Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

71 задача
ГеометріяТеорема Чеви
Київський турнір математичних боївKMB-11-12-140

Сума відношень на сторонах трикутника і рівні площі

Усередині трикутника ABCABC вибрано точку PP. Прямі PAPA, PBPB й PCPC перетинають сторони BCBC, CACA й ABAB трикутника у точках A′A', B′B' та C′C' відповідно. Доведіть, що рівність BA′BC+CB′CA+AC′AB=32\frac{BA'}{BC} + \frac{CB'}{CA} + \frac{AC'}{AB} = \frac{3}{2} справджується тоді й лише тоді, коли принаймні два з трьох трикутників PABPAB, PBCPBC та PCAPCA мають однакову площу.
10–11 класиТеорема Чеви
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-206

Симетрична інцентру точка і перетин прямих AA1, BB1, CC1

Точки OO та II — центри відповідно описаного та вписаного кіл трикутника ABCABC. З точки XX, симетричної точці II відносно OO, на прямі, що містять сторони BCBC, CACA та ABAB трикутника, опущено перпендикуляри XA1XA_1, XB1XB_1 та XC1XC_1 відповідно. Доведіть, що прямі AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1 перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-209

Бісектриса, чевіани і кут LMN

У трикутнику ABCABC LL, MM та NN — внутрішні точки сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Відомо, що ALAL — бісектриса трикутника, ∠AMN=∠ALB\angle AMN = \angle ALB, а прямі ALAL, BMBM і CNCN перетинаються в одній точці. Доведіть, що ∠LMN=90∘\angle LMN = 90^\circ.
10–11 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-230

Дотична B1C1 до кола BTC і рівність кутів

На сторонах BCBC, CACA та ABAB трикутника ABCABC позначили відповідно точки A1A_1, B1B_1 і C1C_1 таким чином, що прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в деякій точці всередині трикутника. Нехай TT — точка перетину прямих AA1AA_1 і B1C1B_1C_1, а MM — середина сторони BCBC. Відомо, що пряма B1C1B_1C_1 дотикається до описаного кола трикутника BTCBTC. Доведіть, що ∠BTM=∠A1TC\angle BTM = \angle A_1TC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-136

Медіана, бісектриса трикутника і довжина сторони AC

У трикутнику ABCABC проведено медіану AMAM і бісектрису BKBK, L=AM∩BKL = AM \cap BK. Відомі дві сторони трикутника: AB=c>BC=aAB = c > BC = a. Знаючи, що центр кола, описаного навколо △ABC\triangle ABC, лежить на прямій CLCL, знайдіть довжину ACAC.
10–11 класиТеорема Чеви
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-145

Рівність відношень для точок у трикутнику

Нехай дано гострокутний трикутник ABCABC і точка TT така, що ∠ATB=∠ATC=∠BTC=2π3\angle ATB=\angle ATC=\angle BTC=\frac{2\pi}{3}. Нехай PP— така точка всередині цього трикутника, що ∠PAB=∠TAC\angle PAB=\angle TAC, ∠PBA=∠TCB\angle PBA=\angle TCB. Доведіть, що PAPB=CACB\frac{PA}{PB} = \frac{CA}{CB}.
10–11 класиТеорема Чеви
Київський турнір математичних боївKMB-08-09-045

Перетин прямих BE, CF та висоти у трикутнику

У гострокутного ΔABC\Delta ABC AB≠ACAB \ne AC проведені бісектриса AVAV та висота ADAD, навколо ΔAVD\Delta AVD описане коло, яке перетинає сторони AC,ABAC, AB у точках E,FE, F відповідно. Довести, що прямі BEBE, CFCF і ADAD перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-058

Спільна точка прямих Ейлера трикутників ABI, BCI, CAI

Дано трикутник ABCABC. Довести, що прямі Ейлера для трикутників ABIABI, BCIBCI, CAICAI перетинаються в одній точці, де II – інцентр △ABC\triangle ABC. Нагадаємо, що прямою Ейлера трикутника називається пряма, що проходить через ортоцентр та центр описаного кола.
10–11 класиТеорема Чеви
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-082

Медіана, бісектриса і порівняння відрізків CF та BE

У трикутнику ABCABC провели медіану ADAD, бісектрису BEBE і пряму CFCF, що перетинаються в одній точці (точка FF лежить на стороні ABAB). Виявилося, що BEBE серединний перпендикуляр до відрізка ADAD. Довести, що CF>BECF > BE.
8–9 класиТеорема Чеви
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2004-019

Трикутник з медіаною, вписаний чотирикутник і спільна дотична

Усередині трикутника ABCABC на його медіані BMBM обрано точку NN. Нехай K=AN∩BCK = AN \cap BC, L=CN∩ABL = CN \cap AB. Відомо, що навколо чотирикутника BKNLBKNL можна описати коло. Доведіть, що пряма ACAC є спільною дотичною до кіл, описаних навколо трикутників ABNABN і CBNCBN.
Теорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-003

Дотичні до кіл через основи висот і описане коло

Висоти AH1AH_1 та BH2BH_2 гострокутного трикутника ABCABC перетинаються в ортоцентрі HH. Коло w1w_1 проходить через точку H2H_2 та дотикається до сторони BCBC у точці H1H_1, а коло w2w_2 проходить через точку H1H_1 та дотикається до сторони ACAC у точці H2H_2. Доведіть, що другі дотичні BXBX та AYAY до кіл w1w_1 і w2w_2 відповідно (X≠H1X \ne H_1 та Y≠H2Y \ne H_2) перетинаються на описаному колі трикутника XHYXHY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-008

Вписаний чотирикутник та колінеарність з центром кола

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло ω\omega із центром OO. Припустимо, що кути BB і CC тупі, а прямі ADAD і BCBC не паралельні. Прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці EE. Нехай PP і RR — основи перпендикулярів, опущених з точки EE на прямі BCBC і ADAD відповідно. QQ — точка перетину прямих EPEP і ADAD, SS — точка перетину прямих ERER і BCBC. Нехай KK — середина відрізка QSQS. Доведіть, що точки EE, KK та OO колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-006

Точки перетину прямих і пряма SM

Коло ω\omega, вписане в трикутник ABCABC, дотикається до його сторін ABAB, BCBC і CACA в точках KK, LL та MM відповідно. На дузі KLKL кола ω\omega, що не містить точки MM, деяким чином вибрано точку SS. Позначимо через PP, QQ, RR, TT точки перетину прямих ASAS і KMKM, MLML і SCSC, LPLP і KQKQ, AQAQ і PCPC відповідно. Виявилося, що точки RR, SS і MM — колінеарні. Доведіть, що точка TT також лежить на прямій SMSM.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-010

Перетин прямих AE, CF і BH у трикутнику

Нехай HH — точка перетину висот APAP і CQCQ гострокутного трикутника ABCABC. На медіані BMBM відмітили точки EE і FF так, що ∠APE=∠BAC\angle APE = \angle BAC, ∠CQF=∠BCA\angle CQF = \angle BCA, причому точка EE лежить усередині трикутника APBAPB, а точка FF — усередині трикутника CQBCQB. Доведіть, що прямі AEAE, CFCF і BHBH перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-008

Внутрішня точка бісектриси і пряма через її основу

Нехай MM — довільна внутрішня точка бісектриси ALAL трикутника ABCABC. Через точку LL проведено довільну пряму, яка перетинає сторону ABAB в точці PP, а продовження сторони ACAC за точку CC — у точці QQ. Нехай NN — точка перетину прямих BMBM і PQPQ, а KK — точка перетину прямих QMQM і BCBC. Доведіть, що ∠NAL=∠KAL\angle NAL = \angle KAL.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-010

Діагоналі шестикутника з перетину трикутників PQR і DEF

Нехай II — точка перетину бісектрис трикутника ABCABC. Коло ω\omega з центром у точці II перетинає сторону BCBC в точках DD і PP (точка DD лежить між BB і PP), сторону CACA — у точках EE і QQ (точка EE лежить між CC і QQ), сторону ABAB — у точках FF і RR (точка FF лежить між AA і RR). Трикутники PQRPQR і DEFDEF утворюють у перетині шестикутник. Доведіть, що діагоналі цього шестикутника, які сполучають протилежні вершини, перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-005

Середня лінія трикутника, проєкції та перетин прямих AA1

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, і відрізок MNMN є його середньою лінією, яка паралельна до BCBC. Позначимо через PP ортогональну проекцію точки NN на сторону BCBC, а через A1A_1 — середину відрізка MPMP. Точки B1B_1 і C1C_1 визначаються аналогічно. Доведіть, що якщо прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC має дві рівні сторони.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-008

Точки на сторонах з рівними сумами і спільна точка

Дано гострокутний трикутник ABCABC, HH — його ортоцентр, OO — центр описаного кола. Доведіть, що існують такі відмінні від вершин точки DD, EE, FF на сторонах, відповідно, BCBC, CACA, ABAB, що OD+DH=OE+EH=OF+FHOD + DH = OE + EH = OF + FH та прямі ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-015

Коло, дотичне до сторін трикутника в точках чевіан

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник. Нехай PP — внутрішня точка трикутника ABCABC така, що AP⊥BCAP \perp BC. Припустімо, що BPBP і CPCP перетинають ACAC і ABAB у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що AX=AYAX = AY тоді й лише тоді, коли існує коло з центром на прямій BCBC, дотичне до прямих ABAB і ACAC у точках YY і XX відповідно.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-003

Сума радіусів вписаних кіл у чевіанних трикутниках

Нехай ABCABC — трикутник. Точки KK, LL і MM лежать на відрізках BCBC, CACA і ABAB відповідно так, що прямі AKAK, BLBL і CMCM перетинаються в одній точці. Доведіть, що можна вибрати два з трикутників ALMALM, BMKBMK і CKLCKL, сума радіусів вписаних кіл яких не менша за радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-023

Конкурентність через дотик кола

Коло ω\omega дотикається до сторони BCBC трикутника ABCABC у точці TT. Сторона ABAB перетинає ω\omega у точках PP і RR (AA ближча до PP, ніж до RR); сторона ACAC перетинає ω\omega у точках QQ і SS (AA ближча до QQ, ніж до SS). Прямі ATAT, BQBQ і CPCP перетинаються в одній точці. Доведіть, що прямі ATAT, BSBS і CRCR також перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-016

Чевіани через інцентри трикутників ортоцентра

Точка HH — ортоцентр трикутника ABCABC, а відрізки ADAD, BEBE, CFCF — його висоти. Точки I1I_1, I2I_2, I3I_3 — інцентри трикутників EHFEHF, DHFDHF, DHEDHE відповідно. Доведіть, що прямі AI1AI_1, BI2BI_2, CI3CI_3 перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-001

Діаметр кола та відношення відрізків

Нехай kk — коло з центром MM, а ABA B — діаметр кола kk. Крім того, нехай CC — точка на колі kk така, що AC=AMA C = A M. Нехай DD — точка на прямій ACA C така, що CD=ABC D = A B і CC лежить між AA і DD. Нехай EE — друга точка перетину описаного кола трикутника BCDB C D з прямою ABA B, а FF — точка перетину прямих EDE D і BCB C. Пряма AFA F перетинає відрізок BDB D у точці XX. Знайдіть відношення BX/XDB X / X D.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-031

Рівність синусів кутів у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — точка всередині трикутника ABCABC. Нехай DD — середина відрізка [PC][PC], EE — точка перетину прямих (AP)(AP) і (BC)(BC), а QQ — точка перетину прямих (BP)(BP) і (DE)(DE). Доведіть, що якщо кути PAC^\widehat{PAC} і PCB^\widehat{PCB} рівні, то sin⁡(BCQ^)=sin⁡(BAP^)\sin (\widehat{BCQ}) = \sin (\widehat{BAP}).
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-004

Прямі, що перетинаються в трикутнику з кутовими умовами

Нехай DD — точка всередині гострокутного трикутника ABCA B C, така, що ∠BAD=∠DBC\angle B A D = \angle D B C і ∠DAC=∠BCD\angle D A C = \angle B C D. Нехай PP — точка на описаному колі трикутника ADBA D B. Припустимо, що PP лежить поза трикутником ABCA B C. Пряма через PP перетинає промінь BAB A в точці XX і промінь CAC A в точці YY, так що ∠XPB=∠PDB\angle X P B = \angle P D B. Доведіть, що прямі BYB Y і CXC X перетинаються на прямій ADA D.
10–11 класиТеорема Чеви

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.