Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

94 задачі
КомбінаторикаЗв’язність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-176

Найбільша кількість розрізаних мотузок сітки 10 на 100

Яку найбільшу кількість мотузок, які з'єднують сусідні вузли волейбольної сітки з квадратними чарунками, можна розрізати таким чином, щоб сітка не розпалася на окремі шматки? Розміри сітки — 10×10010 \times 100 чарунок.
9 класДерева
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-022

Оцінки футбольних команд з сумою 18 у парах

У турнірі з футболу грали 3030 команд. Усього було зіграно 2929 матчів. По завершенні цього результат кожної команди був оцінений з 1010 балів. Доведіть, що спортивний експерт може завжди виставити оцінки всім командам таким чином, що принаймні одна оцінка буде 1010, а в кожній парі команд, що грали, сумарна оцінка дорівнюватиме 1818.
7–8 класиДерева
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-147

Регулярний зв’язний граф і найменша кількість ребер для роз’єднання

Γ\Gamma — зв’язний граф, степені всіх вершин якого дорівнюють n>1n > 1. Нехай Δ(Γ)\Delta(\Gamma) — це найменша кількість ребер, які треба вилучити з графу, щоб він перестав бути зв’язним. Знайдіть усі можливі значення для Δ(Γ)\Delta(\Gamma).
10–11 класиЗв’язність
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-253

Максимальна кількість простих циклів з власним ребром

Задано граф з nn вершинами, mm ребрами та kk компонентами зв'язності. Позначимо через tt величину, що задовольняє такі умови: - tt — максимально можливе; - у даному графі можна вибрати tt простих циклів так, щоб кожен із них містив принаймні одне ребро, яке не міститься в інших вибраних циклах. Доведіть, що t=m−n+kt = m - n + k.
10–11 класиДерева
Київський турнір математичних боївKMB-12-13-025

Розрізані ланки рибальської сітки без розпадання

На рисунку 7.7 зображено рибальську сітку. У ній послідовно розрізають ланки (відрізки) між сусідніми вузлами (точками на перетині відрізків). Яку найбільшу кількість ланок можна розрізати, щоб сітка не розпалася на кілька частин?
8 класЗв’язність
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-118

Розрізи мотузок сітки 10×100 без розпадання

Яку найбільшу кількість мотузок, що з'єднують сусідні вузли волейбольної сітки з квадратними комірками, можна розрізати таким чином, щоб сітка не розпалася на окремі шматки? Розміри сітки — 10×10010\times100 комірок.
10–11 класиДерева
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-050

Авіалінії між двома країнами та закрита лінія

Міста країни А та країни В сполучені авіалініями. З кожного міста проведено kk авіаліній і не має авіаліній, що сполучають міста однієї країни. Також відомо, що з будь-якого міста будь-якої країни можна потрапити в будь-яке інше місто. Закрили одну авіалінію. Доведіть, що попри зміни з будь-якого міста будь-якої країни можна потрапити в будь-яке інше місто.
7–8 класиДвочасткові графи
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-074

Триколірне фарбування сторін клітинок смуги 1 × n

Є смуга розміром 1×n1 \times n, що розділена на клітинки 1×11 \times 1. Чи можна сторони клітинок пофарбувати у 33 кольори таким чином, щоб у разі вилучення всіх відрізків будь-якого з кольорів можна було б пройти по сторонах, що лишилися, з будь-якої вершини будь-якої клітинки в будь-яку іншу вершину?
6 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-077

Тридцять учнів, друзі, вороги і дві групи

У класі навчається 3030 учнів. У кожного з учнів є рівно двоє друзів та рівно двоє ворогів. У понеділок учитель розсадив учнів за 1515 парт по двоє в такий спосіб, що за кожною партою опинилися двоє ворогів. Після цього, у вівторок учні пересіли таким чином, що за кожною партою опинилися двоє друзів. Доведіть, що вчитель може вигнати з класу не більше ніж 1515 учнів так, щоб решту можна було розбити на дві групи, у яких не було б ані друзів, ані ворогів.
6 класСтепені вершин
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-006

Розфарбування ребер повного графа і кольори трикутників

Ребра повного графу на 101101-й вершині пофарбували в рівно kk кольорів таким чином, що в кожен колір пофарбовано принаймні одне ребро. Виявилося, що для кожної трійки попарно різних вершин AA, BB, CC кольори ребер ABAB, BCBC, ACAC або попарно різні, або всі однакові. Чи можливо таке для а) k=11k=11; б) k=12k=12?
10–11 класиЗв’язність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-004

Смужка з числами для квадрата з умовою подільності

Нехай дано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. У Петрика є прямокутна смужка завбільшки 1×n21 \times n^2, що складається з n2n^2 одиничних квадратиків, занумерованих зліва направо числами 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2. Петрик хоче розрізати цю смужку на декілька шматочків, що складаються із сусідніх одиничних квадратиків, у такий спосіб, щоб ці шматочки можна було перенести без перегортань та обертань у квадрат n×nn \times n. При цьому в утвореного числового квадрата має справджуватися така властивість: якщо на перетині ii-го рядка та jj-го стовпчика у квадраті записане число ai,ja_{i,j}, то число ai,j−(i+j−1)a_{i,j} - (i+j-1) має ділитися націло на nn. З’ясуйте, на яку найменшу кількість шматочків Петрик може розрізати свою смужку.
10–11 класиШляхи на графах
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-015

Поліцаї у квартирі з n стінами та дверима

У казковому всесвіті політичний діяч має квартиру CC, що є нескінченною площиною з nn стінами — кожна у формі нескінченної прямої, які розбивають квартиру на кімнати. Серед стін немає двох паралельних, а також немає трьох, що мають спільну точку. Працівники ЖКГ кожну зі стін повністю фарбують у блакитний колір з одного боку та в жовтий — із другого. На перетині будь-яких двох стін є чотири кути, з яких рівно два (причому вертикальних), що мають сторони різного кольору. На кожному такому перетині є двосторонні двері, які з’єднують ті два кути, сторони яких різного кольору. Після того як працівники ЖКГ пофарбують стіни, служба безпеки всесвіту розміщує деяку кількість поліцаїв у цій квартирі. Поліцаї вміють проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай kk — найбільше число, що відповідає кількості поліцаїв, яких, незважаючи на те, як ЖКГ пофарбує стіни, служба безпеки завжди зможе розмістити так, щоб не знайшлося двох поліцаїв, котрі мають можливість зустрітися.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-007

Періодичність послідовності графів зі спільними сусідами

На площині є граф Γ0\Gamma_0 з вершинами A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_n. Граф Γm+1\Gamma_{m+1} будується таким чином – у графі Γm\Gamma_m витираємо усі ребра, а нові ребра будуються за правилом: дві різні вершин AiA_i і AjA_j з'єднуються ребром тоді і тільки тоді, коли існує відмінна від них третя вершина AkA_k така, що AkA_k була одночасно зв'язана з AiA_i і AjA_j. Довести, що нескінченна послідовність (Γm)(\Gamma_m), m∈Nm \in N починаючи з деякого номера періодична з періодом T≤2nT \le 2^n.
10–11 класиЗв’язність
Європейський математичний кубокEMC-2023-007

Найбільша розділена підмножина двійкових послідовностей

Дано натуральне число nn. Нехай BnB_n — це множина всіх двійкових послідовностей завдовжки nn. Для двійкової послідовності s1s2…sns_1s_2\ldots s_n визначимо її зміну таким чином. Спершу порахуємо, зі скількох блоків послідовних однакових цифр складається ця послідовність. Позначимо цю кількість як bb. Тоді замінимо член послідовності sbs_b на число 1−sb1-s_b. Послідовність (a)(a) назвемо нащадком послідовності (b)(b), якщо aa можна отримати з підмножини bb за допомогою скінченної кількості змін. Підмножину множини BnB_n назвемо розділеною, якщо жодні два елементи цієї підмножини не мають спільного нащадка. Знайдіть найбільшу кількість елементів, яку може мати розділена підмножина множини BnB_n.
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-008

Найменша кількість частин смужки для квадрата з подільністю

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Пол має прямокутну смужку 1×n21 \times n^{2}, що складається з n2n^{2} одиничних квадратиків, де i-йi^{\text{-й}} квадратик позначено числом ii для всіх 1⩽i⩽n21 \leqslant i \leqslant n^{2}. Він хоче розрізати смужку на кілька частин, кожна з яких складається з кількох послідовних одиничних квадратиків, а потім паралельним перенесенням (без поворотів і перегортань) скласти з цих частин квадрат n×nn \times n з такою властивістю: якщо одиничний квадратик в i-йi^{\text{-й}} рядку та j-йj^{\text{-й}} стовпчику позначено числом aija_{ij}, то aij−(i+j−1)a_{ij}-(i+j-1) ділиться на nn. Знайдіть найменшу кількість частин, на які Полу потрібно розрізати смужку, щоб це здійснити.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-006

Кістякове дерево із заданою кількістю кольорових ребер

Нехай rr, gg, bb — це цілі невід’ємні числа. Нехай Γ\Gamma — це зв’язний граф на r+g+b+1r + g + b + 1 вершинах. Кожне ребро графа Γ\Gamma пофарбовано в червоний, зелений або синій колір. Виявилося, що граф Γ\Gamma містить: - кістякове дерево, у якому рівно rr з усіх ребер є червоними; - кістякове дерево, у якому рівно gg з усіх ребер є зеленими; - кістякове дерево, у якому рівно bb з усіх ребер є синіми. Доведіть, що граф Γ\Gamma містить кістякове дерево, у якому рівно rr червоних ребер, рівно gg зелених ребер і рівно bb синіх ребер. Примітка. Кістякове дерево графа Γ\Gamma — це граф, який має ті ж самі вершини, що й граф Γ\Gamma, ребра якого є також ребрами графа Γ\Gamma і для якого існує рівно один шлях між будь-якими двома його різними вершинами.
10–11 класиДерева
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-001

Фантастичність степеня 2021²⁰²¹ за трійками m, 2m+1, 3m

Відомо, що число 20212021 є фантастичним. Для кожного натурального mm справджується таке твердження: якщо хоча б один елемент множини {m, 2m+1, 3m}\{m,\ 2m+1,\ 3m\} є фантастичним, то й усі інші елементи множини є фантастичними. Чи правильно, що число 202120212021^{2021} є фантастичним?
10–11 класиЗв’язність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-003

Соціальна мережа з 2019 користувачів і зміни дружби

У соціальній мережі є 20192019 користувачів. Деякі користувачі товаришують з деякими іншими, при цьому якщо користувач AA є другом користувача BB, то BB також є другом AA. Зміни наступного типу здійснюються послідовно, по одній зміні за раз: обирають трьох користувачів AA, BB та CC таких, що AA є другом BB та CC, але BB і CC не є друзями; після цього BB та CC стають друзями, але AA перестає бути другом BB і CC. У всіх інших парах відношення не змінюються. Спочатку 10101010 користувачів мають по 10091009 друзів кожен, а 10091009 користувачів мають по 10101010 друзів кожен. Доведіть, що існує послідовність змін, після яких кожен користувач матиме не більш як одного друга.
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-012

Лабіринт з кольоровими стінами

На плоскій рівнині в Камелоті король Артур будує лабіринт L\mathfrak{L}, що складається з nn стін, кожна з яких є нескінченною прямою. Жодні дві стіни не паралельні, і жодні три стіни не мають спільної точки. Потім Мерлін фарбує один бік кожної стіни повністю в червоний колір, а другий бік — повністю в синій. На перетині двох стін утворюються чотири кути: два діаметрально протилежні кути, де сходяться червоний і синій боки, один кут, де сходяться два червоні боки, і один кут, де сходяться два сині боки. У кожному такому перетині є двосторонні двері, що з'єднують два діаметрально протилежні кути, в яких сходяться боки різних кольорів. Після того як Мерлін пофарбує стіни, Моргана розставляє в лабіринті кількох лицарів. Лицарі можуть проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай k(L)k(\mathfrak{L}) — найбільше число kk таке, що, як би Мерлін не пофарбував лабіринт L\mathfrak{L}, Моргана завжди може розмістити принаймні kk лицарів так, щоб жодні двоє з них ніколи не змогли зустрітися. Для кожного nn знайдіть усі можливі значення k(L)k(\mathfrak{L}), де L\mathfrak{L} — лабіринт з nn стінами.
10–11 класиЗв’язність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-010

Перебудова ребер графа зі збереженням зв’язності

У місті є n⩾3n \geqslant 3 островів. Спочатку поромна компанія пропонує деякі маршрути між деякими парами островів так, що неможливо поділити острови на дві групи так, щоб жодні два острови з різних груп не були сполучені поромним маршрутом. Після кожного року поромна компанія закриватиме поромний маршрут між деякими двома островами XX і YY. Водночас, щоб підтримувати обслуговування, компанія відкриватиме нові маршрути за таким правилом: для будь-якого острова, який сполучений поромним маршрутом рівно з одним із XX і YY, додається новий маршрут між цим островом та іншим із XX і YY. Припустімо, що в будь-який момент, якщо ми розіб’ємо всі острови на дві непорожні групи будь-яким способом, то відомо, що поромна компанія через кілька років закриє певний маршрут, що сполучає два острови з цих двох груп. Доведіть, що через кілька років з’явиться острів, який буде сполучений поромними маршрутами з усіма іншими островами.
10–11 класиДвочасткові графи
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2016-004

Мінімальна кількість мостів для 1680 островів

Король Георг вирішив з’єднати мостами 1680 островів свого королівства. На жаль, після того, як усі мости буде збудовано, повстанці зруйнують два мости, але не два мости з одного острова. Яку найменшу кількість мостів має збудувати король, щоб гарантувати, що після руйнування повстанцями двох мостів між будь-якими двома з 1680 островів усе ще можна буде подорожувати мостами?
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-034

Розфарбування сітки з обмеженнями на квадрати 2×2

Дано прямокутну сітку, розбиту на m×nm \times n клітинок; розфарбування клітинок у два кольори (чорний і білий) називається допустимим, якщо виконуються такі умови: усі клітинки, що дотикаються до межі сітки, мають бути пофарбовані в чорний колір. Жодні чотири клітинки, що утворюють квадрат 2×22 \times 2, не мають бути пофарбовані в один і той самий колір. Жодні чотири клітинки, що утворюють квадрат 2×22 \times 2, не мають бути пофарбовані так, щоб лише клітинки, що дотикаються по діагоналі, мали однаковий колір. Для яких розмірів сітки m×nm \times n (з m,n≥3m, n \ge 3) існує допустиме розфарбування?
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-028

Граф без циклів довжини не менше 4

Розглянемо n≥4n \ge 4 осіб на вечірці. Припустімо, що при будь-якому 4≤r≤n4 \le r \le n неможливо розсадити жодні rr з цих осіб по колу так, щоб кожен з них знав обох своїх сусідів. Доведіть, що загалом серед цих осіб є не більше 32(n−1)\frac{3}{2}(n-1) знайомств.
10–11 класиСтепені вершин
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-016

Існування симетричних турнірів

(n,k)(n, k)-турніром називається змагання з nn учасниками, що проводиться в kk турах, таке, що: (i) Кожен учасник грає в кожному турі, і будь-які два учасники зустрічаються не більше одного разу. (ii) Якщо учасник AA зустрічається з учасником BB у турі ii, учасник CC зустрічається з учасником DD у турі ii, а учасник AA зустрічається з учасником CC у турі jj, то учасник BB зустрічається з учасником DD у турі jj. Визначте всі пари (n,k)(n, k), для яких існує (n,k)(n, k)-турнір.
10–11 класиЗв’язність
Балтійський шляхBW-1993-011

Розфарбування ребер для подвійної зв'язності

У певному королівстві є 13 міст. Між деякими парами міст встановлено двосторонні прямі автобусні, залізничні або авіаційні сполучення. Яка найменша можлива кількість сполучень, яку потрібно встановити, щоб, обравши будь-які два види транспорту, можна було дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого, не користуючись третім видом транспорту?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.