Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

52 задачі
Теорія чиселКвадратичні лишки і символ Лежандра
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-017

Функція на взаємно простих парах і квадратична сума

Нехай pp — непарне просте число, а Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина додатних цілих чисел. Припустимо, що функція f:Z>0×Z>0→{0,1}f: \mathbb{Z}_{>0} \times \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \{0,1\} задовольняє такі властивості: - f(1,1)=0f(1,1)=0; - f(a,b)+f(b,a)=1f(a, b)+f(b, a)=1 для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b), не обох рівних 11; - f(a+b,b)=f(a,b)f(a+b, b)=f(a, b) для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b). Доведіть, що ∑n=1p−1f(n2,p)⩾2p−2.\sum_{n=1}^{p-1} f\left(n^{2}, p\right) \geqslant \sqrt{2 p}-2 .
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-001

Послідовність з подвоєнням плюс один і прості числа

Для натурального числа aa визначимо послідовність натуральних чисел x1,x2,…x_1, x_2, \ldots такими умовами: x1=ax_1=a, xn+1=2xn+1x_{n+1}=2x_n+1, n∈Nn \in \mathbb{N}. Покладемо yn=2xn−1y_n=2^{x_n}-1. Знайдіть найбільше можливе натуральне число kk таке, що для деякого натурального числа aa числа y1,y2,…,yky_1, y_2, \ldots, y_k є простими.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-016

Зображення остач сумою квадрата й п'ятого степеня

Доведіть, що для кожного простого p>100p > 100 і кожного цілого rr існують такі цілі числа aa і bb, що pp ділить a2+b5−ra^{2} + b^{5} - r.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-012

Степені перестановки за модулем числа Ферма

Нехай kk — натуральне число і n=2k+1n=2^{k}+1. Доведіть, що nn є простим числом тоді й лише тоді, коли виконується таке: існує перестановка a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1} чисел 1,2,…,n−11,2, \ldots, n-1 і послідовність цілих чисел g1,g2,…,gn−1g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n-1} такі, що nn ділить giai−ai+1g_{i}^{a_{i}}-a_{i+1} для кожного i∈{1,2,…,n−1}i \in\{1,2, \ldots, n-1\}, де покладемо an=a1a_{n}=a_{1}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-047

Прості числа з періодичним функціональним рівнянням

Нехай Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Знайдіть із доведенням усі прості числа pp, для яких існує функція f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z} така, що для будь-якого цілого числа xx, f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x) і pp ділить f(x+f(x))−xf(x + f(x)) - x.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-048

НСД суми квадратів і добутку

Знайдіть із доведенням усі можливі значення НСД(a2+b2+c2,abc)\text{НСД}(a^{2} + b^{2} + c^{2}, abc) для всіх трійок натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c).
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-102

Цілозначні многочлени в уявній одиниці

Для всіх многочленів PP таких, що P(n)P(n) є цілим числом для всіх цілих nn, визначте з доведенням усі можливі значення P(i)P(i), де i2=−1i^{2} = -1.
10–11 класиГауссові числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-122

Сплітті-многочлени четвертого степеня з цілим параметром

Многочлен f∈Z[x]f \in \mathbb{Z}[x] називається сплітті тоді й лише тоді, коли для кожного простого pp існують многочлени gp,hp∈Z[x]g_p, h_p \in \mathbb{Z}[x] такі, що deg⁡gp,deg⁡hp<deg⁡f\operatorname{deg} g_p, \operatorname{deg} h_p < \operatorname{deg} f і всі коефіцієнти многочлена f−gphpf - g_p h_p діляться на pp. Обчисліть суму всіх натуральних чисел n≤100n \leq 100, для яких многочлен x4+16x2+nx^4 + 16 x^2 + n є сплітті.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-038

Великі прості дільники суми квадрата й одиниці

Оцініть кількість натуральних чисел n≤106n \leq 10^{6} таких, що n2+1n^{2}+1 має простий дільник, більший за nn. Надішліть натуральне число EE. Якщо правильна відповідь дорівнює AA, ви отримаєте max (0,⌊20⋅min⁡(EA,106−E106−A)5+0.5⌋)\left(0,\left\lfloor 20 \cdot \min \left(\frac{E}{A}, \frac{10^{6}-E}{10^{6}-A}\right)^{5}+0.5\right\rfloor\right) балів.
10–11 класиРозподіл простих чисел
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-002

Прості числа, що не є буденними

Просте число pp називається буденним, якщо існують натуральні числа aa і bb, менші за p2\frac{p}{2}, такі, що ab−1p\frac{a b-1}{p} — натуральне число. Знайдіть з доведенням усі прості числа, які не є буденними.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-011

Повні квадрати в лінійних послідовностях

Нехай nn — натуральне число і нехай a,a1,…,ana, a_{1}, \ldots, a_{n} — натуральні числа. Припустимо, що для кожного цілого kk, для якого число ak+1a k+1 є повним квадратом, принаймні одне з чисел a1k+1,…,ank+1a_{1} k+1, \ldots, a_{n} k+1 також є повним квадратом. Доведіть, що існує індекс 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n такий, що a=aia=a_{i}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-018

Гра з простим числом і перетвореннями цілих чисел

П'єр і Клара грають у таку гру. Спочатку Клара вибирає ціле число cc. Потім П'єр вибирає просте число p⩾cp \geqslant c і записує на дошці два цілі числа aa і bb. Після цього Клара може виконувати такі операції: вона вибирає одне з двох чисел, записаних на дошці, скажімо nn, витирає його і записує замість нього інше ціле число, скажімо mm, таке, що pp ділить (n2−m+1)(m2−n+1)\left(n^{2}-m+1\right)\left(m^{2}-n+1\right). Клара виграє, якщо за скінченну кількість таких операцій їй вдається зробити так, щоб два цілі числа, записані на дошці, стали однаковими. Інакше вона програє, і виграє П'єр. Доведіть, що П'єр може завадити Кларі виграти.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-010

Острови, мости та умова подільності

Для кожного простого pp десь у мультивсесвіті існує королівство, що складається з pp островів, пронумерованих від 11 до pp, з мостом між будь-якою парою з них. Коли Яна відвідує королівство, через коронавірусні обмеження вона мусить дотримуватися такого правила: безпосередньо після відвідування острова mm вона може перейти лише на острів nn, якщо p∣(m2−n+1)(n2−m+1)p \mid (m^{2}-n+1)(n^{2}-m+1) Доведіть, що існує нескінченно багато королівств таких, що Яна не може в такий спосіб дістатися до кожного острова.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2021-024

Факторіали, що діляться на квадрат плюс один

Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що n2+1∣n!n^{2}+1 \mid n!
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-004

Сума чисел Каталана за модулем непарного простого числа

Нехай Ck=1k+1(2kk)C_{k} = \frac{1}{k+1} \binom{2k}{k} позначає kтеk^{\text{те}} число Каталана, а pp — непарне просте число. Доведіть, що рівно половина чисел множини {∑k=1p−1Cknk∣n∈{1,2,…,p−1}}\left\{\sum_{k=1}^{p-1} C_{k} n^{k} \mid n \in \{1,2, \ldots, p-1\}\right\} ділиться на pp.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-102

Просте менше число як квадратичний лишок

Нехай p>5p > 5 — просте число. Доведіть, що існує просте число q<pq < p і натуральне число nn такі, що pp ділить n2−qn^{2} - q.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-071

Сума квадратів найменших квадратичних нелишків

Для непарних простих чисел pp нехай f(p)f(p) позначає найменше натуральне число aa, для якого не існує цілого числа nn, такого, що p∣n2−ap \mid n^{2}-a. Оцініть NN, суму f(p)2f(p)^{2} за першими 10510^{5} непарними простими числами pp. Оцінка E>0E>0 отримає ⌊22min⁡(N/E,E/N)3⌋\left\lfloor 22 \min (N / E, E / N)^{3}\right\rfloor балів. (Задачу запропонував Майкл Рен.)
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-050

Період чисел Фібоначчі за модулем 127

Послідовність Фібоначчі визначається так: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для всіх цілих чисел n≥2n \geq 2. Знайдіть найменше натуральне число mm таке, що Fm≡0(mod127)F_{m} \equiv 0 \pmod{127} і Fm+1≡1(mod127)F_{m+1} \equiv 1 \pmod{127}.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-051

Періодична функція з квадратичною конгруенцією

Нехай N\mathbb{N} позначає натуральні числа. Обчисліть кількість функцій f:N→{0,1,…,16}f: \mathbb{N} \rightarrow \{0,1, \ldots, 16\} таких, що f(x+17)=f(x)іf(x2)≡f(x)2+15(mod17)f(x+17)=f(x) \quad \text{і} \quad f\left(x^{2}\right) \equiv f(x)^{2}+15 \pmod{17} для всіх цілих x≥1x \geq 1.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-023

Просте число з умовою на показник за модулем

Нещодавно на математичному змаганні Евана попросили знайти 22016(modp)2^{2016} \pmod{p} для заданого простого числа pp, де 100<p<500100 < p < 500. Еван забув, яким було просте число pp, але досі пам’ятає, як він розв’язував цю задачу: - Спершу Еван спробував звести 20162016 за модулем p−1p-1, але отримав значення ee, яке більше за 100100. - Однак Еван зауважив, що e−12(p−1)=21e - \frac{1}{2}(p-1) = 21, і тоді зрозумів, що відповідь дорівнює −221(modp)-2^{21} \pmod{p}. Яким було просте число pp?
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-092

Кількість розв'язків еліптичної кривої за модулем простого числа

Знайдіть усі прості числа pp такі, що y2=x3+4xy^{2}=x^{3}+4 x має рівно pp розв'язків у цілих числах за модулем pp. Іншими словами, знайдіть усі прості числа pp з такою властивістю: існує рівно pp впорядкованих пар цілих чисел (x,y)(x, y) таких, що x,y∈{0,1,…,p−1}x, y \in \{0,1, \ldots, p-1\} і p ділить y2−x3−4xp \text{ ділить } y^{2}-x^{3}-4 x
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-118

Квадратичні лишки за модулем x²+1 та 35

Знайдіть кількість впорядкованих пар цілих чисел (a,b)∈{1,2,…,35}2(a, b) \in \{1,2, \ldots, 35\}^2 (не обов’язково різних), таких, що ax+ba x+b є «квадратичним лишком за модулем x2+1x^2+1 і 35», тобто існує многочлен f(x)f(x) з цілими коефіцієнтами, для якого виконується будь-яка з таких еквівалентних умов: - існують многочлени P,QP, Q з цілими коефіцієнтами такі, що f(x)2−(ax+b)=(x2+1)P(x)+35Q(x)f(x)^2-(a x+b)=\left(x^2+1\right) P(x)+35 Q(x); - або, більш концептуально, остача від ділення (многочлена) f(x)2−(ax+b)f(x)^2-(a x+b) на (многочлен) x2+1x^2+1 є многочленом з (цілими) коефіцієнтами, кожен з яких ділиться на 35.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-009

Послідовність, усі середні якої — точні квадрати

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots — послідовність цілих чисел із властивістю, що середнє арифметичне будь-якої групи послідовних aia_i є точним квадратом. Точніше, для будь-яких натуральних чисел nn і kk величина an+an+1+⋯+an+k−1k\frac{a_n + a_{n+1} + \dots + a_{n+k-1}}{k} завжди є квадратом цілого числа. Доведіть, що послідовність обов'язково є сталою (усі aia_i дорівнюють одному й тому ж точному квадрату).
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…3 розв’язки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-002

Прості дільники членів послідовності Пелля

Нехай aa, bb — взаємно прості натуральні числа, а послідовності цілих чисел ana_n і bnb_n задовольняють рівність (a+b2)2n=an+bn2(a + b\sqrt{2})^{2n} = a_n + b_n\sqrt{2}. Знайдіть усі прості числа pp такі, що існує натуральне число nn не більше за pp, для якого bn≡0(modp)b_n \equiv 0 \pmod{p}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2022-002

Рівняння з цілими a, b, c та a-b

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a,b,c) цілих чисел, які задовольняють рівняння (a−b)3(a+b)2=c2+2(a−b)+1.(a-b)^3(a+b)^2 = c^2 + 2(a-b) + 1.
Квадратичні лишки і символ Лежанд…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.