Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

836 задач
КомбінаторикаПринцип Діріхле
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-063

Вибрані числа до 2022 з неподільністю сум на різниці

Серед натуральних чисел 1,2,…,20221, 2, \ldots, 2022 вибрали декілька. Виявилося, що сума будь-яких двох із вибраних чисел не ділиться націло на жодну різницю будь-яких двох із цих чисел. Знайдіть найбільшу можливу кількість вибраних чисел.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-060

Поліцейські на кільцевій дорозі з мінімальною сумою перевезень

Кільцева дорога має довжину 2525 км. Через кожний кілометр на ній стоїть поліцейський пост. На ці пости вивели по одному поліцейському, кожен з яких має особистий нагрудний номер від 11 до 2525 (у кожного відмінний від інших номер). Спочатку вони були розставлені на постах довільним чином. А далі керівництво вирішило їх розставити так, щоб номери поліцейських, починаючи з деякого посту, ішли за рухом годинникової стрілки в порядку 11, 22, …\ldots, 2525. Для цього потрібно було перевезти деяких поліцейських по кільцевій дорозі таким чином, щоб сумарна довжина перевезень усіх поліцейських була мінімальною. Доведіть, що за таких умов принаймні один поліцейський залишився на своєму посту.
7 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-083

Зсув дійсних чисел на k√2 з ірраціональними сумами

Задано деяке натуральне число nn. Доведіть, що для довільних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n існує число вигляду k2k\sqrt{2}, де kk — деяке таке натуральне число, що всі числа k2+a1k\sqrt{2}+a_1, k2+a2k\sqrt{2}+a_2, …\ldots, k2+ank\sqrt{2}+a_n є ірраціональними.
9 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-004

Найбільший квадрат з торта 99×99 після квадратів 33×33

Сова принесла Віслючку Іа квадратний торт розміром 99×9999 \times 99. Вінні-Пух одразу вирізав собі із цього торта чотири квадратних шматочки розміром 33×3333 \times 33 зі сторонами, що паралельні сторонам торта, але не обов’язково проходять по лініях сітки квадрата 99×9999 \times 99. Після цього Віслючок вирізав собі із частини торту, що лишилася, квадратний шматочок зі сторонами, що також паралельні сторонам торта. На який найбільший шматочок торта може розраховувати Іа? У відповіді наведіть сторону квадратного шматочка Віслючка.
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-006

2000 чисел з попарно великим найменшим спільним кратним

Натуральні числа 1⩽a1<a2<…<a2000<40001 \leqslant a_1 < a_2 < \ldots < a_{2000} < 4000 такі, що НСК [ai,aj]⩾4000[a_i, a_j] \geqslant 4000 для довільних 1⩽i<j⩽20001 \leqslant i < j \leqslant 2000. Доведіть, що a1⩾1334a_1 \geqslant 1334.
8 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-012

Рядки і стовпці з k клітинками без спільних вершин

Натуральне число k>1k > 1. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого деякі клітинки (комірки) 1×11 \times 1 дошки розміром n×nn \times n можна пофарбувати в чорний колір так, що в кожному рядку та кожному стовпці розташовано рівно kk чорних клітинок, при цьому жодні дві клітинки чорного кольору не мають спільних вершин.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-052

Найбільша кількість косих коней без взаємних атак

Фігура косий кінь, що розташована на чорному полі шахівниці 8×88 \times 8 (рис. 2.4), атакує всі сірі клітинки. Яку найбільшу кількість таких косих коней можна виставити на шахівницю, щоб вони не атакували один одного?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-062

Максимальна кількість купок по 2021 камінцю

Маємо nn купок, кожна з яких містить по 20212021 камінцю. Маси камінців дорівнюють одному із чисел 1,2,…,251, 2, \ldots, 25, при цьому загальна маса кожної купки камінців різна. Відомо, що коли взяти дві довільні купки та забрати з кожної із них найважчий і найлегший камінці, то купка, що була перед тим важчою, стане легшою. Для якого максимального nn це можливо?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-068

Промінь світла у квадраті з дзеркальними квадратиками

Дано квадрат 2021×20212021\times 2021 із дзеркальною внутрішньою межею, у якому 20202020 квадратиків 1×11\times 1 мають дзеркальну зовнішню межу, а всі інші квадратики мають прозорі межі. Вибирають довільний кут α∈(0∘,90∘)\alpha\in(0^\circ, 90^\circ). Промінь світла проходить без зміни напрямку крізь прозору межу та відбивається за законом відбивання світла, коли потрапляє на дзеркальну межу. При цьому, якщо промінь потрапляє точно в кут дзеркального квадратика, то він відбивається так само, як від горизонтальної сторони квадратика (рис. 4.1). Доведіть, що з деякої точки нижньої сторони квадрата можна випустити промінь світла, що утворює вибраний кут α\alpha із цією стороною (таких променів є два) так, щоб світло дійшло до верхньої сторони квадрата.
8 класПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-032

Найбільша кількість різних додатних чисел з умовою

Знайдіть найбільше можливе натуральне nn, для якого існують nn таких попарно різних додатних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, що для всіх 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n задовольняють умову (3xi−xj)(xi−3xj)⩾(1−xixj)2.(3x_i - x_j)(x_i - 3x_j) \geqslant (1 - x_i x_j)^2.
11 класТригонометричні заміни
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-081

Перефарбування клітинок квадрата 8×8 від вершини

Дано білий квадрат ABCDABCD завбільшки 8×88 \times 8, що складається із 6464 одиничних квадратиків (клітинок) 1×11 \times 1. За одну дію можна вибрати будь-який: а) квадрат; б) прямокутник, що складається із цілої кількості одиничних квадратиків і містить принаймні одну з вершин квадрата ABCDABCD, та поміняти в ньому колір кожної клітинки на протилежний (білий замінити на чорний і навпаки). Чи можна за допомогою таких дій отримати довільне розфарбування клітинок квадрата ABCDABCD?
11 класПравила суму та добутку
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-051

Кількість брехунів за круглим столом

За круглим столом по колу на рівних відстанях сиділи та щось обговорювали 5050 мешканців острова Горласті Пельки. Кожен із них є або лицарем, який завжди каже правду, або брехуном, який щоразу бреше, причому за столом точно є представники обох типів. Під час обговорення кожен сказав, що острів’янин, який сидить точно напроти нього, та обидва сусіди того, хто сидить напроти, не всі належать до одного типу, тобто не всі троє — лицарі та не всі троє — брехуни. Доведіть, що за столом кількість брехунів не менша від 1010, але й не більша за 2525.
8 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-065

Найбільше n з різними числами b і зростаючими a

Для якого найбільшого значення nn існують цілі числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n та b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, що задовольняють такі умови: 1) усі числа b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n попарно різні та належать проміжку [0;99][0; 99]; 2) 1⩽a1<a2<…<an⩽1001 \leqslant a_1 < a_2 < \ldots < a_n \leqslant 100; 3) для кожного ii, 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n, справджується одна з рівностей: bi=ai−ib_i = a_i - i або bi=ai−i+nb_i = a_i - i + n?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-096

Найбільша кількість чисел до 2n з попарним спільним дільником

Яку найбільшу кількість чисел можна вибрати серед чисел 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2n таким чином, щоб довільні два з них мали спільний дільник, більший за 11?
9 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-102

Попарно сполучені міста з чотирьох країн

Існують 44 країни, у кожній з яких є декілька міст. Між містами будь-яких двох різних країн прокладено не менше ніж 56\frac{5}{6} від загальної можливої кількості доріг між цими країнами. Доведіть, що в кожній країні можна вибрати по такому місту, щоб будь-які два міста із цих чотирьох були сполучені дорогою. Примітка. Між будь-якими двома містами можна прокласти не більше ніж одну дорогу.
9 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-116

Нескінченно багато розв’язків рівняння з оберненими числами

Для деяких цілих невід’ємних чисел mm, nn рівняння 1x1+1x2+…+1xm−1y1−1y2−…−1yn=577408\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_m}-\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}-\ldots-\frac{1}{y_n}=\frac{577}{408} має нескінченно багато розв’язків у натуральних числах x1,x2,…,xmx_1, x_2, \ldots, x_m, y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n. Доведіть, що рівняння 1x1+1x2+…+1xk−1y1−1y2−…−1yl=577408\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_k}-\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}-\ldots-\frac{1}{y_l}=\frac{577}{408} має розв’язок у натуральних числах x1,x2,…,xkx_1, x_2, \ldots, x_k, y1,y2,…,yly_1, y_2, \ldots, y_l для деяких цілих невід’ємних k<mk < m та l<nl < n.
11 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-103

Пари чисел від 2 до 2019 і найбільший дріб

З натуральних чисел 2, 3, 4, …, 20192,\ 3,\ 4,\ \ldots,\ 2019 якимось чином утворюють 10091009 правильних дробів, далі з них вибирають найбільший. Яке найменше значення може мати цей найбільший дріб при всіх можливих побудовах таких дробів?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-001

2018 клітинок таблиці 1009 на 1009 нижче й лівіше

У таблиці 1009×10091009 \times 1009 відмічено 20182018 клітинок. Доведіть, що деяка з відмічених клітинок розташована нижче й лівіше за іншу відмічену клітинку.
8 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-023

Мінімальна кількість стратегічно важливих міст серед 2017 міст

У країні є 20172017 міст. Між деякими з них здійснюються двосторонні авіаперельоти. Відомо, що від будь-якого міста можна долетіти до будь-якого іншого. Міністерство оборони хоче вибрати кілька міст і назвати їх стратегічно важливими таким чином, щоб від будь-якого з міст країни існував прямий авіапереліт до деякого стратегічно важливого. Якої мінімальної кількості стратегічно важливих міст гарантовано вистачить міністерству оборони?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-009

Тури на дошці 2017×2017 і квадрати 1009×1009

На шахівницю розміром 2017×20172017\times2017 поставили 20172017 тур таким чином, що жодна тура не атакує іншу. Доведіть, що в кожному квадраті завбільшки 1009×10091009\times1009 стоїть принаймні одна тура. Примітка. Дві тури атакують одна одну, якщо вони стоять на одній горизонталі чи одній вертикалі.
7 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-018

Найбільше n, на яке діляться всі перестановки шести цифр

Знайдіть найбільше натуральне число nn, для якого існують шість попарно різних цифр a1a_1, a2a_2, …, a6a_6, для яких кожне із шестицифрових чисел, що містить усі наведені цифри рівно один раз, ділиться на nn.
9 класОзнаки подільності на 2, 3, …
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-096

Трійка учасників з близькими результатами олімпіади

В олімпіаді взяли участь 6060 школярів. Їм було запропоновано вісім задач, кожну з яких оцінювали від 00 до 77 балів. Доведіть, що обов'язково будуть три учасники, чиї результати попарно відрізняються не більше ніж на 11 бал. Чи справдилося б твердження задачі, якби в олімпіаді взяли участь 5858 школярів? Примітка. Результат учасника олімпіади — це загальна кількість набраних ним балів.
9 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-094

Пірати з ключами біля дванадцяти дверей башти

Кругла башта має 1212 дверей, за кожними з них сховано скриню із золотом капітана Флінта. Ці двері розташовані по периметру башти на рівних відстанях між сусідніми та занумеровані за рухом годинникової стрілки числами від 11 до 1212. До башти підійшли 1212 піратів, кожен з яких має один ключ, причому всі ключі занумеровано числами від 11 до 1212. Відомо, що ключ з номером nn відкриває двері з номером mm тоді й тільки тоді, коли m⋮nm \vdots n. Пірати стоять рівно по одному біля кожних дверей, але жоден не знає номера дверей, коло яких опинився. Джим Хокінс знає, у якого пірата який ключ, і хоче, щоб ті змогли забрати якомога меншу кількість скринь із золотом. Джим може повернути башту таким чином, щоб двері перед піратами були розташовані за його бажанням, але при цьому все одно номери дверей ішли послідовно по колу за рухом годинникової стрілки 11–1212, починаючи з деякого номера. Яку максимальну кількість скринь із золотом зможуть напевно забрати пірати за таких умов?
8 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-103

Гарантована кількість відкритих скринь у круглій башті

Кругла башта має 1616 дверей, за кожними з них сховано скриню із золотом капітана Флінта. Ці двері розташовані по периметру башти на рівних відстанях між сусідніми та занумеровані за рухом годинникової стрілки числами від 11 до 1616. До башти підійшли 1616 піратів, кожен з яких має один ключ, причому всі ключі занумеровано числами від 11 до 1616. Відомо, що ключ з номером nn відкриває двері з номером mm тоді й тільки тоді, коли m⋮nm \vdots n. Пірати стоять рівно по одному біля кожних дверей, але жоден не знає номера дверей, коло яких він опинився. Джим Хокінс знає, у якого пірата який ключ, і хоче, щоб пірати змогли забрати якомога меншу кількість скринь із золотом. Джим може повернути башту таким чином, щоб двері перед піратами були розташовані за його бажанням, але при цьому все одно номери дверей ішли послідовно по колу за рухом годинникової стрілки 11–1616, починаючи з деякого номера. Яку максимальну кількість скринь із золотом зможуть напевно забрати пірати за таких умов?
9 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-108

Гарантовано цілі есмінці по колу після двох залпів

На острів насуває ескадра, у якій є 1010 потужних есмінців, а також 2020 невеликих катерів. Усі судна вишикувані по колу, причому відстані між сусідніми суднами рівні, і саме так вони наближаються до острова. Захищають острів два торпедоносних катери, у кожного з яких є рівно по 1010 торпед. Пускові установки в них налаштовано так, що перший може випустити водночас усі 1010 торпед по сусідніх 1010 цілях, а другий — усі 1010 торпед по 1010 цілях, які йдуть через одну. Відомо, що катери стріляють одночасно (тобто в деякі цілі можуть улучити водночас дві торпеди). Яка найбільша кількість есмінців може напевно залишитися цілою за будь-яких дій оборони острова?
10 класПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.