Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

157 задач
АлгебраЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-212

Члени рекурентної послідовності як сума b² + 2c²

Послідовність чисел задано умовами a1=3;a2=11;an+2=4an+1−an,n∈N.a_1 = 3; \quad a_2 = 11; \quad a_{n+2} = 4a_{n+1} - a_n, \quad n \in \mathbb{N}. Доведіть, що кожен член послідовності можна подати як суму ai=bi2+2ci2a_i = b_i^2 + 2c_i^2 для деяких натуральних чисел bib_i та cic_i.
10–11 класиМетод математичної індукції
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-115

Значення 2009-го члена рекурентно заданої послідовності

Послідовність (an)(a_n) визначається умовами: a1=1a_1 = 1, an=3an−1+2n−1a_n = 3a_{n-1} + 2^{n-1}, n≥2n \geq 2. Знайдіть значення a2009a_{2009}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-182

Підмножини множини 1...2n без різниць 1 і n

Дано натуральне число nn. Позначимо через TT множину перших 2n2n натуральних чисел. Знайдіть кількість таких підмножин S⊂TS \subset T, які мають таку властивість: у множині SS не існує двох таких елементів aa, bb, що ∣a−b∣∈{1,n}|a-b| \in \{1, n\}. Уважаємо, що порожня множина задовольняє умову задачі.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-208

Найменше a1 з цілими першими 2009 членами послідовності

Послідовність (an)(a_n) задовольняє умову an+1=12(an+3)a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + 3) для всіх n≥1n \ge 1. Знайдіть найменше значення a1a_1, для якого перші 20092009 членів послідовності є цілими числами, а будь-який інший член — неціле.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-139

Функції з рівністю f(f(x) − x) = 6x

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f : (0,+\infty) \to (0,+\infty), які ∀x>0\forall x > 0 задовольняють наступну умову: f(f(x)−x)=6xf\left(f(x) - x\right) = 6x.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-155

Прості параметри рекурентної послідовності з умовою a3k = -3

Нехай p,qp, q – прості числа. Послідовність (an)(a_n), n≥0n \ge 0 задана наступним чином: a0=0a_0 = 0, a1=1a_1 = 1, an+2=pan+1−qana_{n+2} = pa_{n+1} - qa_n, n≥0n \ge 0. Знайдіть усі пари (p,q)(p, q), для яких існує kk, таке що a3k=−3a_{3k} = -3.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-168

Найбільший спільний дільник відповідних членів двох послідовностей

Послідовності (xn)(x_n), (yn)(y_n), n≥0n \ge 0 задані наступним чином x0=1x_0 = 1, x1=2x_1 = 2, xn+2=4xn+1−5xnx_{n+2} = 4x_{n+1} - 5x_n, y0=0y_0 = 0, y1=1y_1 = 1, yn+2=4yn+1−5yny_{n+2} = 4y_{n+1} - 5y_n, n≥0n \ge 0. Знайдіть усі можливі значення (xn,yn)(x_n, y_n), n≥0n \ge 0, де через (a,b)(a, b) позначається найбільший спільний дільник натуральних чисел a,ba, b.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-038

Нерівність для членів послідовності з рекурентним співвідношенням

Послідовність (un)(u_n) задана умовами: u0=0u_0 = 0, u1=13u_1 = \frac{1}{3} та 23un=12(un+1+un−1)\frac{2}{3}u_n = \frac{1}{2}(u_{n+1} + u_{n-1}). Довести, що для усіх натуральних nn виконується нерівність: ∣un∣≤1|u_n| \le 1.
8–9 класиЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-054

Дробова рекурентна послідовність з цілими членами

Послідовність чисел (an)(a_n) задається за правилом: a1=a2=1,  an=an−12+2an−2,  n≥3.a_1 = a_2 = 1, \; a_n = \frac{a_{n-1}^2 + 2}{a_{n-2}}, \; n \ge 3. Довести, що усі члени послідовності цілі числа.
8–9 класиЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-135

Найменше α з нерівністю для сум послідовності

Знайдіть найменше α\alpha, для якого існує така послідовність додатних чисел (xn)(x_n), n∈Z+n \in Z^+, що для будь-якого натурального nn виконується нерівність: x0+x1+…+xn≤αxn−1x_0 + x_1 + \ldots + x_n \le \alpha x_{n-1}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-103

Спільні члени двох лінійних рекурентних послідовностей

Розглянемо дві послідовності (an)(a_n) та (bn)(b_n), що задано такими умовами: an+3=an+2+2an+1+an, n=0, 1, 2, …, a0=1, a1=2, a2=3;a_{n+3}=a_{n+2}+2a_{n+1}+a_n,\ n=0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ a_0=1,\ a_1=2,\ a_2=3; bn+3=bn+2+2bn+1+bn, n=0, 1, 2, …, b0=3, b1=2, b2=1.b_{n+3}=b_{n+2}+2b_{n+1}+b_n,\ n=0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ b_0=3,\ b_1=2,\ b_2=1. Скільки чисел трапляються в обох послідовностях одночасно?
10 класМетод математичної індукції
Тематичні олімпіади з математикиTMO-15-16-005

Поліноми з рекуренти та подільність на тричлен

Послідовність поліномів (fn)(f_n) визначається умовами: f0(x)=2,f1(x)=3x,fn(x)=3xfn−1(x)+(1−x−2x2)fn−2(x),∀n⩾2.f_0(x)=2, \quad f_1(x)=3x, \quad f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x), \quad \forall n \geqslant 2. Знайдіть усі такі натуральні nn, для яких fn(x)f_n(x) ділиться на x3−x2+xx^3-x^2+x.
9 класЛінійні рекурентні послідовності
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2004-017

Числова послідовність з умовою і квадрати парних членів

Числову послідовність {an}n=1∞\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} задано такими умовами: a1=0a_1 = 0, an+1=10an+na_{n+1} = 10a_n + n для всіх n∈Nn \in \mathbb{N}. Доведіть, що для жодного m≥2m \ge 2 число a2ma_{2m} не є квадратом натурального числа.
Метод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-002

Функціональне рівняння з умовою 2ab = c² + d²

Знайдіть усі функції f:Z+→Z+f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ такі, що рівність f(a+b)=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)f(a+b) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d) виконується для довільних a,b,c,d∈Z+a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+ таких, що 2ab=c2+d22ab = c^2 + d^2.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-008

Перетворення від’ємного розташування по колу в себе

Розташування по колу m⩾3m \geqslant 3 чисел −1-1 назвемо mm-від’ємним (інших чисел на колі немає). На першому кроці відмінник Андрійко вибирає одне з чисел на колі та множить його на −1-1. Далі на кожному кроці він, замість наступного за ходом годинникової стрілки числа на колі, записує його добуток з числом, записаним на попередньому кроці. Доведіть, що коли для деякого nn за kk кроків nn-від’ємне розташування перетворюється в себе, то за 2k−12^k-1 кроків (2n−1)(2^n-1)-від’ємне розташування також перетворюється в себе.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-013

Кавайні послідовності та подільність

Послідовність цілих чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots називається кавайною, якщо a0=0,a1=1a_{0}=0, a_{1}=1 і для будь-якого натурального числа nn виконується (an+1−3an+2an−1)(an+1−4an+3an−1)=0.\left(a_{n+1}-3 a_{n}+2 a_{n-1}\right)\left(a_{n+1}-4 a_{n}+3 a_{n-1}\right)=0 . Ціле число називається кавайним, якщо воно належить деякій кавайній послідовності. Припустимо, що два послідовні додатні цілі числа mm і m+1m+1 є кавайними (не обов’язково належать одній і тій самій кавайній послідовності). Доведіть, що 3 ділить mm і що m/3m / 3 є кавайним.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності3 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-006

Рекурентна послідовність з усіма членами-квадратами

Нехай m>1m > 1 — ціле число. Послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots визначено як a1=a2=1a_1 = a_2 = 1, a3=4a_3 = 4, і для кожного n⩾4n \geqslant 4 справджується рівність an=m(an−1+an−2)−an−3.a_n = m(a_{n-1} + a_{n-2}) - a_{n-3}. Знайдіть усі цілі числа mm такі, що кожен член цієї послідовності є точним квадратом цілого числа.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-007

Функціональне рівняння з обмеженою областю значень

Знайдіть усі функції f:R→[−2019,2019]f: \mathbb{R} \to [-2019, 2019], для яких 2f(f(x))+f(f(−x))+8f(x)+4f(−x)+4x=02f(f(x)) + f(f(-x)) + 8f(x) + 4f(-x) + 4x = 0 для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-001

Функціональне рівняння на додатних дійсних

Знайдіть усі функції f:(0,∞)→Rf:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, що задовольняють (x+1x)f(y)=f(xy)+f(yx)\left(x+\frac{1}{x}\right) f(y)=f(x y)+f\left(\frac{y}{x}\right) для всіх x,y>0x, y>0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-004

Рекурентна послідовність зі змінним рекурентним співвідношенням

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність цілих чисел, а b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел такі, що a0=0a_{0}=0, a1=1a_{1}=1, і an+1={anbn+an−1, якщо bn−1=1anbn−an−1, якщо bn−1>1 для n=1,2,…a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} a_{n} b_{n}+a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}=1 \\ a_{n} b_{n}-a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}>1 \end{array} \quad \text{ для } n=1,2, \ldots\right. Доведіть, що принаймні одне з двох чисел a2017a_{2017} і a2018a_{2018} не менше від 20172017.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-003

Цілі значення твірної функції послідовності

Нехай a1=1a_1 = 1, a2=10a_2 = 10 і an+1=2an+3an−1a_{n+1} = 2a_n + 3a_{n-1}, n>1n > 1. Тоді нескінченна сума P(x)=∑i=1∞aixi,P(x) = \sum_{i=1}^{\infty} a_i x^i, визначена і скінченна при x∈]−13,13[x \in ] -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}[. Знайдіть усі y∈Zy \in \mathbb{Z}, для яких P(1y)∈Z.P\left(\frac{1}{y}\right) \in \mathbb{Z}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-047

Лінійне рекурентне співвідношення за модулем 2013

Нехай a0=a>0a_0 = a > 0 — ціле число, а an=5an−1+4a_n = 5a_{n-1} + 4. Чи можна вибрати aa так, щоб a54a_{54} ділилося на 2013?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-001

Симетрія в рекурентно заданих послідовностях

Нехай nn — натуральне число, а a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1} — довільні дійсні числа. Визначимо послідовності u0,…,unu_{0}, \ldots, u_{n} та v0,…,vnv_{0}, \ldots, v_{n} індуктивно рівностями u0=u1=v0=1u_{0}=u_{1}=v_{0}=1 і uk+1=uk+akuk−1,vk+1=vk+an−kvk−1 для k=1,…,n−1.u_{k+1}=u_{k}+a_{k} u_{k-1}, \quad v_{k+1}=v_{k}+a_{n-k} v_{k-1} \quad \text{ для } k=1, \ldots, n-1 . Доведіть, що un=vnu_{n}=v_{n}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-025

Червоні й чорні мурахи та різниця рік тому

На початку кожного місяця доросла червона мураха народжує трьох малих чорних мурах, а доросла чорна мураха з'їдає одну малу чорну мураху, народжує трьох малих червоних мурах і помирає. Протягом місяця малі мурахи перетворюються на дорослих і процес повторюється. Якщо на Різдво було 9 000 0009\,000\,000 червоних мурах та 1 000 0001\,000\,000 чорних, чому дорівнювала різниця між кількістю червоних і чорних мурах на Різдво рік тому?
4–6 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-040

Степінь простого числа, що ділить член послідовності

Нехай {xn}\{x_n\} — послідовність цілих чисел така, що x0=ax_0 = a, x1=3x_1 = 3 і xn=2xn−1−4xn−2+3 для всіх n>1.x_n = 2x_{n-1} - 4x_{n-2} + 3 \text{ для всіх } n > 1. Знайдіть найбільше ціле число kk, для якого існує просте число pp таке, що pkp^k ділить x2011−1x_{2011} - 1.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.