Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
ГеометріяРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-018

Вписані кола трикутників ABC і ADE та прямокутник MNPQ

Коло γ1\gamma_1 вписане у трикутник ABCABC і дотикається до сторін ABAB й ACAC в точках DD та EE відповідно. Коло γ2\gamma_2 вписане у трикутник ADEADE і дотикається до прямих ABAB й ACAC в точках PP та QQ відповідно. Нехай MM та NN — точки перетину кіл γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2. Позначимо радіуси кіл γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 через r1r_1 та r2r_2 відповідно. Доведіть, що точки MM, NN, PP і QQ утворюють прямокутник тоді й лише тоді, коли справджується рівність 2r1=3r22r_1 = 3r_2.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-047

Середина відрізка BH і точки на прямій A2C2

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC, точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1, – середини сторін BC,CABC, CA і ABAB відповідно. Нехай A2A_2 та C2C_2 – такі точки, що A2A⊥ACA_2A \perp AC і A2C1⊥ABA_2C_1 \perp AB, C2C⊥ACC_2C \perp AC і C2A1⊥BCC_2A_1 \perp BC. Доведіть такі твердження: а) середина відрізка BHBH лежить на прямій A2C2A_2C_2 б) нехай пряма BB1BB_1 перетинає коло, описане навколо трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, в точках B1B_1 і B3B_3, тоді точка B3B_3 лежить на прямій A2C2A_2C_2
10 класРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-090

Ортоцентр, середини сторін та умова гострокутності

Нехай у трикутника ABCABC точка HH — її ортоцентр, точки LL, MM та NN — середини сторін ABAB, BCBC та ACAC відповідно. Доведіть, що трикутник ABCABC гострокутний тоді і тільки тоді, коли справджується нерівність: HL2+HM2+HN2<AL2+BM2+CN2.HL^2 + HM^2 + HN^2 < AL^2 + BM^2 + CN^2.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-150

Спільна хорда кіл і пряма, паралельна стороні

Трикутник ABCABC вписаний у коло ω\omega, на його сторонах ABAB, BCBC та ACAC вибрали точки KK, LL та MM відповідно таким чином, що AM⋅BL=CM⋅CLAM \cdot BL = CM \cdot CL. Промінь LKLK перетинає пряму ACAC у точці PP. Спільна хорда описаного кола трикутника KMPKMP та кола ω\omega перетинає відрізок AMAM у точці SS. Доведіть, що SK∥BCSK \parallel BC.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-097

Дотичні в точці C і бісектриса кута BPC

Точка DD розташована всередині різностороннього трикутника ABCABC так, що ∠ADB=90∘+12∠ACB\angle ADB = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ACB. Дотичні в точці CC до описаних кіл трикутників ABCABC та ADCADC перетинають прямі ABAB та ADAD відповідно в точках PP і QQ. Доведіть, що промінь PQPQ — бісектриса кута BPCBPC.
9 класРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-086

Другі точки перетину кіл у опуклому чотирикутнику

Нехай EE та FF — дві точки на стороні CDCD опуклого чотирикутника ABCDABCD, для яких справджується умова 0<DE=FC<CD0 < DE = FC < CD. Нехай KK — друга точка перетину описаних кіл трикутників ADEADE та ACFACF, а LL — друга точка перетину описаних кіл трикутників BDEBDE та BCFBCF. Доведіть, що точки AA, BB, KK, LL лежать на одному колі.
9 класСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-092

Чотири точки перетину кіл із центрами у вершинах чотирикутника

Нехай ABCDABCD — чотирикутник з непаралельними протилежними сторонами. Прямі ABAB та CDCD перетинаються в точці XX. Позначимо через S(O,r)S(O, r) коло радіуса rr із центром в точці OO. Нехай S(A,r1)∩S(D,r2)={P,Q}S(A, r_1) \cap S(D, r_2) = \{P, Q\} та S(B,r1)∩S(C,r2)={R,S}S(B, r_1) \cap S(C, r_2) = \{R, S\}. Відомо, що XA⋅XB+r12=XC⋅XD+r22XA \cdot XB + r_1^2 = XC \cdot XD + r_2^2. Доведіть, що точки PP, QQ, RR, SS — циклічні.
9 класРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-093

Вписаний чотирикутник і прямі BC, AD, EG

Нехай ABCDABCD — чотирикутник з непаралельними сторонами BCBC та ADAD, вписаний у коло ww. Нехай EE — точка всередині кола ww, розташована по інший бік від прямої ABAB відносно точки CC. Нехай AB∩DE=FAB \cap DE = F, точка GG всередині чотирикутника ABCDABCD така, що лежить на прямій, яка дотикається до описаного кола трикутника AEFAEF у точці EE. Відомо, що ∠GAD=∠BAE\angle GAD = \angle BAE та ∠GCB+∠GBA=∠EAD+∠AGD+∠ABE\angle GCB + \angle GBA = \angle EAD + \angle AGD + \angle ABE. Доведіть, що прямі BCBC, ADAD та EGEG перетинаються в одній точці.
9 класРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-114

Прямі BP і DQ у прямокутнику з колом

Дано прямокутник ABCDABCD з різними сторонами. Нехай точка OO належить серединному перпендикуляру відрізка BDBD і лежить усередині трикутника BCDBCD. Коло із центром у точці OO проходить через точки BB і DD та перетинає вдруге сторону ABAB у точці EE і сторону DADA в точці FF. Нехай прямі BFBF і DEDE перетинаються в точці GG. Точки XX, YY, ZZ — це основи перпендикулярів, опущених із точки GG на прямі ABAB, BDBD та DADA відповідно. Точки LL, MM, NN — це основи перпендикулярів, опущених із точки OO на прямі CDCD, BDBD і BCBC відповідно. Нехай прямі XYXY і MLML перетинаються в точці PP, а прямі YZYZ і MNMN перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі BPBP та DQDQ паралельні.
10–11 класиРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-116

Рівність сторін трикутника і перпендикулярність до E2F2

У трикутнику ABCABC зі сторонами AC>BC>ABAC > BC > AB точки II та OO — центри вписаного та описаного кіл відповідно. Вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB трикутника в точках DD, EE, FF відповідно. Позначимо через F1,E1F_1, E_1 точки, що симетричні точці AA відносно точок FF, EE відповідно. Коло, що проходить через точку F1F_1 та дотикається до сторони BCBC у точці DD, перетинає пряму ABAB удруге в точці F2F_2; коло, що проходить через точку E1E_1 та дотикається до сторони BCBC у точці DD, перетинає пряму ACAC вдруге в точці E2E_2. Позначимо середини відрізків OEOE та IFIF через PP та QQ відповідно. Доведіть, що AB+AC=2BC⇔PQ⊥E2F2.AB + AC = 2BC \Leftrightarrow PQ \perp E_2F_2.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-083

Трикутник, дотичне коло і перетин трьох прямих

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому AC>ABAC > AB. Коло ω\omega дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, а також перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках KK та LL. Точки XX та YY вибрано на сторонах ABAB та ACAC відповідно таким чином, що AXAB=CEBD+CE,AYAC=BDBD+CE.\frac{AX}{AB} = \frac{CE}{BD + CE}, \quad \frac{AY}{AC} = \frac{BD}{BD + CE}. Доведіть, що прямі XYXY, BCBC та KLKL перетинаються в одній точці.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-166

Прямі AB, CD і FG для вписаного чотирикутника

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Пряма, що паралельна діагоналі BDBD та проходить через точку AA, перетинає в точці EE пряму, що паралельна діагоналі ACAC та проходить через точку BB. Описане коло трикутника ABEABE перетинає вдруге прямі ECEC та EDED у точках FF та GG відповідно. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD та FGFG паралельні або перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-155

Прямі DA', EB' та GC' для точок дотику

Позначимо через c (O,R)c\,(O, R) описане коло гострокутного трикутника ABCABC (AB<AC<BC)(AB < AC < BC), точки DD, EE, GG — точки дотику вписаного кола до сторін BCBC, ACAC та ABAB відповідно. Кола c1c_1, c2c_2 та c3c_3, описані навколо трикутників AEGAEG, BDGBDG та CDECDE відповідно, перетинають удруге коло cc у точках A′A', B′B' та C′C' відповідно. Доведіть, що прямі DA′DA', EB′EB' та GC′GC' перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-168

Дотики вписаного кола, середина сторони і циклічність

Нехай дано нерівнобедрений трикутник ABCABC, у якому ∠ACB>90∘\angle ACB > 90^\circ, а точка GG — середина сторони ABAB. Вписане в цей трикутник коло із центром у точці II дотикається до сторін ABAB, BCBC і CACA в точках DD, EE та FF відповідно. Прямі AIAI та BIBI перетинають пряму EFEF у точках MM і NN відповідно. Доведіть, що точки DD, GG, MM та NN циклічні.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-174

Вписаний чотирикутник і прямі AB, CD та XY

Опуклий чотирикутник ABCDABCD вписано в коло. Прямі ADAD та BCBC перетинаються в точці EE. Точки MM, NN вибрано на сторонах ADAD, BCBC відповідно таким чином, що AM:MD=BN:NCAM : MD = BN : NC. Описані кола трикутника EMNEMN та чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точках XX, YY. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD та XYXY перетинаються в одній точці або паралельні.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-104

Два перетинні кола та паралельність PQ і січної

Кола k1k_1 і k2k_2 перетинаються в точках MM і NN. Пряма ll перетинає коло k1k_1 у точках AA та CC, а коло k2k_2 — у точках BB і DD так, що точки AA, BB, CC, DD лежать на прямій ll у цьому порядку. Нехай точка XX на прямій MNMN є такою, що точка MM лежить між точками XX та NN. Прямі AXAX і BMBM перетинаються в точці PP, а прямі DXDX та CMCM — у точці QQ. Доведіть, що PQ∥lPQ \parallel l.
9 класРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-156

Три кола, пов’язані з вписано-описаним чотирикутником

Чотирикутник ABCDABCD одночасно вписаний і описаний із центром описаного кола OO. Позначимо такі точки перетину прямих: E=AD∩BCE = AD \cap BC, F=AB∩CDF = AB \cap CD, S=AC∩BDS = AC \cap BD. Точки E′E', F′F' вибрано на сторонах ABAB, ADAD відповідно таким чином, що ∠BEE′=∠AEE′\angle BEE' = \angle AEE', ∠AFF′=∠DFF′\angle AFF' = \angle DFF'. Нехай MM — середина дуги BADBAD описаного кола, точка XX на прямій OE′OE' така, що XAXB=EAEB\frac{XA}{XB} = \frac{EA}{EB}, аналогічно точка YY на прямій OF′OF' така, що YAYD=FAFD\frac{YA}{YD} = \frac{FA}{FD}. Довести, що коло діаметра OSOS, коло, описане навколо трикутника OAMOAM, та коло, описане навколо трикутника OXYOXY, мають спільну радикальну вісь.
10–11 класиІнверсія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-132

Точки на сторонах трикутника на одному колі

На сторонах ABAB та ACAC трикутника ABCABC вибрано точки PP та QQ відповідно так, що AP=AQAP = AQ. На стороні BCBC вибрано точки RR та SS таким чином, що виконуються умови: BR>BSBR > BS, ∠BRP=∠BPS\angle BRP = \angle BPS та ∠CSQ=∠CQR\angle CSQ = \angle CQR. Доведіть, що точки PP, QQ, RR, SS лежать на одному колі.
9 класДотична кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-175

Три кола і перетин прямих CS, MZ, BT

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках BB і CC. Коло ω3\omega_3 дотикається до BCBC у точці AA, до кола ω1\omega_1 — у точці NN і перетинає коло ω2\omega_2 в точках SS і TT. Пряма NANA перетинає STST і коло ω1\omega_1 у точках MM і QQ відповідно. PP — точка на колі ω1\omega_1, яка діаметрально протилежна точці QQ. Пряма PAPA перетинає коло ω1\omega_1 у точці RR, прямі RNRN і BCBC перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що прямі CSCS, MZMZ і BTBT перетинаються в одній точці.
10–11 класиІнверсія
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-185

Спільна точка кіл AXD і AYE на медіані

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, MM — середина сторони BCBC і PP — точка на відрізку AMAM. Прямі BPBP і CPCP перетинають описане коло трикутника ABCABC удруге в точках XX і YY відповідно, а також сторони ACAC та ABAB — у точках DD і EE відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників AXDAXD та AYEAYE мають спільну точку T≠AT \neq A, що належить прямій AMAM.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-198

Спільна дотична до двох кіл всередині третього

Два кола γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 перетинаються в точках QQ та RR і дотикаються внутрішнім чином до кола γ\gamma в точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Нехай PP — довільна точка на колі γ\gamma. Відрізки PA1PA_1 і PA2PA_2 перетинають кола γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 в точках B1B_1 і B2B_2 відповідно. Доведіть, що пряма B1B2B_1B_2 — спільна дотична до кіл γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 тоді і тільки тоді, коли точка PP належить прямій QRQR.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-214

Основа перпендикуляра на пряму XY і рівність кутів

Задано трикутник ABCABC і точку PP таку, що AP⊥BCAP \perp BC. Позначимо буквами EE і FF проекції точки PP на прямі CACA і ABAB відповідно. Нехай BEBE перетинає CFCF у точці HH, AHAH перетинає BCBC у точці DD. Коло ww проходить через точки BB і CC, γ\gamma — коло діаметра APAP. Припустимо, що кола γ\gamma і ww перетинаються у двох різних точках XX і YY. Позначимо основу перпендикуляра, проведеного з точки DD на пряму XYXY, через NN. Доведіть, що ∠BND=∠CND\angle BND = \angle CND.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-230

Перетин описаних кіл трикутників BFD і CED

У гострокутному нерівносторонньому трикутнику ABCABC точка DD — основа бісектриси ADAD, EE і FF — основи висот BEBE і CFCF відповідно. Кола, що описані навколо трикутників BFDBFD і CEDCED, перетинаються вдруге в точці MM. Доведіть, що ME=MFME = MF.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-234

Точка з кутами в чотирикутнику та колінеарність O, E

У чотирикутнику ABCDABCD точка OO — центр описаного кола, а точка EE — перетин діагоналей. Усередині чотирикутника вибрано точку PP таку, що ∠PAB+∠PCB=∠PBC+∠PDC=90∘\angle PAB + \angle PCB = \angle PBC + \angle PDC = 90^\circ. Доведіть, що точки PP, EE та OO колінеарні.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-123

Симетричні точки B′ і C′ та центр описаного кола

Дано гострокутний трикутник ABCABC. Точки B′B' і C′C' симетричні його вершинам BB і CC відносно прямих ACAC та ABAB відповідно. Кола, описані навколо трикутників ABB′ABB' та ACC′ACC', удруге перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма APAP проходить через центр кола, описаного навколо трикутника ABCABC.
9 класТочка перетину висот

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.