Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-116

Нескінченно багато розв’язків рівняння з оберненими числами

Для деяких цілих невід’ємних чисел mm, nn рівняння 1x1+1x2+…+1xm−1y1−1y2−…−1yn=577408\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_m}-\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}-\ldots-\frac{1}{y_n}=\frac{577}{408} має нескінченно багато розв’язків у натуральних числах x1,x2,…,xmx_1, x_2, \ldots, x_m, y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n. Доведіть, що рівняння 1x1+1x2+…+1xk−1y1−1y2−…−1yl=577408\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_k}-\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}-\ldots-\frac{1}{y_l}=\frac{577}{408} має розв’язок у натуральних числах x1,x2,…,xkx_1, x_2, \ldots, x_k, y1,y2,…,yly_1, y_2, \ldots, y_l для деяких цілих невід’ємних k<mk < m та l<nl < n.
11 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-020

Модуль l для степенів mᵐ, nⁿ і модуля k

Нехай число kk — натуральне. Доведіть, що існує натуральне число ll з такою властивістю: якщо nn та mm — натуральні числа, взаємно прості із числом ll, та mm≡nn(modl)m^m \equiv n^n \pmod{l}, то m≡n(modk)m \equiv n \pmod{k}.
10 класТеорема Ейлера
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-023

Кількість вільних кімнат після переміщень людей

Є 20182018 кімнат, що розташовані в рядок та занумеровані зліва направо числами 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. У початковий момент у кімнаті за номером 11 перебувають 20182018 людей, а в інших кімнатах людей немає. Щосекунди, якщо в кімнаті опиняється більше ніж одна людина, рівно одна з них переходить у сусідню кімнату з більшим на 11 номером. Скільки кімнат будуть вільними через 20182018 секунд після 20182018 таких переміщень?
10 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-099

Вільний член многочлена після щоденних замін

На дошці записано многочлен x2+1x^2+1. Щодня Катря стирає записаний на дошці многочлен F(x)F(x) та записує замість нього один із двох многочленів — F2(x)+1F^2(x)+1 або F(x2+1)F(x^2+1). Доведіть, що через рік вільний член многочлена, записаного на дошці, буде більше ніж 222222^{2^{222}}.
9 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-032

Рівність многочленів P2n(x) і Pn(x² + a)

Дано послідовність (ci)(c_i), i∈Z+i \in \mathbb{Z}^+, причому c2018>0c_{2018} > 0. Послідовність многочленів визначається таким чином: P−1(x)=0,P0(x)=1,Pn+1(x)=xPn(x)+cnPn−1(x),n∈Z+.P_{-1}(x) = 0, \quad P_0(x) = 1, \quad P_{n+1}(x) = xP_n(x) + c_n P_{n-1}(x), \quad n \in \mathbb{Z}^+. Доведіть, що не існує натурального n>2018n > 2018 і дійсного aa, для яких P2n(x)=Pn(x2+a)P_{2n}(x) = P_n(x^2 + a).
11 класВластивості коефіцієнтів многочле…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-019

Найменша сума жовтих середніх чисел перестановки 1..100

Числа (a1,a2,…,a100)(a_1, a_2, \ldots, a_{100}) — перестановка чисел (1,2,…,100)(1, 2, \ldots, 100). Для кожної трійки (ai,ai+1,ai+2)(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}), 1⩽i⩽981 \leqslant i \leqslant 98, сусідніх значень середнє за величиною число трійки зафарбовано жовтим. Наприклад, для трійки (ai=7,ai+1=98,ai+2=22)(a_i = 7, a_{i+1} = 98, a_{i+2} = 22) зафарбовано число ai+2=22a_{i+2} = 22. Якого найменшого значення може набувати сума SS усіх жовтих чисел? Примітка. Число, яке є жовтим для двох або більше трійок чисел, ураховувати в сумі один раз.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-047

Матч із 16 партій з призовими степенями трійки

Капабланка та Альохін вирішили зіграти шаховий матч із 1616 партій за такими правилами. Переможець першої партії отримував 1=301 = 3^0 песо, переможець другої — 3=313 = 3^1 песо, переможець третьої партії — 9=329 = 3^2 песо і т. д. Якщо партія завершувалася внічию, то вони ділили призовий фонд партії навпіл. Виявилося, що по завершенні матчу Альохін заробив на 20182018 песо більше, ніж Капабланка. Скільки партій виграв кожен із гравців?
8 класСистеми числення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-016

Найменше число на колі із середнім сусідів

По колу розставлено 20152015 чисел таким чином, що кожне число дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх чисел. Чому дорівнює найменше із записаних чисел, якщо найбільше 20152015?
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-102

Операція на натуральних числах та два її значення

Для кожної пари натуральних чисел aa, bb визначено ціле невід’ємне число a∗ba*b, яке задовольняє такі дві умови: 1) (a+b)∗b=a∗b+1(a+b)*b=a*b+1; 2) (a∗b)⋅(b∗a)=0(a*b)\cdot(b*a)=0. Знайдіть значення виразів 2016∗1212016*121 та 2016∗1442016*144.
8 класАрифметика остач (базові властиво…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-109

Гра з фарбуванням чисел 1, 2, …, n

У рядок виписано числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n. При цьому числа 11 та nn пофарбовані в синій колір, а всі інші — у жовтий. Гравці Олеся та Андрій за чергою фарбують одне з жовтих чисел у синій колір за такими правилами: першим ходом Олеся (вона розпочинає) фарбує в синій колір будь-яке з жовтих чисел (позначимо його літерою kk). Тоді Андрій вибирає той із проміжків чисел (1,2,…,k)(1, 2, \ldots, k) або (k,k+1,…,n)(k, k + 1, \ldots, n), який містить більше жовтих чисел; якщо ці проміжки за кількістю жовтих чисел однакові, то будь-який із двох проміжків. Якщо, наприклад, більшим є проміжок (1,2,…,k)(1, 2, \ldots, k), то другий проміжок у подальшій грі участі не бере. Після цього Андрій фарбує в синій колір будь-яке з жовтих чисел нового проміжку. Тепер новий проміжок також розділився на два менших. Далі Олеся для свого ходу вибирає той із двох нових проміжків, що містить більше жовтих чисел, а другий проміжок залишається вже поза грою, і т. д. Перемагає той із гравців, кому вдасться пофарбувати в синій колір таке число, у якого сусідні числа, ліворуч та праворуч від нього, уже сині. Хто перемагає в разі правильної гри обох гравців?
9 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-117

2016 послідовних чисел з 1000 степенями меншими від 11

Назвемо степенем числа n=p1α1p2α2…pkαkn = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_k^{\alpha_k} число deg⁡(n)=α1+α2+…+αk\deg(n) = \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_k, де pip_i — попарно різні прості числа, а α1\alpha_1, α2\alpha_2, …\ldots, αk\alpha_k — натуральні. Доведіть, що існує 20162016 послідовних натуральних чисел, серед яких є рівно 10001000 зі степенем, меншим від 1111.
10 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-018

Рекурентна послідовність з цілочисельними членами

Послідовність (an)(a_n) задається умовами: a0=a1=a2=a3=1,anan−4=an−1an−3+an−22,n⩾4.a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 1, \quad a_n a_{n-4} = a_{n-1} a_{n-3} + a_{n-2}^2, \quad n \geqslant 4. Доведіть, що всі члени послідовності — цілі числа.
9 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-030

Дільник c числа a^x + x - b

Дано натуральні числа aa, cc та ціле число bb. Доведіть, що існує натуральне число xx, для якого cc є дільником числа ax+x−ba^x + x - b.
11 класСтепені за модулем. Періодичність…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-077

Найбільша кількість сполучень без маршрутів довших за три

У країні є 2015 міст, деякі з них сполучені двосторонніми авіалініями. Відомо, що для кожного n>3n > 3 не існує nn попарно різних міст A1A_1, A2A_2, …\ldots, AnA_n, для яких існував би замкнений маршрут перельотів A1→A2→…→An→A1A_1 \to A_2 \to \ldots \to A_n \to A_1 (для трьох міст такі маршрути можуть існувати). Яка найбільша кількість пар міст цієї країни може мати пряме авіасполучення?
11 класЗв’язність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-024

Ітерації квадратного полінома з дійсними коренями

Нехай f1f_1 — квадратний поліном з додатним першим коефіцієнтом. Для кожного n⩾1n \geqslant 1 визначимо fn+1=f1∘fn=f1(fn)f_{n+1} = f_1 \circ f_n = f_1(f_n). Відомо, що поліном f2f_2 має чотири різних недодатних корені. Доведіть, що поліном fnf_n має 2n2^n різних дійсних корені.
11 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-029

Прості слова довжини n над чотирма літерами

Уважаємо, що абетка певної мови складається з чотирьох літер {a, b, c, d}\{a,\ b,\ c,\ d\}, тобто всі слова лексики цієї мови утворюються з цих букв. Назвемо слово складним тоді і тільки тоді, коли в ньому є дві послідовні однакові групи літер, всі інші слова називатимемо простими. Наприклад, слова caa‾dc\underline{\boldsymbol{aa}}d та cabab‾dcc\underline{\boldsymbol{abab}}dc є складними, а слово abcababcab — простим. Доведіть, що кількість простих слів лексики, що містять nn букв, більша, ніж 2n2^n.
11 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-032

Універсальна послідовність та її найкоротша довжина

Послідовність натуральних чисел (a1,a2,…,ak)(a_1, a_2, \ldots, a_k) назвемо універсальною для заданого натурального числа nn, якщо з неї викреслюванням деяких її членів можна отримати довільну перестановку чисел {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}. Наприклад, для n=3n = 3 послідовність (1,2,3,1,2,1,3)(1, 2, 3, 1, 2, 1, 3) — універсальна, а послідовність (1,2,3,2,1,3,1)(1, 2, 3, 2, 1, 3, 1) — ні, бо з неї неможливо отримати перестановку (3,1,2)(3, 1, 2). Позначимо f(n)f(n) довжину найкоротшої універсальної послідовності. Доведіть, що n2−n+1⩾f(n)⩾12n(n+1).n^2 - n + 1 \geqslant f(n) \geqslant \frac{1}{2} n (n + 1).
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-130

Сумарна плата за зварювання сусідніх труб

Нехай задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2 і l1l_1, l2l_2, …\ldots, lnl_n — додатні дійсні числа. Труби довжинами l1l_1, l2l_2, …\ldots, lnl_n лежать у вказаному порядку в ряд. Зварювальник може зварити разом будь-які дві сусідні труби довжинами xx і yy, утворивши трубу довжиною x+yx+y. За це він бере плату (x+y)3(x+y)^3. Порядок, у якому лежать труби, змінювати не можна. Доведіть, що якими б не були початкові довжини труб, існує така послідовність зварювань, що всі труби будуть зварені разом і сумарна плата за це буде меншою ніж 2(l1+l2+…+ln)32(l_1+l_2+\ldots+l_n)^3.
11 класЖадібний алгоритм
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-024

Кількість чисел n з однаковим значенням функції

Функція f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} задовольняє такі умови: 1) f(1)=1f(1)=1; 2) f(2n)=f(n)f(2n)=f(n), якщо nn парне; 3) f(2n)=2f(n)f(2n)=2f(n), якщо nn непарне; 4) f(2n+1)=2f(n)+1f(2n+1)=2f(n)+1, якщо nn парне; 5) f(2n+1)=f(n)f(2n+1)=f(n), якщо nn непарне. Знайдіть кількість натуральних чисел n⩽2047n \leqslant 2047, для яких виконується умова f(n)=f(2011).f(n)=f(2011).
10 класСистеми числення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-029

Функція з сумою дробів та значення f(2011)

Функція f:N∪{0}→[0,+∞)f : \mathbb{N} \cup \{0\} \to [0, +\infty) задовольняє такі умови: 1) f(4)=2f(4) = 2; 2) f(n+1)=1f(0)+f(1)+1f(1)+f(2)+…+1f(n)+f(n+1)f(n+1) = \dfrac{1}{f(0) + f(1)} + \dfrac{1}{f(1) + f(2)} + \ldots + \dfrac{1}{f(n) + f(n+1)}, n⩾0n \geqslant 0. Знайдіть значення f(2011)f(2011).
11 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-100

Найбільша кількість точок і 2012 прямих через них

Яку найбільшу кількість точок можна розташувати на площині так, щоб існувало рівно 20122012 прямих, які проходять хоча б через дві з них?
10 класДискретні набори точок та прямих…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-110

Числова послідовність з членами квадратами цілих чисел

Числова послідовність (an)(a_n) задовольняє умови a1=1a_1 = 1, a2=9a_2 = 9 і an+2=14an+1−an−4a_{n+2} = 14a_{n+1} - a_n - 4 для всіх n∈Nn \in \mathbb{N}. Доведіть, що для кожного n∈Nn \in \mathbb{N} число ana_n — квадрат цілого числа.
10 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-018

Значення суми функції з умовою для простих дільників

Нехай для функції f:N→Rf : \mathbb{N} \to \mathbb{R} для кожного натурального числа nn та його простого дільника pp справджується рівність f(n)=f(np)−f(p).f(n) = f\left(\frac{n}{p}\right) - f(p). Відомо, що f(22007)+f(32008)+f(52009)=2006f(2^{2007}) + f(3^{2008}) + f(5^{2009}) = 2006. Обчисліть значення f(20072)+f(20083)+f(20095)f(2007^2) + f(2008^3) + f(2009^5).
9 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-028

Рівність кількості танцювальних пар у двох містах

Нехай nn — натуральне число. У місті XX живуть nn дівчат і nn хлопців, та кожна дівчина знає кожного з хлопців. У місті YY живуть nn дівчат g1,g2,…,gng_1, g_2, \ldots, g_n та 2n−12n - 1 хлопців b1,b2,…,b2n−1b_1, b_2, \ldots, b_{2n - 1}. Для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} дівчина gig_i знає тільки хлопців b1,b2,…,b2i−1b_1, b_2, \ldots, b_{2i - 1} (з іншими не знайома). Нехай існує деяке натуральне rr таке, що 1⩽r⩽n1 \leqslant r \leqslant n. У кожному місті rr дівчат та rr хлопців утворили на вечірці пари для танців, причому кожна дівчина танцює зі знайомим хлопцем. Позначимо через X(r)X(r) кількість варіантів, якими ми можемо утворити rr пар, що танцюють у місті XX, а через Y(r)Y(r) — аналогічну величину в місті YY. Доведіть, що для кожного r=1,n‾r = \overline{1, n} справджується рівність X(r)=Y(r)X(r) = Y(r).
10 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-108

Гра зі знаками перед числами до 2011

Два гравці по черзі розставляють знаки «++» або «−-» перед послідовними натуральними числами 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots та обчислюють суму всіх чисел, перед якими розставлено знаки. Так, перший гравець спочатку ставить знак перед числом 11, і це є його сумою після першого ходу. Потім другий ставить знак перед числом 22 і рахує суму двох чисел — це є його сумою після першого ходу. Далі перший гравець ставить знак перед числом 33 і рахує суму трьох чисел зі знаками — це його сума після другого ходу, а другий гравець ставить знак перед числом 44 і рахує суму чотирьох чисел і т. д. Програє той гравець, після ходу якого одержана ним сума вперше за модулем стане більшою або рівною 20112011. Хто переможе у разі правильної гри — перший чи другий гравець?
10 класСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.