Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

85 задач
ГеометріяІнверсія
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-009

Хорда вписаного кола і кути описаного кола

Нехай II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCA B C. Нехай вписане коло дотикається до сторін BCB C, CAC A і ABA B у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай пряма EFE F перетинає описане коло трикутника в точках PP і QQ, причому FF лежить між EE і PP. Доведіть, що ∠DPA+∠AQD=∠QIP\angle D P A + \angle A Q D = \angle Q I P.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-006

Дотичні з точок кола і описане коло трикутника

Зафіксуємо коло Γ\Gamma, пряму ll, що дотикається до кола Γ\Gamma, і ще одне коло Ω\Omega, яке не має спільних точок із прямою ll, причому кола Γ\Gamma і Ω\Omega лежать по різні боки від ll. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені зі змінної точки XX, що лежить на колі Ω\Omega, перетинають пряму ll у точках YY та ZZ. Доведіть, що коли точка XX пробігає коло Ω\Omega, то описане коло трикутника XYZXYZ дотикається до двох фіксованих кіл.
10–11 класиІнверсія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-004

Точка перетину прямих на дотичному колі

Два кола однакових радіусів w1w_1 та w2w_2 перетинаються в різних точках X1X_1 та X2X_2. Розглянемо коло ww, що дотикається зовнішнім чином до кола w1w_1 у точці T1T_1 та дотикається внутрішнім чином до кола w2w_2 у точці T2T_2. Доведіть, що точка перетину прямих X1T1X_1T_1 та X2T2X_2T_2 належить колу ww.
10–11 класиІнверсія
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-006

Відбиття центрів зовнівписаних кіл та пряма центрів трикутника

Нехай II — інцентр нерівностороннього трикутника ABCABC, IAI_{A} — центр зовнівписаного кола, що відповідає AA, IA′I_{A}' — образ точки IAI_{A} при симетрії відносно BCBC, а lAl_{A} — образ прямої AIA′A I_{A}' при симетрії відносно AIA I. Точки IB,IB′I_{B}, I_{B}' і пряму lBl_{B} означимо аналогічно. Нехай PP — точка перетину прямих lAl_{A} і lBl_{B}. a. Доведіть, що PP лежить на прямій OIOI, де OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. б. Нехай одна з дотичних, проведених з PP до вписаного кола трикутника ABCABC, перетинає описане коло в точках XX і YY. Покажіть, що ∠XIY=120∘\angle X I Y = 120^{\circ}.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-004

Відношення в паралелограмі на описаному колі

Нехай ABCA B C — гострокутний трикутник, а MM — середина сторони ACA C. Коло ω\omega, що проходить через BB і MM, перетинає сторони ABA B і BCB C вдруге в точках PP і QQ відповідно. Нехай TT — така точка, що чотирикутник BPTQB P T Q є паралелограмом. Припустімо, що TT лежить на описаному колі трикутника ABCA B C. Визначте всі можливі значення BT/BMB T / B M.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-019

Чотирикутник з бісектрисою і прямою, паралельною до AC

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому пряма BDBD є бісектрисою кута ABCABC. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає сторони ADAD і CDCD у точках PP і QQ відповідно. Пряма, що проходить через точку DD і паралельна ACAC, перетинає прямі BCBC і BABA в точках RR і SS відповідно. Доведіть, що точки PP, QQ, RR і SS лежать на спільному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-021

Нерівність AB·CD + AD·BC для опуклого чотирикутника

Сума кутів AA і CC опуклого чотирикутника ABCDABCD менша за 180∘180^\circ. Доведіть, що AB⋅CD+AD⋅BC<AC(AB+AD).AB \cdot CD + AD \cdot BC < AC(AB + AD).
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-003

Чотирикутник з двома прямими кутами та дотична до кола

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ. Точка HH — основа перпендикуляра, опущеного з точки AA на пряму BDBD. Точки SS і TT вибрали на відрізках ABAB і ADAD відповідно таким чином, що точка HH знаходиться всередині трикутника SCTSCT і виконуються рівності ∠CHS−∠CSB=90∘,∠THC−∠DTC=90∘.\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^\circ. Доведіть, що пряма BDBD дотикається до кола, описаного навколо трикутника TSHTSH.
10–11 класиІнверсія
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-004

Колінеарність у трикутнику з інцентром

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Ω\Omega та інцентром II. Нехай пряма, що проходить через II і перпендикулярна до прямої CICI, перетинає відрізок BCBC і дугу BCBC (яка не містить AA) кола Ω\Omega в точках UU і VV відповідно. Нехай пряма, що проходить через UU і паралельна прямій AIAI, перетинає AVAV у точці XX, а пряма, що проходить через VV і паралельна прямій AIAI, перетинає ABAB у точці YY. Нехай WW і ZZ — середини відрізків AXAX і BCBC відповідно. Доведіть, що якщо точки II, XX і YY лежать на одній прямій, то точки II, WW і ZZ також лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-013

Добуток відрізків на висоті

У гострокутному трикутнику ABCABC з AC>ABAC > AB нехай DD — проєкція AA на пряму BCBC, нехай EE і FF — проєкції DD на прямі ABAB і ACAC, а GG і HH — другі перетини прямої ADAD з прямою EFEF і описаним колом трикутника ABCABC. Доведіть: AG⋅AH=AD2.AG \cdot AH = AD^2.
10–11 класиІнверсія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-018

Побудова центра кола за допомогою циркулятора

Циркулятор — це інструмент, який будує описане коло трьох заданих точок площини (якщо точки виявляються колінеарними, він проводить пряму через них). Чи можна, користуючись лише циркулятором, побудувати центр заданого кола?
10–11 класиІнверсія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2011-003

Геометричне місце перетинів внутрішніх дотичних до кіл

Нехай ω\omega — описане навколо трикутника ABCABC коло. Деяка пряма ll, паралельна до BCBC, перетинає відрізки ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно. Ця ж пряма перетинає коло ω\omega у точках KK та LL (точка DD лежить між KK та EE). Коло γ1\gamma_1 дотикається до кола ω\omega і до відрізків KDKD та BDBD, а коло γ2\gamma_2 дотикається до кола ω\omega і до відрізків LELE та CECE. Визначте геометричне місце точок перетину двох спільних внутрішніх дотичних до кіл γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 при всіх можливих розташуваннях прямої ll.
10–11 класиІнверсія
Балтійський шляхBW-2008-016

Спільна точка хорд через точки на дотичній

Нехай ABAB — діаметр кола SS, а LL — дотична в точці AA. Крім того, нехай cc — фіксоване додатне дійсне число, і розглянемо всі пари точок XX і YY, що лежать на прямій LL по різні боки від AA, такі, що ∣AX∣⋅∣AY∣=c|AX| \cdot |AY| = c. Прямі BXBX і BYBY перетинають SS у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що всі прямі PQPQ проходять через спільну точку.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-041

Геометричне місце центра описаного кола з бісектрисою

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються в різних точках AA і BB. Точка XX рухається по колу ω1\omega_{1}, а точка YY на колі ω2\omega_{2} вибрана так, що ABAB ділить навпіл кут ∠XAY\angle XAY. Доведіть, що коли XX рухається по колу ω1\omega_{1}, центр описаного кола трикутника △AXY\triangle AXY (якщо він існує) рухається по фіксованій прямій.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-043

Ортоцентр, висота і прямий кут

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Точки EE і FF лежать на відрізках AC‾\overline{AC} і AB‾\overline{AB} відповідно так, що ∠EHF=90∘\angle EHF = 90^\circ. Нехай XX — основа висоти з HH на EF‾\overline{EF}. Доведіть, що ∠BXC=90∘\angle BXC = 90^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-034

Коло, дотичне до параболи й кубічної кривої

Існує єдине коло, яке дотикається до параболи y=x2y = x^{2} у двох точках і дотикається до кривої x=y31−yx = \sqrt{\frac{y^{3}}{1 - y}}. Обчисліть радіус цього кола.
10–11 класиІнверсія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-016

Симетрія і подібність у трикутнику

Усередині гострокутного трикутника ABCABC, який не є рівнобедреним, є три різні точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 такі, що AB1:CB1=AB:CBAB_1 : CB_1 = AB : CB і AC1:BC1=AC:BCAC_1 : BC_1 = AC : BC. Нехай A2A_2 — точка, симетрична точці A1A_1 відносно прямої BCBC, нехай B2B_2 — точка, симетрична точці B1B_1 відносно прямої ACAC, а C2C_2 — точка, симетрична точці C1C_1 відносно прямої ABAB. Тоді виконуються всі такі умови: ∙\bullet Чотири точки A,A2,B,C2A, A_2, B, C_2 лежать на одному колі. ∙\bullet Чотири точки A,A2,B2,CA, A_2, B_2, C лежать на одному колі. ∙\bullet Чотири точки B,B2,C,C2B, B_2, C, C_2 лежать на одному колі. ∙\bullet Жодна з трьох точок A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 не лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник A1B1C1A_1B_1C_1 і трикутник A2B2C2A_2B_2C_2 подібні.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-096

Тангенси кутів з внутрішньої точки правильного шестикутника

Нехай ABCDEFA B C D E F — правильний шестикутник, а PP — точка в його внутрішності. Доведіть, що з трьох значень tg⁡∠APD\operatorname{tg} \angle A P D, tg⁡∠BPE\operatorname{tg} \angle B P E і tg⁡∠CPF\operatorname{tg} \angle C P F два в сумі дають третє.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-098

Перпендикулярність з центра описаного кола в чотирикутнику

Нехай PP — точка всередині чотирикутника ABCDABCD така, що описані кола трикутників PDAPDA, PABPAB і PBCPBC попарно різні, але рівні. Нехай прямі ADAD і BCBC перетинаються в точці XX. Якщо OO — центр описаного кола трикутника XCDXCD, доведіть, що OP⊥ABOP \perp AB.
10–11 класиСиметрія3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-082

Точка в шестикутнику з прямими кутами

Нехай ABCDEFABCDEF — правильний шестикутник з центром OO і стороною довжини 11. Точка XX розміщена всередині шестикутника так, що ∠BXC=∠AXE=90∘\angle BXC = \angle AXE = 90^\circ. Обчисліть усі можливі значення довжини відрізка OXOX.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-028

Коло, дотичне до гіперболи й осі

Коло дотикається до обох гілок гіперболи x2−20y2=24x^{2}-20 y^{2}=24, а також до осі xx. Обчисліть площу цього круга.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-003

Рівні відрізки від дотичних кіл

Трикутник ABCA B C має вписане коло ω\omega і AA-зовнівписане коло ωA\omega_{A}. Коло γB\gamma_{B} проходить через BB і зовні дотикається до кіл ω\omega і ωA\omega_{A}. Коло γC\gamma_{C} проходить через CC і зовні дотикається до кіл ω\omega і ωA\omega_{A}. Якщо γB\gamma_{B} перетинає пряму BCB C знову в точці DD, а γC\gamma_{C} перетинає пряму BCB C знову в точці EE, доведіть, що BD=ECB D=E C.
10–11 класиІнверсія4 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-134

Радіус вписаного кола за відстанями від інцентра

Трикутник ABCABC має інцентр II. Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на сторону BCBC. Нехай XX — точка така, що відрізок AXAX є діаметром описаного кола трикутника ABCABC. Відомо, що ID=2ID = 2, IA=3IA = 3 та IX=4IX = 4. Обчисліть радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2023-027

Середина PQ на прямій Ейлера

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, а PP і QQ — дві різні точки в його внутрішній області. Припустимо, що бісектриси кутів ∠PAQ\angle PAQ, ∠PBQ\angle PBQ і ∠PCQ\angle PCQ є висотами трикутника ABCABC. Доведіть, що середина відрізка PQ‾\overline{PQ} лежить на прямій Ейлера трикутника ABCABC.
10–11 класиПряма Ейлера3 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-005

Інцентри трикутників біцентричного п'ятикутника

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п’ятикутник такий, що п’ять вершин лежать на колі, а п’ять сторін дотикаються до іншого кола всередині п’ятикутника. Існує (53)=10\binom{5}{3} = 10 трикутників, які можна утворити, вибравши 3 з 5 вершин. Для кожного з цих 10 трикутників позначимо його інцентр. Доведіть, що ці 10 інцентрів лежать на двох концентричних колах.
10–11 класиІнверсія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.