Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

683 задачі
ГеометріяАлгебраїчні методи в геометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-106

Парабола і дійсні частини степенів комплексного числа

Нехай zz — комплексне число, а kk — натуральне число, такі, що zkz^{k} — додатне дійсне число, відмінне від 11. Нехай f(n)f(n) позначає дійсну частину комплексного числа znz^{n}. Припустимо, що парабола p(n)=an2+bn+cp(n) = a n^{2} + b n + c перетинає f(n)f(n) чотири рази, при n=0,1,2,3n = 0, 1, 2, 3. За найменшого можливого значення kk знайдіть найбільше можливе значення aa.
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-051

Косинус кута при рівнобедрених прямокутних добудовах

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14 і CA=15CA = 15. Побудуємо рівнобедрений прямокутний трикутник ACDACD з ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^{\circ}, причому DD, BB лежать по один бік від прямої ACAC, а прямі ADAD і CBCB перетинаються в точці FF. Аналогічно побудуємо рівнобедрений прямокутний трикутник BCEBCE з ∠BEC=90∘\angle BEC = 90^{\circ}, причому EE, AA лежать по один бік від прямої BCBC, а прямі BEBE і CACA перетинаються в точці GG. Знайдіть cos⁡∠AGF\cos \angle AGF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-053

Шестикутник з хорд через точки трисекції трикутника

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 66, вписаний у коло ω\omega. Нехай A1,A2A_1, A_2 — точки (відмінні від AA), в яких прямі через AA, що проходять через дві точки поділу сторони BCBC на три рівні частини, перетинають ω\omega. Аналогічно визначимо B1,B2,C1,C2B_1, B_2, C_1, C_2. Відомо, що A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 з'являються на колі ω\omega саме в такому порядку. Знайдіть площу шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-065

Комплексна пара з оберненою сумою

Знайдіть усі впорядковані пари (a,b)(a, b) комплексних чисел, для яких a2+b2≠0a^{2}+b^{2} \neq 0, a+10ba2+b2=5a+\frac{10 b}{a^{2}+b^{2}}=5 і b+10aa2+b2=4b+\frac{10 a}{a^{2}+b^{2}}=4.
10–11 класиКомплексні числа2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-037

Подібність трикутників, породжена серединами дуг

Нехай ABCABC — трикутник, а D,E,FD, E, F — середини дуг BC,CA,ABBC, CA, AB на описаному колі. Пряма lal_a проходить через основи перпендикулярів, опущених з AA на прямі DBDB і DCDC. Пряма mam_a проходить через основи перпендикулярів, опущених з DD на прямі ABAB і ACAC. Нехай A1A_1 — точка перетину прямих lal_a і mam_a. Точки B1B_1 і C1C_1 визначимо аналогічно. Доведіть, що трикутники DEFDEF і A1B1C1A_1B_1C_1 подібні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-013

Рівні відрізки при перетині медіани та чевіани

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Нехай MM — середина сторони BCBC, а DD — точка у внутрішності сторони ABAB. Точку перетину відрізків AMAM і CDCD позначимо через EE. Припустімо, що ∣AD∣=∣DE∣|AD|=|DE|. Доведіть, що ∣AB∣=∣CE∣|AB|=|CE|.
10–11 класиТеорема Менелая5 розв’язків
Відбіркові тести на IMOTST-2014-043

Раціональні косинуси та множини, інваріантні відносно повороту

Нехай rr — раціональне число з проміжку [−1,1][-1, 1], і нехай θ=cos⁡−1r\theta = \cos^{-1} r. Підмножину SS площини назвемо доброю, якщо SS не змінюється при повороті на кут θ\theta навколо довільної точки з SS (як за годинниковою стрілкою, так і проти неї). Знайдіть усі значення rr, що мають таку властивість: середина будь-яких двох точок доброї множини також належить цій множині.
10–11 класиКомплексні числа
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-006

Три дотичні піци на прямокутному столі

Троє друзів заходять до піцерії Джорджо і сідають кожен біля одного боку прямокутного столу; перший сидить біля боку довжиною 70 см70~\text{см}, другий і третій сидять один навпроти одного, біля боків довжиною ll. Піци мають діаметр 30 см30~\text{см}; Джорджо подає піцу першому відвідувачу так, щоб вона дотикалася до його боку столу в середній точці, а піци двох інших — так, щоб вони дотикалися до відповідних боків столу і до першої піци. Яке найменше значення ll (у сантиметрах), за якого три піци можуть повністю поміститися на столі? (A) 10510 \sqrt{5} (B) 20+5520+5 \sqrt{5} (C) 15+10515+10 \sqrt{5} (D) 30+10530+10 \sqrt{5} (E) 60
9–11 класиКола, що дотикаються
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-002

Колінеарні точки з умовою на суму індексів

Доведіть, що існує нескінченна множина точок …,P−3,P−2,P−1,P0,P1,P2,P3,…\dots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3, \dots на площині з такою властивістю: для будь-яких трьох різних цілих чисел a,ba, b і cc точки Pa,PbP_a, P_b і PcP_c лежать на одній прямій тоді і лише тоді, коли a+b+c=2014a + b + c = 2014.
10–11 класиМетод координат2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-026

Сума радіусів описаних кіл трикутників з інцентром

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC. Нехай RAR_A, RBR_B і RCR_C — радіуси описаних кіл трикутників BICBIC, CIACIA і AIBAIB відповідно, а RR — радіус описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що RA+RB+RC≤3RR_A + R_B + R_C \le 3R.
11 класІнші класичні нерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-027

Рівновіддаленість середини у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, L=(AC)∩(BD)L = (AC) \cap (BD), JJ і KK — основи перпендикулярів до прямих (AD)(AD) і (BC)(BC) відповідно, проведених через LL, а II — середина відрізка [C,D][C, D]. Доведіть, що IJ=IKIJ = IK.
9–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-028

Колінеарні точки в правильному шестикутнику

Нехай ABCDEFABCDEF — правильний шестикутник, а M∈[A,C],N∈[C,E]M \in [A, C], N \in [C, E]. Припустимо, що AMAC\frac{AM}{AC} і CNCE\frac{CN}{CE} дорівнюють числу r>0r > 0, а точки B,M,NB, M, N лежать на одній прямій. Знайдіть значення rr.
9–11 класиМетод координат
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-004

Пряма через інцентри проходить через середину дуги

Коло ω\omega проходить через вершини BB і CC трикутника ABCA B C і перетинає сторони [AB][A B] і [AC][A C] у точках DD і EE відповідно. Відрізки [CD][C D] і [BE][B E] перетинаються в точці OO. Нехай MM і NN — центри вписаних кіл трикутників ADEA D E і ODEO D E відповідно. Доведіть, що середина дуги DED E (меншої з двох дуг) кола ω\omega лежить на прямій (MNM N).
8–10 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-005

Центр вписаного кола і середні лінії описаного чотирикутника

Коло з центром OO вписане в чотирикутник ABCDA B C D, сторони якого не паралельні. Доведіть, що точка OO збігається з точкою перетину середніх ліній чотирикутника тоді й лише тоді, коли OA⋅OC=OB⋅ODO A \cdot O C=O B \cdot O D. (Середня лінія чотирикутника — це пряма, що сполучає середини протилежних сторін.)
8–10 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-003

Дотик до кола через відображення в трикутнику

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega так, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ і ∠B=75∘\angle B = 75^\circ. Нехай бісектриса кута AA перетинає BCBC і ω\omega у точках EE і DD відповідно. Нехай відображеннями точки AA відносно DD і CC є точки D′D' і C′C' відповідно. Якщо дотична до кола ω\omega у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP, а описане коло трикутника APD′APD' перетинає пряму ACAC у точці F≠AF \neq A, доведіть, що описане коло трикутника C′FEC'FE дотикається до прямої BCBC у точці EE.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-090

Точка описаного кола на стороні трикутника

Розглянемо трикутник ABCABC зі сторонами AB=4AB = 4, BC=7BC = 7 і AC=8AC = 8. Нехай MM — середина відрізка ABAB, а NN — внутрішня точка відрізка ACAC, яка також лежить на описаному колі трикутника MBCMBC. Обчисліть довжину відрізка BNBN.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-092

Довжина CG при куті 60° і FG = 4

У трикутнику ABCABC маємо ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай ω\omega — коло, дотичне до відрізка ABAB у точці DD і до відрізка ACAC у точці EE. Припустімо, що ω\omega перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що точка FF лежить між BB і GG. Відомо, що AD=FG=4AD = FG = 4 і BF=12BF = \frac{1}{2}. Знайдіть довжину відрізка CGCG.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-127

Кут між радіусами в описаному колі трикутника

У трикутнику ABCABC, ∠A=45∘\angle A = 45^{\circ}, а MM — середина сторони BC‾\overline{BC}. Пряма AM‾\overline{AM} перетинає описане коло трикутника ABCABC вдруге в точці DD, причому AM=2MDAM = 2MD. Знайдіть cos⁡∠AOD\cos \angle AOD, де OO — центр описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-130

Бісектриса кута чотирикутника з відомими довжинами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Продовжимо пряму CDCD за точку DD до перетину з прямою ABAB у точці PP і продовжимо пряму CBCB за точку BB до перетину з прямою ADAD у точці QQ. Припустімо, що пряма ACAC ділить навпіл ∠BAD\angle BAD. Якщо AD=74AD=\frac{7}{4}, AP=212AP=\frac{21}{2} і AB=1411AB=\frac{14}{11}, обчисліть довжину відрізка AQAQ.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-082

Трикутник із заданими сторонами і кутами

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка на BCBC така, що AB=2AB = \sqrt{2}, AC=3AC = \sqrt{3}, ∠BAD=30∘\angle BAD = 30^{\circ} та ∠CAD=45∘\angle CAD = 45^{\circ}. Знайдіть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-131

П'ятикутник з кутовими та метричними умовами

П'ятикутник ABCDEA B C D E задано за таких умов: (a) ∠CBD+∠DAE=∠BAD=45∘,∠BCD+∠DEA=300∘\angle C B D + \angle D A E = \angle B A D = 45^{\circ}, \angle B C D + \angle D E A = 300^{\circ} (b) BADA=223, CD=753\frac{B A}{D A} = \frac{2 \sqrt{2}}{3},\ C D = \frac{7 \sqrt{5}}{3}, і DE=1524D E = \frac{15 \sqrt{2}}{4} (c) AD2⋅BC=AB⋅AE⋅BDA D^{2} \cdot B C = A B \cdot A E \cdot B D Обчисліть довжину діагоналі BDB D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-036

Найкоротший шлях у кубі з діркою

Жук перебуває в одній зовнішній вершині тіла SS — куба 3×3×33 \times 3 \times 3, з якого вирізано центральний куб 1×1×11 \times 1 \times 1, — і хоче дістатися до протилежної зовнішньої вершини. Нехай OO позначає зовнішню поверхню тіла SS (утворену поверхнею куба 3×3×33 \times 3 \times 3). Нехай L(S)L(S) позначає довжину найкоротшого шляху через тіло SS. (Зауважимо, що такий шлях не може проходити через відсутній центральний куб, який є порожнім простором.) Нехай L(O)L(O) позначає довжину найкоротшого шляху по поверхні OO. Чому дорівнює відношення L(S)L(O)\frac{L(S)}{L(O)}?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-037

Трикутник із медіанами на заданих прямих

Прямі y=xy = x, y=2xy = 2x і y=3xy = 3x є трьома медіанами трикутника з периметром 11. Знайдіть довжину найбільшої сторони трикутника.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-052

Геометричне місце з рівними сумами відстаней у трикутнику

Нехай pp — точка, а ll — відрізок, і нехай d(p,l)d(p, l) — відстань між ними. Нехай AA, BB і CC — точки на площині такі, що AB=6AB = 6, BC=8BC = 8, AC=10AC = 10. Чому дорівнює площа області в (x,y)(x, y)-площині, утвореної впорядкованими парами (x,y)(x, y) такими, що існує точка PP всередині трикутника ABCABC, для якої d(P,AB)+x=d(P,BC)+y=d(P,AC)d(P, AB) + x = d(P, BC) + y = d(P, AC)?
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-054

Комплексна послідовність з умовою дійсності відношення

Послідовність (zn)\left(z_{n}\right) комплексних чисел задовольняє такі властивості: - z1z_{1} і z2z_{2} не є дійсними. - zn+2=zn+12znz_{n+2}=z_{n+1}^{2} z_{n} для всіх цілих n≥1n \geq 1. - zn+3zn2\frac{z_{n+3}}{z_{n}^{2}} є дійсним для всіх цілих n≥1n \geq 1. - ∣z3z4∣=∣z4z5∣=2\left|\frac{z_{3}}{z_{4}}\right|=\left|\frac{z_{4}}{z_{5}}\right|=2. Знайдіть добуток усіх можливих значень z1z_{1}.
10–11 класиКомплексні числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.