Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

261 задача
КомбінаторикаКонструкція за індукцією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-03-04-088

Прямокутник з вирізаною клітинкою на триклітинкові кутики

З клітинкового паперу по лініях сітки вирізали прямокутник розмірами 22003×220052^{2003}\times 2^{2005}. Після цього з одержаного прямокутника вирізали довільно одну з клітинок. Чи завжди отриману фігуру можна по лініях сітки розрізати на триклітинкові фігурки вигляду (у довільній орієнтації)?
10 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-01-02-065

Мінімуми стовпців і максимуми рядків на клітчастій площині

Дано нескінченний в усі боки аркуш паперу в клітинку. Чи можна в кожній клітинці записати ціле число так, щоб були записані всі цілі числа, причому кожне з них — тільки один раз, у кожному стовпчику існувало число, менше від усіх інших чисел цього стовпчика, а в кожному рядку існувало число, більше від усіх інших чисел цього рядка?
9 класКонструкція за індукцією
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-126

Перетворення гарних чисел вставками особливих чисел

Назвемо натуральне число гарним, якщо всі його цифри ненульові. Гарне число називається особливим, якщо в ньому є принаймні kk розрядів і цифри йдуть зліва направо в порядку зростання. Нехай маємо деяке гарне число. За один хід дозволяється приписати з будь-якого краю або вписати між будь-якими його двома цифрами особливе число, або витерти в його записі особливе число. При якому найбільшому kk можна з довільного гарного числа отримати довільне інше гарне число за допомогою таких ходів?
10–11 класиОстача від ділення
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-133

Лампочки у вершинах n-кутника та стирання діагоналей

Розглянемо правильний nn-кутник, у якому проведено всі його діагоналі, а в кожній вершині розташовані лампочки. Спочатку ввімкнено kk лампочок. На кожному кроці гри гравець стирає діагональ або сторону і змінює стан однієї з двох лампочок на кінцях діагоналі. Визначте всі можливі значення kk, за яких можна ввімкнути всі лампочки, витерши всі діагоналі та сторони.
10–11 класиПарність і непарність
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-108

Фарбування множини без одноколірних триелементних підмножин

Для довільної множини XX, із кількістю елементів не менше ніж 55, вибрано 66 триелементних підмножин. Доведіть, що елементи множини XX можна пофарбувати у два кольори (кожний елемент фарбується в один із двох кольорів) таким чином, щоб елементи із жодної з підмножин не були однокольоровими.
9 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-029

Соти рівня n без центрального шестикутника і трекси

Нехай nn — ціле додатне число. Соти рівня nn — це плоска область, покрита правильними шестикутниками із довжиною сторони 1, сполученими по краях так, що центри шестикутників, розташованих на межі, вишикуються вздовж правильного шестикутника з довжиною сторони 3n\sqrt{3n}. На рис. 8.1 зображено 2-рівневі соти, із яких вилучено центральний шестикутник. Трекс — це послідовність із 3-х шестикутників із колінеарними центрами, у яких середній шестикутник має спільне ребро з кожним зі своїх сусідів у трексі. Соти рівня nn, із якого видалено центральний шестикутник розміру 1, мають бути повністю покриті трексами без будь-яких перекриттів. Знайдіть усі значення nn, для яких це можливо.
7–8 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-098

Найбільша кількість авіакомпаній зі сполученням між містами

У країні є n⩾2n \geqslant 2 міст, кожні два з яких сполучено двосторонніми авіарейсами. Уряд вирішив надати ліцензії декільком авіакомпаніям таким чином, щоб кожна з них задовольняла такі умови: - кожний рейс між двома містами в обох напрямках належить рівно одній компанії; - будь-який пасажир кожної авіалінії може дістатися від будь-якого міста до будь-якого іншого, використовуючи рейси саме цієї компанії. Яка найбільша кількість авіакомпаній могли отримати ліцензію?
9 класЗв’язність
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-061

Зустрічі дванадцяти піратів із поділом золотого піску

У кожного з 1212 піратів є деяка кількість золотого піску. Вони можуть зустрічатися по двоє або по троє; при цьому поділяють весь золотий пісок, що в них є, порівну. Доведіть, що пірати можуть досягти того, щоб після декількох таких зустрічей у всіх 1212 піратів піску стало порівну.
6–7 класиКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-047

Строге розрізання прямокутника на n рівнобічних трапецій

Розглянемо розрізання прямокутника на nn рівнобічних трапецій, не обов'язково рівних. Назвемо таке розрізання строгим, якщо при цьому не утвориться i>1i > 1 таких трапецій, з яких можна отримати рівнобічну трапецію (наприклад, коли в рівнобічній трапеції провести пряму чи декілька прямих, паралельних її основам). Покажіть, що для кожного n⩾9n \geqslant 9 існує строге розрізання прямокутника 2017×20182017 \times 2018 на nn рівнобічних трапецій.
7–8 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-122

Мінімальний модуль знакової суми степенів

Для натурального числа nn визначимо таку величину: cn=min⁡z1,z2,…,zn∈{−1,1}∣z1⋅12018+z2⋅22018+…+zn⋅n2018∣.c_n = \min_{z_1, z_2, \ldots, z_n \in \{-1, 1\}} \left| z_1 \cdot 1^{2018} + z_2 \cdot 2^{2018} + \ldots + z_n \cdot n^{2018} \right|. Доведіть, що послідовність (cn)(c_n) — обмежена.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-095

Перефарбування зв'язного графа з шляхом із сусідніми кольорами

Нехай граф GG — зв'язний. Припустимо, що кожна вершина графа GG може бути пофарбована в один із кольорів 0,1,…,20210, 1, \ldots, 2021. Кінці кожного ребра графа мають різні кольори. Позначимо через f(x)f(x) колір точки xx. Доведіть, що можна перефарбувати вершини в кольори 0,1,…,20210, 1, \ldots, 2021 таким чином, щоб для кожної пари вершин aa та bb існував шлях a=x1,x2,…,xn−1,xn=ba = x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n = b, коли ∀i=1,n−1‾\forall i = \overline{1, n-1} справджується рівність ∣f(xi)−f(xi+1)∣=1\left| f(x_i) - f(x_{i+1}) \right| = 1.
9 класЗв’язність
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-104

Перестановки кортежу 1 до 2015 дозволеними ходами

Для заданого кортежу (a1,a2,…,a2015)(a_1, a_2, \ldots, a_{2015}) можна робити такі ходи: вибираємо довільні два індекси 1⩽k,l⩽20151 \leqslant k, l \leqslant 2015, при цьому число aka_k — парне, та замінюємо існуючий кортеж на такий: (a1,…,ak−1,12ak,ak+1,…,al−1,al+12ak,al+1,…,a2015).\left(a_1, \ldots, a_{k-1}, \frac{1}{2}a_k, a_{k+1}, \ldots, a_{l-1}, a_l + \frac{1}{2}a_k, a_{l+1}, \ldots, a_{2015}\right). Доведіть, що, розпочинаючи з кортежу (1,2,…,2015)(1, 2, \ldots, 2015), за скінченну кількість кроків можна отримати довільну перестановку цих чисел.
9 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-091

Повний набір гир після прибирання найважчої

Дано набір гир, маси яких виражено натуральними числами m1,m2,…,mnm_1, m_2, \ldots, m_n. Назвемо набір повним, якщо для будь-якого натурального числа M⩽m1+m2+…+mnM \leqslant m_1 + m_2 + \ldots + m_n існує такий набір гир, сумарна маса яких дорівнює MM. Доведіть, що коли із цього набору прибрати найважчу гирю, то набір, що залишився, так само буде повним.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-121

Нестала функція з умовою про кількість дільників

Чи існує відмінна від сталої функція f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, що має таку властивість: кількість дільників числа mm дорівнює f(n)f(n) тоді й тільки тоді, коли кількість дільників числа nn дорівнює f(m)f(m) для довільних натуральних mm та nn?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-082

Найбільша кількість підмножин різного розміру без включень

Для деякого натурального n⩾4n \geqslant 4 розглянемо mm підмножин A1,A2,…,AmA_1, A_2, \ldots, A_m множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, що задовольняють такі умови: множина AjA_j, j=1,m‾j = \overline{1, m}, містить рівно jj елементів і для жодних i<ji < j не справджується включення Ai⊂AjA_i \subset A_j. Якого максимально можливого значення за таких умов може набувати mm?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-053

Можлива таблиця n×n з різними сумами рядків і стовпців

Знайдіть усі такі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, для яких можна заповнити таблицю розміром n×nn \times n числами 00, −1-1 або 11 таким чином, щоб суми чисел у кожному рядку та кожному стовпці були різними (тобто щоб було 2n2n різних чисел).
7–8 класиПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-130

Подання чисел сумами різних степенів 3, 4 і 7

Доведіть, що кожне натуральне число можна виразити як суму цілих невід’ємних степенів чисел 33, 44 і 77, у якій немає двох доданків з однаковими основами та показниками. Примітка. Наприклад, такі подання чисел 2=30+702 = 3^0 + 7^0 і 22=32+30+41+40+7122 = 3^2 + 3^0 + 4^1 + 4^0 + 7^1 є припустимими, а подання чисел 2=70+702 = 7^0 + 7^0 і 22=32+32+4122 = 3^2 + 3^2 + 4^1 — ні.
10–11 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-022

Гральний автомат і перетворення натурального числа в одиницю

Гральний автомат може зробити з раціонального числа nn одне із чотирьох чисел 2n2n, 12n\frac{1}{2}n, 3n+13n+1 та 13(n−1)\frac{1}{3}(n-1). Доведіть, що таким чином можна довільне натуральне число перетворити в 11.
7–8 класиКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-055

4037 ламп і вмикання перших 2019 ламп

У лінію розташовано 40374037 ламп. Із самого початку кожна лампа може бути ввімкнена чи вимкнена. Хід полягає в тому, що вибирають дві лампочки з номерами aa та bb, для яких одне із чисел — ab\dfrac{a}{b} чи ba\dfrac{b}{a} — є простим числом, і змінюють стан цих ламп. Доведіть, що можна ввімкнути всі лампи з номерами від 11 до 20192019, незважаючи на початкову конфігурацію ввімкнених ламп.
7–8 класиЖадібний алгоритм
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-028

Покриття квадратної сітки трикутниками з гіпотенузою 2

Квадрат n×nn \times n поділено на одиничні квадратики. Потрібно розмістити на ньому прямокутні рівнобедрені трикутники з гіпотенузою 22 таким чином, щоб вони мали вершини у вершинах утвореної сітки з одиничних квадратиків, а кожний одиничний відрізок сітки лежав усередині чи на межі рівно одного з таких трикутників. Для яких nn можна це здійснити?
7–8 класиРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-056

Розфарбування вершин многокутника з діагоналями у три кольори

На площині зображено опуклий nn-кутник, n⩾3n \geqslant 3. У ньому проведено деякі діагоналі, жодні дві з яких не перетинаються. Доведіть, що його вершини можна пофарбувати в три кольори таким чином, що будь-які дві вершини, сполучені стороною чи проведеною діагоналлю, матимуть різні кольори.
7–8 класиКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-169

Недвійкові 99-елементні та двійкові 100-елементні підмножини

Множину натуральних чисел SS називають двійковою, якщо існують деякі два елементи s,s′∈Ss, s' \in S (не обов’язково різні), сума s+s′s+s' яких є степенем числа 22. Інакше множину називають недвійковою. Знайдіть хоча б одне таке натуральне число nn, для якого множина {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} містить 9999-елементну недвійкову підмножину, а всі 100100-елементні її підмножини є двійковими.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Київський турнір математичних боївKMB-17-18-015

Гра фарбування смужки з вісьмома чорними квадратиками

Гравці AA та BB грають на нескінченній в один бік смужці з одиничних квадратиків у таку гру. Гравець AA своїм ходом фарбує в чорний колір два довільних білих квадратики смужки. Гравець BB своїм ходом робить білими будь-яку кількість сусідніх чорних квадратиків. Гравець AA переможе, якщо на смужці виникне ситуація, коли вісім послідовних квадратиків стануть чорними. Чи може гравець AA забезпечити собі перемогу?
8 класКонструкція за індукцією
Київський турнір математичних боївKMB-17-18-147

Які натуральні степені x зберігає спеціальний комп'ютер

Спеціальний комп'ютер уміє зберігати в пам'яті алгебраїчні вирази. Функції ff і gg називають еквівалентними (f∼gf\sim g), якщо вони збігаються при кожному значенні xx, що належить спільній області визначення кожної із цих функцій, зокрема, f∼ff\sim f. При цьому комп'ютер виконує такі операції: • якщо в памяті зберігається функція f≠0f\neq 0, то він зберігає також і функцію 1f\frac{1}{f} (функція ff так само зберігається); • якщо в пам'яті зберігаються функції ff і gg, то там зберігаються також функції f±gf\pm g (при цьому можливо, що f∼gf\sim g). Пам'ять комп'ютера необмежена, і він розпочинає роботу з функції f(x)=xf(x)=x. Для яких натуральних nn у пам'яті комп'ютера зберігатимуться функції xnx^n або еквівалентні їм?
10–11 класиПарність і непарність
Київський турнір математичних боївKMB-17-18-021

Чи існує перестановка з квадратом суми елемента й індексу

Чи існує перестановка a1,a2,…,a6666a_1, a_2, \ldots, a_{6666} чисел 1,2,…,66661, 2, \ldots, 6666, для якої для кожного k=1,2,…,6666k = 1, 2, \ldots, 6666 число ak+ka_k + k є квадратом цілого числа?
8 класКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.