Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-124

Точки на січній до кола на одному колі

Нехай AA — точка, яка лежить зовні заданого кола ω\omega. Через точку AA провели дві прямі, одна з яких перетинає ω\omega в точках BB і CC, а друга — у точках DD і EE (точка DD лежить між AA та EE). Пряма, що проходить через DD і паралельна прямій BCBC, вдруге перетинає ω\omega в точці FF, а пряма AFAF вдруге перетинає ω\omega в точці TT. Нехай MM — точка перетину прямих BCBC і ETET, NN — точка, симетрична точці AA відносно точки MM, а KK — середина BCBC. Доведіть, що точки DD, EE, KK і NN лежать на одному колі.
11 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-030

Перпендикуляр до бісектриси через точку на медіані

Нехай у трикутнику ABCABC AB>ACAB > AC, AMAM — медіана, AKAK — бісектриса. Точка LL на прямій AMAM така, що KL∥ACKL \parallel AC. Доведіть, що CL⊥AKCL \perp AK.
10 класТеорема Менелая
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-040

Точка перетину кіл на стороні трикутника з кутом 60°

Задано гострокутний трикутник ABCABC, ∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ. Точки A1A_1, B1B_1 обрані на сторонах BCBC і ACAC відповідно. Точка DD — друга точка перетину кіл, які описані навколо △BCB1\triangle BCB_1 і △ACA1\triangle ACA_1, відмінна від точки CC. Доведіть, що DD лежить на стороні ABAB тоді й тільки тоді, коли CB1CB+CA1CA=1\dfrac{CB_1}{CB} + \dfrac{CA_1}{CA} = 1.
11 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-030

Дотичні до кола та ромб MNPQ

Нехай PAPA і PBPB – дотичні до кола ww з точки PP. Нехай M,NM, N – середини відрізків AP,ABAP, AB відповідно. Продовження MNMN перетинає ww в точці CC, де NN лежить між CC і MM. PCPC перетинає ww в точці DD, а продовження NDND перетинає PBPB в точці QQ. Доведіть, що MNPQMNPQ – ромб.
10 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-020

Вписаний п’ятикутник, діагоналі та дотична

У вписаному п'ятикутнику ABCDEABCDE сторона BC=7BC = 7. Діагоналі ECEC та ACAC перетинають діагональ BDBD в точках LL та KK відповідно. Відомо, що точки A,K,L,EA, K, L, E лежать на одному колі Γ\Gamma. З точки CC проведено дотичну COCO до кола Γ\Gamma, де OO – точка дотику. Знайти довжину COCO.
8 класСтепінь точки відносно кола
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-06-07-024

Описані кола трикутників ABC з умовою на кути

На площині відмічено точки AA і PP. Розглянемо усі такі точки B,CB, C цієї площини, що ∠ABP=∠MAB\angle ABP = \angle MAB і ∠ACP=∠MAC\angle ACP = \angle MAC, де MM – середина відрізка BCBC. Доведіть, що усі описані кола навколо трикутника ABCABC для різних точок BB і CC проходять через деяку фіксовану точку, відмінну від точки AA.
11 класСтепінь точки відносно кола
Київська районна математична олімпіадаKDMO-06-07-060

Діагональ квадрата з вершинами на колі та дотичній

Дві сусідні вершини квадрата лежать на колі радіуса RR, а дві інші – на дотичній до цього кола. Знайти довжину діагоналі квадрата.
9 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-008

Коло в гострому куті та внутрішній відрізок

У гострий кут з вершиною в точці AA вписано коло, що дотикається до сторін кута в точках BB і CC. Довести, що довжина довільного відрізку, який розташований всередині області, обмеженої відрізками ABAB і ACAC та меншою дугою кола ⌣BC\smile BC, не більше, ніж довжина ABAB.
8 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-06-07-018

Висоти, прямі кути, рівні радіуси і рівнобедреність

У гострокутному трикутнику ABCABC проведено висоти BB1BB_1 і CC1CC_1. На променях BB1BB_1 і CC1CC_1 за точками B1B_1 і C1C_1 вибираються точки PP і QQ відповідно так, що ∠APC=∠AQB=90∘\angle APC=\angle AQB=90^\circ. Радіуси кіл, які вписані в трикутники APCAPC та AQBAQB, рівні. Чи обов'язково трикутник ABCABC рівнобедрений?
10 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-04-05-046

Вписаний прямокутник і дотичні до другого кола

Два кола дотикаються зовні. До одного з них вписано прямокутник ABCDABCD. Позначимо через lAl_A, lBl_B, lCl_C і lDl_D довжини відрізків дотичних, проведених з точок AA, BB, CC і DD до другого кола відповідно. Доведіть, що lA2+lC2=lB2+lD2l_A^2 + l_C^2 = l_B^2 + l_D^2.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-02-03-084

Середні лінії трикутників AKN і CMN та дотик кіл

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін ABAB, BCBC і ACAC в точках KK, MM і NN відповідно. Нехай PP — точка перетину прямих, які містять середні лінії трикутників AKNAKN і CMNCMN, що паралельні до сторін KNKN і MNMN відповідно. Доведіть, що описане коло трикутника APCAPC дотикається до кола ω\omega.
11 класКола, що дотикаються
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-090

Ортоцентр, середини сторін та умова гострокутності

Нехай у трикутника ABCABC точка HH — її ортоцентр, точки LL, MM та NN — середини сторін ABAB, BCBC та ACAC відповідно. Доведіть, що трикутник ABCABC гострокутний тоді і тільки тоді, коли справджується нерівність: HL2+HM2+HN2<AL2+BM2+CN2.HL^2 + HM^2 + HN^2 < AL^2 + BM^2 + CN^2.
9 класСтепінь точки відносно кола
Командний чемпіонат Києва з математикиKTC-24-25-104

Сторона трикутника з бісектрисою і дотичним колом

У трикутнику ABCABC відомо, що AC=54AC=54, бісектриса AD=63AD=63. Коло, що дотикається прямої ACAC у точці AA та проходить через точку DD, удруге перетинає пряму BCBC у точці PP, при цьому CP=108CP=108. Знайдіть довжину сторони ABAB.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-103

Шість точок перетину кіл зі сторонами трикутника

Коло, вписане в трикутник ABCABC, дотикається до сторін BCBC, ACAC та ABAB у точках A′A', B′B' та C′C' відповідно. Прямі AA′AA', BB′BB' та CC′CC' перетинаються в точці GG. Коло, описане навколо трикутника GA′B′GA'B', перетинає вдруге прямі ACAC та BCBC у точках CaC_a та CbC_b відповідно. Аналогічно визначаються точки AbA_b та AcA_c, BaB_a та BcB_c. Доведіть, що точки Ca,Cb,Ab,Ac,BaC_a, C_b, A_b, A_c, B_a та BcB_c лежать на одному колі.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-139

Рівність відношень на дотичних і ортоцентр трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, точка PP розташована на висоті AXAX. Прямі BPBP та CPCP перетинають сторони ACAC та ABAB у точках DD та EE відповідно. Дотичні, проведені з точок DD та EE до описаного кола трикутника BPCBPC, мають точки дотику KK та LL відповідно, що розташовані всередині трикутника ABCABC. Пряма KDKD перетинає описане коло трикутника AKCAKC удруге в точці MM, а пряма LELE перетинає описане коло трикутника ALBALB удруге в точці NN. Доведіть, що KDMD=LENE⇔P\dfrac{KD}{MD} = \dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P — ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-110

Медіана трикутника та рівність відрізків RN і SN

На медіані CMCM гострокутного трикутника ABCABC позначено точку NN так, що MN⋅MC=14AB2MN \cdot MC = \dfrac{1}{4}AB^2. Прямі ANAN та BNBN удруге перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках PP та QQ відповідно. Нехай RR — точка відрізка PQPQ, найближча до QQ із таких, що ∠NRC=∠BNC\angle NRC = \angle BNC, та нехай SS — точка відрізка PQPQ, найближча до PP із таких, що ∠NSC=∠ANC\angle NSC = \angle ANC. Доведіть, що RN=SNRN = SN.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-150

Спільна хорда кіл і пряма, паралельна стороні

Трикутник ABCABC вписаний у коло ω\omega, на його сторонах ABAB, BCBC та ACAC вибрали точки KK, LL та MM відповідно таким чином, що AM⋅BL=CM⋅CLAM \cdot BL = CM \cdot CL. Промінь LKLK перетинає пряму ACAC у точці PP. Спільна хорда описаного кола трикутника KMPKMP та кола ω\omega перетинає відрізок AMAM у точці SS. Доведіть, що SK∥BCSK \parallel BC.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-088

Рівносторонній многокутник у колі та двоколірні відрізки

Усередині кола γ\gamma розташовано опуклий nn-кутник A1A2…AnA_1A_2\ldots A_n, який має всі сторони рівні. Для кожного i=1,n‾i=\overline{1,n} на колі γ\gamma вибирають точки BiB_i та CiC_i так, щоб на відрізку BiCiB_iC_i точки BiB_i, AiA_i, Ai+1A_{i+1}, CiC_i були розташовані в указаному порядку, при цьому Bn+1=B1B_{n+1}=B_1. Далі всі 2n2n відрізків BiAiB_iA_i та CiAi+1C_iA_{i+1} треба пофарбувати в жовтий або синій колір. Чи завжди можна так їх пофарбувати, щоб сума довжин синіх відрізків дорівнювала сумі довжин жовтих?
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-124

Пряма через сторони трикутника і дві рівності добутків

Нехай пряма ll перетинає сторони ACAC та BCBC трикутника ABCABC у точках DD та EE відповідно, пряму ABAB — у точці FF, а бісектрису кута BACBAC — у точці PP. Припустимо, що точки FF та AA лежать по різні боки від прямої BCBC, CD=CECD = CE, а PP — внутрішня точка трикутника ABCABC. Доведіть, що справджуються одночасно рівності: FA⋅FB+CP2=CF2⇔AD⋅BE=PD2.FA \cdot FB + CP^2 = CF^2 \Leftrightarrow AD \cdot BE = PD^2.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-086

Другі точки перетину кіл у опуклому чотирикутнику

Нехай EE та FF — дві точки на стороні CDCD опуклого чотирикутника ABCDABCD, для яких справджується умова 0<DE=FC<CD0 < DE = FC < CD. Нехай KK — друга точка перетину описаних кіл трикутників ADEADE та ACFACF, а LL — друга точка перетину описаних кіл трикутників BDEBDE та BCFBCF. Доведіть, що точки AA, BB, KK, LL лежать на одному колі.
9 класСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-092

Чотири точки перетину кіл із центрами у вершинах чотирикутника

Нехай ABCDABCD — чотирикутник з непаралельними протилежними сторонами. Прямі ABAB та CDCD перетинаються в точці XX. Позначимо через S(O,r)S(O, r) коло радіуса rr із центром в точці OO. Нехай S(A,r1)∩S(D,r2)={P,Q}S(A, r_1) \cap S(D, r_2) = \{P, Q\} та S(B,r1)∩S(C,r2)={R,S}S(B, r_1) \cap S(C, r_2) = \{R, S\}. Відомо, що XA⋅XB+r12=XC⋅XD+r22XA \cdot XB + r_1^2 = XC \cdot XD + r_2^2. Доведіть, що точки PP, QQ, RR, SS — циклічні.
9 класРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-116

Рівність сторін трикутника і перпендикулярність до E2F2

У трикутнику ABCABC зі сторонами AC>BC>ABAC > BC > AB точки II та OO — центри вписаного та описаного кіл відповідно. Вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB трикутника в точках DD, EE, FF відповідно. Позначимо через F1,E1F_1, E_1 точки, що симетричні точці AA відносно точок FF, EE відповідно. Коло, що проходить через точку F1F_1 та дотикається до сторони BCBC у точці DD, перетинає пряму ABAB удруге в точці F2F_2; коло, що проходить через точку E1E_1 та дотикається до сторони BCBC у точці DD, перетинає пряму ACAC вдруге в точці E2E_2. Позначимо середини відрізків OEOE та IFIF через PP та QQ відповідно. Доведіть, що AB+AC=2BC⇔PQ⊥E2F2.AB + AC = 2BC \Leftrightarrow PQ \perp E_2F_2.
10–11 класиРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-103

Дотичні кола трикутника і коло через інцентр

Трикутник ABCABC вписано в коло k1k_1, коло k2k_2 дотикається до кола k1k_1 у точці CC і до прямої ABAB у точці TT. Пряма CTCT перетинає коло k1k_1 удруге в точці QQ. На колі k2k_2 вибрано таку точку NN, що пряма QNQN дотикається до кола k2k_2. Доведіть, що описане коло трикутника ABNABN проходить через центр вписаного в трикутник ABCABC кола.
9 класТеорема про тризуб
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-020

Добуток довжин AE у трикутнику 13 і 7

У трикутнику ABCABC відомо, що AB=13AB = 13 та BC=7BC = 7. Точки DD та EE лежать на сторонах ABAB та ACAC відповідно так, що BD=BCBD = BC, а ∠DEB=∠CEB\angle DEB = \angle CEB. Знайдіть добуток усіх можливих довжин відрізка AEAE.
7–8 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-106

Середини хорд кола, дотичні і рівність добутків

Нехай точки PP та QQ — середини двох непаралельних хорд кола ω\omega. Дотичні до цього кола, що проведені в кінцях першої хорди, перетинаються в точці AA, а ті, що проведені в кінцях другої хорди, — у точці BB. Точка RR симетрична ортоцентру трикутника APBAPB відносно прямої ABAB. Основи перпендикулярів, опущених із точки RR на прямі APAP, BPBP, AQAQ, BQBQ, позначимо через R1,R2,R3,R4R_1, R_2, R_3, R_4 відповідно. Доведіть, що справджується рівність AR1PR1⋅PR2BR2=AR3QR3⋅QR4BR4.\frac{AR_1}{PR_1} \cdot \frac{PR_2}{BR_2} = \frac{AR_3}{QR_3} \cdot \frac{QR_4}{BR_4}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.