математиків рухається до точки, що є серединою відрізка, який сполучає точку його перебування з найближчою точкою перебування іншого математика або менеджера. Якщо таких точок не одна, то він рухається до однієї з них. Якщо два математики прибувають у спільну точку за описаним алгоритмом, то молодший із двох покидає гру. Доведіть, що за скінченну кількість секунд кожен з математиків, що лишився, може потиснути руку одному з менеджерів. Математик може потиснути руку, якщо перебуватиме на відстані, не більшій ніж 11 м від менеджера.
10 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-052

Натуральне число як сума не більше тринадцяти паліндромів

У натуральному числі nn не більше ніж 20202020 цифр. Доведіть, що можна знайти mm таких паліндромів, сума яких дорівнюватиме nn, при цьому m⩽13m \leqslant 13. Примітка. Паліндромом називають число, яке можна однаково прочитати в обох напрямках (зліва направо та справа наліво), наприклад, числа 10011001, 99 та 767767 — паліндроми, а числа 12121212 та 110110 — ні.
8 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-053

Гра зі стиранням взаємно простих чисел на дошці

Петрик та Василь грають у гру із записаними на дошці числами. Розпочинає Петрик. За один хід гравець вибирає два взаємно простих числа, витирає їх та записує замість них їхню суму. Той, хто не зможе зробити хід, програє. Хто переможе за правильної гри, якщо із самого початку на дошці записано: а) 20192019 цифр 11; б) 20202020 цифр 11?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-077

Числа по колу та три сусідні одиниці

По колу написано 299299 цифр 00 та одну цифру 11. Дозволено робити такі ходи з написаними по колу числами: - від кожного числа відняти суму сусідніх із ним чисел; - вибрати два числа, між якими розташовано рівно два інших числа, та збільшити обидва на 11 або зменшити обидва на 11. Чи можна за скінченну кількість зазначених дій отримати таке розташування чисел, за якого матимемо три сусідніх числа 11, а решту чисел — 00?
10 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-112

Поділ учнів на дві групи з обмеженням на друзів

У школі кожен учень дружить не більше ніж з nn учнями цієї школи. Натуральні числа aa та bb такі, що a+b=n−1a + b = n - 1. Доведіть, що учнів можна розділити на дві групи AA та BB таким чином, що кожен учень із групи AA має не більше ніж aa друзів серед учнів групи AA, а кожен учень із групи BB має не більше ніж bb друзів серед учнів групи BB.
11 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-095

Гра у фарбування комірок дошки 2020×2020

На дошці, що складається з 2020×20202020 \times 2020 комірок (клітинок), Андрій та Олеся грають у гру за такими правилами. Спочатку Олеся вибирає «фінальну комірку», після цього Андрій вибирає «початкову комірку», що не має спільних точок з фінальною. Далі Андрій та Олеся по черзі (розпочинає Андрій з вибраної ним початкової комірки) фарбують комірки дошки в блакитний (Андрій) та жовтий (Олеся) кольори за такими правилами. Кожен своїм черговим ходом має фарбувати клітинку, яка має спільну сторону чи вершину з клітинкою, зафарбованою супротивником на попередньому ході, та яка не була раніше зафарбована в жодний з кольорів. Перемагає той, хто зафарбує своїм ходом фінальну комірку, або той, чий супротивник не зможе зробити за правилами черговий хід. а) Які комірки може вибрати Олеся як фінальні, щоб напевно перемогти, незалежно від того, яку комірку як початкову вибере Андрій? б) Для яких комірок, що їх може вибрати Олеся як фінальні, в Андрія існує можливість вибрати початкову комірку таким чином, щоб перемогти самому?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-003

Монети в перетинах кіл і перемога Другого

Для натурального n⩾2n \geqslant 2 на площині є nn попарно різних кіл таких, що кожні два кола перетинаються у двох точках, а жодні три кола не мають спільної точки перетину. Із самого початку ми маємо по монеті в кожній точці перетину кіл. Два гравці, Перший та Другий, здійснюють ходи по черзі (розпочинає Перший). Вони беруть монету зі стола з такими обмеженнями: не можна взяти монету, що лежить на тому самому колі, з якого останню монету взяв супротивник. Хто не може зробити хід, той програє (це стосується і варіанта, коли монет просто не залишилося). Для яких nn Другий має виграшну стратегію?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-014

Розподіл лінійок та циркулів між членами клубів

Математичні клуби є надзвичайно популярними в деякому місті. Будь-які два з них мають принаймні одного спільного члена. Доведіть, що мер міста може розподілити лінійки та циркулі між усіма мешканцями міста таким чином, що рівно один мешканець отримає і лінійку, і циркуль, а кожен другий — або лінійку, або циркуль, при цьому кожний математичний клуб матиме члена з лінійкою та члена із циркулем.
8 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-033

Гра з чорними клітинками на дошці 6 × 2019

Дано білу дошку розміром 6×20196 \times 2019. Андрій та Арсеній грають у таку гру: вони по черзі (розпочинає Андрій) перефарбовують одну білу клітинку 1×11 \times 1 у чорний колір. При цьому не можна фарбувати в чорний колір клітинку, якщо після того утворюється квадрат 3×33 \times 3, у якому будуть дві чорні клітинки. Програє той, хто не може зробити свій хід. Хто переможе за правильної гри обох?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-043

Гра з відніманням 2d - 1 від числа N

На дошці записано число 20192019. Катря та Микола по черзі (розпочинає Катря) роблять такі ходи: кожен з них вибирає будь-який дільник dd записаного числа NN і замість числа NN записує на дошці число N−(2d−1)N - (2d - 1), якщо воно натуральне. Програє той, хто напише на дошці число 11. Хто може перемогти в цій грі, якщо кожен прагне стати переможцем?
8 класПарність і непарність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.