Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

108 задач
ГеометріяПроєктивна геометрія
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-256

Зовнівписане коло трикутника і дотична через точку D

Зовнівписане коло wBw_B дотикається до сторони ACAC та продовжень сторін ABAB і BCBC трикутника ABCABC у точках B1B_1, C1C_1 та A1A_1 відповідно. Точка DD лежить на більшій дузі — ⌣A1C1\smile A_1C_1 кола wBw_B. Промені DA1DA_1 та C1B1C_1B_1 перетинаються в точці EE. Прямі AB1AB_1 та BEBE перетинаються в точці F′F'. Доведіть, що F′DF'D дотикається до кола wBw_B у точці DD.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-186

Гострокутний трикутник з кутом 45° і висоти

Задано гострокутний нерівнобедрений трикутник ABCABC, у якому ∠A=45∘\angle A = 45^\circ. Висоти ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в точці HH, пряма EFEF перетинає сторону BCBC у точці PP. Нехай точка II — середина BCBC і пряма IFIF перетинає PHPH у точці QQ. а) Доведіть, що ∠IQH=∠AIE\angle IQH = \angle AIE. б) Нехай KK — ортоцентр трикутника AEFAEF, ww — описане коло трикутника KPDKPD, JJ — центр ww. Пряма CKCK перетинає коло ww у точці GG (K≠G)(K \ne G), пряма IGIG перетинає ww у точці MM (M≠G)(M \ne G), пряма JCJC перетинає коло, побудоване на BCBC як на діаметрі, у точці NN (C≠N)(C \ne N). Доведіть, що точки GG, MM, NN, CC циклічні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-196

Три прямі двох гострокутних трикутників зі стороною BC

Розглянемо гострокутні трикутники ABCABC і BCDBCD такі, що точки AA і DD лежать по різні боки від прямої BCBC. Позначимо через EE основу перпендикуляра, опущеного з точки BB на пряму ACAC, а через FF — основу перпендикуляра, опущеного з точки CC на пряму DBDB. Нехай H1H_1 — ортоцентр трикутника ABCABC, H2H_2 — ортоцентр трикутника BCDBCD. Доведіть, що прямі ADAD, EFEF і H1H2H_1H_2 перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-214

Основа перпендикуляра на пряму XY і рівність кутів

Задано трикутник ABCABC і точку PP таку, що AP⊥BCAP \perp BC. Позначимо буквами EE і FF проекції точки PP на прямі CACA і ABAB відповідно. Нехай BEBE перетинає CFCF у точці HH, AHAH перетинає BCBC у точці DD. Коло ww проходить через точки BB і CC, γ\gamma — коло діаметра APAP. Припустимо, що кола γ\gamma і ww перетинаються у двох різних точках XX і YY. Позначимо основу перпендикуляра, проведеного з точки DD на пряму XYXY, через NN. Доведіть, що ∠BND=∠CND\angle BND = \angle CND.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-201

Дотичні кола в трикутнику і прямі AD, BE, CF

У трикутнику ABCABC містяться три кола ωA\omega_A, ωB\omega_B та ωC\omega_C, що попарно дотикаються зовнішнім чином: ωB\omega_B та ωC\omega_C дотикаються в точці DD, ωC\omega_C та ωA\omega_A дотикаються в точці EE, а ωA\omega_A та ωB\omega_B — у точці FF. При цьому коло ωA\omega_A дотикається до сторін ABAB й ACAC, коло ωB\omega_B дотикається до сторін BABA й BCBC, а коло ωC\omega_C — до сторін CACA й CBCB трикутника. Доведіть, що прямі ADAD, BEBE та CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-138

Ортоцентр і точки перетину прямих зі сторонами

У трикутнику ABCABC висоти, що проведені з вершин AA і BB, перетинають коло, описане навколо трикутника, у точках A1A_1 і B1B_1. Нехай HH — ортоцентр, а XX — деяка точка на дузі ABAB, що не містить точку CC. MM — точка перетину прямих A1XA_1X і BCBC, а NN — точка перетину прямих B1XB_1X і ACAC. Доведіть, що точки MM, NN, HH лежать на одній прямій.
9 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-184

Колінеарність в описаному чотирикутнику PQRS

У чотирикутник PQRSPQRS вписано коло, яке дотикається до сторін PSPS, SRSR, RQRQ, QPQP у точках AA, BB, CC, DD відповідно. Нехай EE — точка перетину прямих ADAD і BCBC. Доведіть, що точки EE, SS, QQ — колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-048

Два трикутники у просторі та чотири прямі

У просторі дано точки A1,B1,C1,A2,B2,C2A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2, причому площини A1B1C1A_1B_1C_1 та A2B2C2A_2B_2C_2 не співпадають, а прямі A1A2A_1A_2, B1B2B_1B_2, C1C2C_1C_2 перетинаються в точці PP. На відповідних прямих вибираються такі точки A3∈B1C1A_3 \in B_1C_1, B3∈A1C1B_3 \in A_1C_1, C3∈A1B1C_3 \in A_1B_1, що прямі A3A2A_3A_2, B3B2B_3B_2, C3C2C_3C_2, перетинаються в точці QQ. Нехай A4=PA3∩B2C2A_4 = PA_3 \cap B_2C_2, B4=PB3∩A2C2B_4 = PB_3 \cap A_2C_2, C4=PC3∩B2A2C_4 = PC_3 \cap B_2A_2. Довести, що прямі A2A4A_2A_4, B2B4B_2B_4, C2C4C_2C_4, PQPQ перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-151

Трикутники на сторонах AB і AC та прямі XY

На сторонах ABAB і ACAC трикутника ABCABC у зовнішній бік побудовані трикутник ABXABX і ACYACY таким чином, що кути ∠XAB\angle XAB і ∠YAC\angle YAC фіксовані і ∠XBA+∠YCA=180∘\angle XBA + \angle YCA = 180^\circ. Доведіть, що усі прямі XYXY проходять через фіксовану точку.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-100

Бісектриса трикутника і бісектриса кута AQC

Усередині трикутника ABCABC вибрано точку PP так, що ∠PAB=∠PCB=14(∠A+∠C)\angle PAB = \angle PCB = \frac{1}{4}(\angle A + \angle C). Нехай пряма BLBL — бісектриса трикутника ABCABC. Пряма PLPL перетинає описане коло трикутника APCAPC у точці QQ. Доведіть, що пряма QBQB — бісектриса кута AQCAQC.
10 класТеорема про тризуб
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-030

Трикутник, подвоєний кут, середина і проекція

На стороні ACAC трикутника ABCABC знайшлася така точка KK, що AK=2KCAK = 2KC і ∠ABK=2∠KBC\angle ABK = 2\angle KBC. Точка FF — середина сторони ACAC, точка LL — проекція точки AA на пряму BKBK. Доведіть, що FL⊥BCFL \perp BC.
11 класПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-002

Симетрична середина BC на EF та AM до AO

У гострокутному нерівнобедреному трикутнику ABCABC провели висоти BEBE і CFCF. Позначимо через MM та OO середину сторони BCBC та центр описаного кола трикутника ABCABC відповідно. Відомо, що точка, симетрична точці MM відносно точки OO, лежить на прямій EFEF. Знайдіть усі можливі значення відношення AMAO\dfrac{AM}{AO}.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-007

Трикутники на сторонах AFE та середина BC

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін BCBC, CACA й ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. На сторонах трикутника AFEAFE в зовнішній бік побудовано трикутники APEAPE та AQFAQF таким чином, що ∠APE=∠ACB\angle APE = \angle ACB, ∠AQF=∠ABC\angle AQF = \angle ABC та AP=PEAP = PE й AQ=QFAQ = QF. Нехай точка MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що ∠QMP=90∘−12∠BAC\angle QMP = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-001

Інцентр трикутника з кутом 60° на відрізку P1T1

У трикутнику ABCABC відомо, що ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ, точка II — інцентр. Нехай точки PP і TT на сторонах ABAB і BCBC відповідно такі, що PI∥BCPI \parallel BC та TI∥ABTI \parallel AB, а точки P1P_1 і T1T_1 на сторонах ABAB і BCBC відповідно такі, що AP1=BPAP_1 = BP та CT1=BTCT_1 = BT. Доведіть, що точка II лежить на відрізку P1T1P_1T_1.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-006

Перетин B1C1 з висотою та дотик описаних кіл

Дано гострокутний трикутник ABCABC. Його висоти AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1 перетинаються в точці HH — ортоцентрі трикутника ABCABC. Нехай прямі B1C1B_1C_1 та AA1AA_1 перетинаються в точці KK, точка MM — середина відрізка AHAH. Доведіть, що описане коло трикутника MKB1MKB_1 дотикається до описаного кола трикутника ABCABC тоді й тільки тоді, коли BA1=3A1CBA_1 = 3A_1C.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-007

MH і перпендикуляр до AC на колі BA'P

Висоти AA′AA' і BB′BB' трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Точка MM — середина ABAB. Прямі ABAB і A′B′A'B' перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма MHMH і перпендикуляр до прямої ACAC, який проходить через точку PP, перетинаються на описаному колі трикутника BA′PBA'P.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-006

Коло через точку на висоті та проекції точки H

Дано гострокутний трикутник ABCABC, HH — основа висоти, проведеної з точки AA на пряму BCBC, PP і K≠HK \neq H — довільні точки на відрізках AHAH і BCBC відповідно. Прямі ACAC і BPBP перетинаються в точці B1B_1, прямі ABAB і CPCP — у точці C1C_1. Нехай XX і YY — проекції точки HH на прямі KB1KB_1 і KC1KC_1 відповідно. Доведіть, що точки AA, PP, XX і YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-008

Вписаний чотирикутник та колінеарність з центром кола

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло ω\omega із центром OO. Припустимо, що кути BB і CC тупі, а прямі ADAD і BCBC не паралельні. Прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці EE. Нехай PP і RR — основи перпендикулярів, опущених з точки EE на прямі BCBC і ADAD відповідно. QQ — точка перетину прямих EPEP і ADAD, SS — точка перетину прямих ERER і BCBC. Нехай KK — середина відрізка QSQS. Доведіть, що точки EE, KK та OO колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-009

Точки дотику вписаного кола і колінеарність трьох точок

Вписане коло ω\omega трикутника ABCABC дотикається до його сторін BCBC, CACA і ABAB у точках A1A_1, B1B_1 і C1C_1 відповідно. Нехай SS — точка перетину прямих, що проходять через точки BB і CC паралельно A1C1A_1C_1 та A1B1A_1B_1 відповідно, A0A_0 — основа перпендикуляра, проведеного з точки A1A_1 до B1C1B_1C_1, G1G_1 — центроїд трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, PP — точка перетину променя G1A0G_1A_0 з ω\omega. Довідіть, що точки SS, A1A_1 та PP лежать на одній прямій.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-010

Діагоналі шестикутника з перетину трикутників PQR і DEF

Нехай II — точка перетину бісектрис трикутника ABCABC. Коло ω\omega з центром у точці II перетинає сторону BCBC в точках DD і PP (точка DD лежить між BB і PP), сторону CACA — у точках EE і QQ (точка EE лежить між CC і QQ), сторону ABAB — у точках FF і RR (точка FF лежить між AA і RR). Трикутники PQRPQR і DEFDEF утворюють у перетині шестикутник. Доведіть, що діагоналі цього шестикутника, які сполучають протилежні вершини, перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-005

Бісектриса кута через центр зовнівписаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого AB<ACAB < AC, а Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Точки XX і YY лежать на колі Γ\Gamma так, що прямі XYXY і BCBC перетинаються на зовнішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC. Припустимо, що дотичні до кола Γ\Gamma в точках XX і YY перетинаються в точці TT, що лежить з того самого боку від прямої BCBC, що й AA, і що TXTX і TYTY перетинають BCBC у точках UU і VV відповідно. Нехай JJ — центр зовнівписаного кола трикутника TUVTUV, протилежного вершині TT. Доведіть, що AJAJ ділить навпіл ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-005

Відрізок BC та два кола через X і Y

На площині зафіксовано відрізок BCBC. Нехай AA — це змінна точка площини, що не лежить на прямій BCBC. На променях CACA та BABA відповідно вибрано різні точки XX та YY так, що ∠CBX=∠YCB=∠BAC\angle CBX = \angle YCB = \angle BAC. Нехай дотичні до описаного кола трикутника ABCABC, що проведені у точках BB і CC, перетинають пряму XYXY у точках PP і QQ відповідно, причому точки XX, PP, YY та QQ є попарно різними та лежать по один бік від прямої BCBC. Нехай Ω1\Omega_1 — це коло із центром на прямій BCBC, що проходить через точки XX і PP. Аналогічно нехай Ω2\Omega_2 — це коло із центром на прямій BCBC, що проходить через точки YY і QQ. Доведіть, що кола Ω1\Omega_1 та Ω2\Omega_2 перетинаються у двох фіксованих точках, які не залежать від вибору точки AA.
10–11 класиГомотерія і подібність
Європейський математичний кубокEMC-2023-006

Прямокутний трикутник і рівні радіуси двох кіл

Дано трикутник ABCABC такий, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Точка MM є серединою відрізка EFEF. Точка PP — це проєкція точки AA на пряму BCBC. Прямі MPMP та ADAD перетинаються в точці KK. Доведіть, що описані кола трикутників AFEAFE та PDKPDK мають рівні радіуси.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-007

Перетин дотичної на бісектрисі кута

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Позначимо його описане коло через Ω\Omega, а середину дуги CABCAB — через SS. Нехай перпендикуляр з AA до BCBC перетинає BSBS і Ω\Omega у точках DD і E≠AE \neq A відповідно. Нехай пряма через DD, паралельна до BCBC, перетинає пряму BEBE у точці LL, а описане коло трикутника BDLBDL позначимо через ω\omega. Нехай коло ω\omega перетинає Ω\Omega знову в точці P≠BP \neq B. Доведіть, що дотична до кола ω\omega в точці PP і пряма BSBS перетинаються на внутрішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиГомотерія і подібність3 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-006

Бісектриси кутів вписаного чотирикутника та два кола

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло із центром OO. Бісектриси кутів AA та BB перетинаються в точці XX, бісектриси кутів BB і CC — у точці YY, бісектриси кутів CC і DD — у точці ZZ, бісектриси кутів DD та AA — у точці WW. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. При цьому точки XX, YY, ZZ, WW, OO, PP попарно різні. Доведіть, що точки OO, XX, YY, ZZ, WW лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли точки PP, XX, YY, ZZ, WW лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.