Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 192 задачі
КомбінаторикаІнваріанти та напівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-042

Поява четвірки у послідовності з цілими частинами

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє умову an+2=[2an+1an]+[2anan+1].a_{n+2} = \left[\frac{2a_{n+1}}{a_n}\right] + \left[\frac{2a_n}{a_{n+1}}\right]. Доведіть, що існує такий індекс mm, для якого am=4a_m = 4 та am+1∈{3,4}a_{m+1} \in \{3, 4\}. Примітка. Для дійсного числа aa через [a][a] позначено цілу частину числа aa, тобто найбільше ціле число, що не перевищує aa.
11 класПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-016

Найменша кількість куточків у покритті дошки 11×11

Дошка розміром 11×1111 \times 11 повністю покрита квадратиками 2×22 \times 2 та куточками з трьох клітинок таким чином, що всі фігурки знаходяться в межах дошки та жодні дві з них не накладаються одна на одну. Яка найменша кількість куточків може бути використана?
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-023

Перетворення ряду з мільйона чисел до зупинки

У ряд виписано мільйон чисел: перше число дорівнює 123 456 789123\,456\,789, а решта 999 999999\,999 чисел — нулі. За один хід дозволено вибрати одне число, яке принаймні на 1010 менше від сусіднього ліворуч, збільшити його на 11, а всі числа ліворуч за вибране число зменшити на 99. Такі ходи роблять доти, доки це можливо. Який набір чисел може утворитися врешті-решт? Укажіть усі можливі відповіді.
9 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-037

Заповнення числами ±1 таблиці 2007×2007 з умовою на квадрати

Знайдіть кількість способів заповнення числами ±1\pm 1 комірок таблиці 2007×20072007 \times 2007, коли модуль суми всіх чисел довільного квадрата цієї таблиці не перевищує 11.
10 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-041

Діти по колу зі зміною табличок

По колу стоять n⩾3n \geqslant 3 дітей, кожна дитина тримає дві таблички: одну із цифрою 00, другу — із цифрою 11. У певний момент кожна дитина піднімає на свій розсуд одну з табличок. Далі щохвилини кожна дитина, у якої число на табличці відрізняється від чисел на табличках обох її сусідів (ліворуч та праворуч), міняє свою табличку. Чи може тривати нескінченно довго ситуація, коли принаймні одна дитина міняє табличку?
8 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-050

Опуклий 2023-кутник з цілочисельними вершинами і рівними сторонами

Чи існує на декартовій площині опуклий 20232023-кутник з вершинами в точках, обидві координати яких є цілими числами, такий, що довжини всіх його сторін рівні? Примітка. Многокутник називають опуклим, якщо всі його діагоналі лежать усередині цього многокутника.
9 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-059

Квадратні кількості куточків чотирьох типів у прямокутнику

Задано натуральні числа mm, nn такі, що число mnmn ділиться на 99, але не ділиться на 2727. Прямокутник розміром m×nm \times n розрізали на куточки з трьох клітинок. Залежно від того, як орієнтовані ці куточки, поділимо їх на чотири типи (рис. 2.2). Чи могло так статися, що кількості куточків кожного типу є точними квадратами деяких натуральних чисел?
10 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-060

Лампи і 2024 перемикачі з обмеженням натискань

У кімнаті є nn ламп та 20242024 перемикачі. Кожна лампа з’єднана рівно з 10001000 перемикачів. При натисканні на перемикач кожна з’єднана з ним лампа змінює свій стан з «ON» на «OFF» та навпаки. Відомо, що натисканням на деякі з перемикачів можна досягти того, що всі лампи перейдуть у стан «ON». Доведіть, що цього можна досягнути натисканням на перемикачі сумарно не більше ніж 10121012 разів.
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-032

Середнє арифметичне на ребрах куба з числами 1–20

Чи можна числа 1,2,…,201, 2, \ldots, 20 розставити у вершинах та серединах ребер куба так, щоб кожне число, що стоїть посередині ребра, дорівнювало середньому арифметичному чисел, які стоять на кінцях цього ребра?
7 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-046

Найменше доповнення 2018 прямих до гарної множини

Множину прямих на площині назвемо гарною, якщо кожна пряма цієї множини перетинається з непарною кількістю інших прямих. Знайдіть найменше натуральне число kk з такою властивістю: для кожних 20182018 попарно різних прямих l1,l2,…,l2018l_1, l_2, \ldots, l_{2018} існують такі прямі l2019,l2020,…,l2018+kl_{2019}, l_{2020}, \ldots, l_{2018+k}, для яких множина прямих l1,l2,…,l2018+kl_1, l_2, \ldots, l_{2018+k} є гарною.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-083

Рівність усіх чисел по колу з умовою на четвірки

По колу розставлено n⩾4n \geqslant 4 дійсних чисел. Відомо, що для будь-яких чотирьох послідовних чисел aa, bb, cc, dd, які йдуть по колу за вказаним порядком, справджується умова a+d=b+ca + d = b + c. Для яких nn можна зробити висновок, що всі числа рівні?
9 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-096

999-гарний і 1001-гарний граф без 1000-гарності

Розглянемо повний граф на 40464046 вершинах, ребра якого пофарбовано в якісь кольори. Назвемо граф kk-гарним, якщо всі вершини графа можна розбити на 20232023 пари таким чином, що серед кольорів, у які пофарбовано 20232023 ребра, що сполучають вершини в парах, є рівно kk різних. Чи могло таке статися, що граф є 999999-гарним та 10011001-гарним, але не є 10001000-гарним?
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-022

Перефарбування трійок клітинок у прямокутнику 5 × 8

Маємо прямокутник 5×85 \times 8, кожну клітинку 1×11 \times 1 якого пофарбовано в білий колір. На кожному кроці можна вибрати довільний прямокутник із трьох клітинок та перефарбувати всі його клітинки в протилежний колір: білі — у чорний, чорні — у білий. Яка найбільша кількість чорних клітинок може бути в прямокутнику в деякий момент і за яку найменшу кількість ходів можна досягнути такої позиції? У відповіді запишіть суму цих двох чисел.
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-024

Повне число з різницевим числом виду 1a1a1a1a

Натуральне число назвемо повним, якщо воно є дев’ятицифровим та містить кожну із цифр від 11 до 99. Різницевим числом для числа NN є число, яке отримано таким чином: перша його цифра — це різниця між 11-ю та 22-ю цифрами числа NN, друга цифра — це різниця між 22-ю та 33-ю цифрами числа NN і так далі (завжди від більшої цифри віднімаємо меншу). Наприклад, різницевим числом для числа 25 14325\,143 є число 34313431. Повне число 124 356 879124\,356\,879 має різницеве число 12 121 21212\,121\,212, що складається з двох цифр — 11 та 22, які чергуються. Знайдіть усі такі цифри aa, 3⩽a⩽93 \leqslant a \leqslant 9, для яких існує повне число NN з тією властивістю, що його різницеве число має вигляд 1a1a1a1a‾\overline{1a1a1a1a}. У відповіді запишіть суму всіх можливих значень цифри aa.
8 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-031

Числа 1–3000 по колу і число напроти 2023

Числа 1,2,3,…,30001, 2, 3, \ldots, 3000 рівномірно записано по колу в деякому порядку так, що вони парами стоять одне напроти іншого. Відомо, що для кожного числа nn серед 14991499 чисел, які йдуть одразу за ним за рухом годинникової стрілки, та серед 14991499 чисел, які йдуть одразу за ним проти руху годинникової стрілки, однакова кількість чисел, менших від nn. Яке число стоїть напроти числа 20232023?
9 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-052

Мільйон купюр 3, 25, 80 за 2024 послідовні платежі

У деякій чарівній країні використовують лише купюри номіналом 33, 2525 і 8080 грн. Бізнесмен Віктор 20242024 дні поспіль харчувався в ресторані цієї країни, причому кожного наступного дня він платив (без решти) на 11 грн більше, ніж попереднього. Чи міг він сплатити за харчування сумарно рівно мільйон купюр?
7 класАрифметика остач (базові властиво…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-079

Хто має виграшну стратегію на дошці m × n

Петрик і Василь грають у гру на дошці розміром m×nm \times n. Вони роблять ходи почергово, розпочинає Петрик. Він ставить пішака в будь-яку вільну клітинку дошки. Василь на своєму ході має поставити пішака на вільну клітинку, що є сусідньою по стороні з клітинкою, у яку Петрик поставив пішака останнім ходом. Василь ви́грає, якщо вся дошка буде заповнена пішаками. Петрик ви́грає, якщо після його ходу Василь не зможе зробити хід за зазначеними правилами та на дошці ще будуть вільні клітинки. Якщо кожен прагне перемогти, то хто має виграшну стратегію залежно від значень mm, nn?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-089

Чорна та дві білі фішки на дошці m × n

У лівій нижній кутовій клітинці 1×11 \times 1 дошки розміром m×nm \times n (m,n⩾3)(m, n \geqslant 3) стоїть чорна фішка, а в лівій верхній та правій нижній клітинках стоять білі фішки. Петрик за один хід двічі поспіль пересуває чорну фішку на сусідню по стороні клітинку, а Василь може або одну з білих фішок двічі поспіль пересунути на сусідню по стороні клітинку, або кожну з двох білих фішок окремо пересунути на сусідню по стороні клітинку. Фішки не можна ставити на клітинки, у яких уже побувала фішка іншого кольору. Василь перемагає, якщо в певний момент через скінченну кількість ходів обидві білі фішки опиняться в одній клітинці. Якщо Василь прагне перемогти, а Петрик прагне не дати йому такої можливості, то за яких умов для mm та nn переможе Василь? Першим ходить Петрик.
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-091

Чорна і дві білі фішки на дошці 2022×2023

У лівій нижній кутовій клітинці 1×11 \times 1 дошки розміром 2022×20232022 \times 2023 клітинки стоїть чорна фішка, а в лівій верхній і правій нижній клітинках стоять білі фішки. Петрик за один хід двічі поспіль пересуває чорну фішку на сусідню по стороні клітинку, а Василь може або одну з білих фішок двічі поспіль пересунути на сусідню по стороні клітинку, або кожну з двох білих фішок окремо пересунути на сусідню по стороні клітинку. Фішки не можна ставити на клітинки, у яких уже побувала фішка іншого кольору. Василь переможе, якщо в певний момент через скінченну кількість ходів обидві білі фішки опиняться в одній клітинці. Доведіть, що за правильної гри Петрика, який робить перший хід, Василь перемогти не зможе.
10 класКласичні ігри
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-071

Найменша кількість застосувань програми Три для рівних чисел

Петрик використовує комп’ютерну програму «Три», яка перетворює записані на дисплеї числа. Для одного застосування цієї програми Петрик вибирає п’ять чисел із записаних, а програма збільшує кожне із цих п’яти чисел у 33 рази. На початку на дисплеї записано такі 2020 чисел: 1,31,32,…,3191, 3^1, 3^2, \ldots, 3^{19}. За яку найменшу кількість застосувань цієї програми Петрик зможе отримати на дисплеї набір рівних чисел?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-081

2022 точки на колі і зміна кольору кожної

На колі розташовано 20222022 точки, одну з яких пофарбовано в чорний колір, а інші 20212021 точок — у білий. За один хід Їжачку дозволено зробити одну з таких операцій: - перефарбувати в протилежний колір дві однокольорові точки, що йдуть поспіль; - перефарбувати в протилежний колір дві різнокольорові точки, що йдуть через одну. Чи зможе Їжачок зазначеними операціями зробити так, щоб кожна точка змінила свій колір на протилежний (порівняно з початковим розфарбуванням)?
9 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-103

Многочлени у пам’яті комп’ютера та многочлен P(x)

На початку роботи в пам’яті комп’ютера був єдиний многочлен x2−1x^2-1. Щохвилини комп’ютер або вибирає зі своєї пам’яті довільний многочлен f(x)f(x) та запам’ятовує ще й многочлени f2(x)−1f^2(x)-1 та f(x2−1)f(x^2-1), або вибирає будь-які два різних многочлени g(x)g(x) та h(x)h(x) та ще й запам’ятовує многочлен 12(g(x)+h(x))\frac{1}{2}(g(x)+h(x)). Чи може за деякий час у пам’яті комп’ютера бути записаний многочлен P(x)=11024(x2−1)2048−1?P(x)=\frac{1}{1024}(x^2-1)^{2048}-1?
11 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-005

Числа 7 і 2020 та гарне фарбування многокутника

Натуральне число nn називають гарним, якщо всі сторони та діагоналі правильного nn-кутника можна пофарбувати в декілька кольорів так, щоб для кожної пари вершин AA і BB існувала рівно одна вершина CC, відмінна від точок AA і BB і така, що всі сторони трикутника ABCABC були пофарбовані в однаковий колір. З’ясуйте, яке із чисел — n=7n = 7 чи n=2020n = 2020 — є гарним.
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-002

Гра з периметром прямокутників у прямокутнику 2 на 1

Андрій та Олеся по черзі (починає Андрій) у прямокутнику розміром 2×12 \times 1 проводять горизонтальні відрізки довжиною 22 чи вертикальні довжиною 11, як показано на рис. 2.1. Після кожного ходу вони підраховують сумарний периметр PP усіх малих прямокутників, що при цьому утворилися (тобто таких, усередині яких не проходить жодний інший відрізок). Перемагає той із них, після чийого ходу значення PP ділиться націло на 20212021. Хто переможе, якщо кожен із гравців прагне перемогти?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-026

Дії з трійками чисел і майже рівні числа

Рома написав на дошці 100100 разів кожне із чисел 20182018, 20192019, 20202020. Позначимо через S(n)S(n) суму цифр натурального числа nn. За одну дію Рома може вибрати довільне натуральне число kk і замість будь-яких трьох чисел aa, bb, cc, що написані на дошці, написати числа 2S(a+b)+k2S(a+b)+k, 2S(b+c)+k2S(b+c)+k і 2S(c+a)+k2S(c+a)+k. Чи може Рома за кілька таких дій досягти того, щоб 299299 чисел на дошці були рівними, а останнє відрізнялося від них на 11?
9 класОстача від ділення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.